Monografias | Importancia de la Convergencia UniformeImportancia de la Convergencia UniformeResumen: En este trabajo se presentan algunos datos históricos y ejemplos donde se pone de manifiesto la importancia de la Convergencia Uniforme, así como también su proceso dialéctico. Para el profesor de Matemática resulta una necesidad obtener conocimientos buenos y sólidos de la Historia de la Matemática para influenciar en la educación de los alumnos. Resumen Para el
profesor de Matemática resulta una necesidad obtener conocimientos buenos y sólidos
de la Historia de la Matemática para influenciar en la educación de los
alumnos. Estos conocimientos tienen una gran significación para la formación
de los estudiantes en la Licenciatura en Educación especialidad Matemática,
porque la Convergencia Uniforme juega un papel importante en su ciclo matemático. En el trabajo se
exponen algunos hechos “paradójicos”, se demuestra que una condición
suficiente para la continuidad de la suma de una serie convergente de funciones
continuas y definidas sobre el intervalo
Se analizan
algunas sucesiones de funciones en cuanto a su convergencia, haciendo un análisis
del desarrollo histórico del concepto de Convergencia Uniforme y errores
del método de Cauchy. Con el presente
trabajo se intenta demostrar que
cada crisis o situación paradójica hace realmente pasar de un nivel inferior
del conocimiento a un nivel superior, poniendo de manifiesto el desarrollo dialéctico
de las matemáticas. Summary For
the mathematics teacher it is necessary to get good solid knowledge about the
History Mathematics to influence on the students’ education. This knowledge is
extremely important for the mathematics students since Uniforme Convergency
plays an importance role in their mathematic circle. Some
paradoxical facts are shown, its is proved that a sufficient condition for the
continuity of the sum of a
convergent serie of continued functions and defined on the [a.b] interval is the
Uniform convergency of this serie about [a.b] .Some
successions of funtions are analized according to their convergency, analizying
the historical development of the concept of the Uniform Convergency and
the errors of Cauchy’s method. With
this article it is attempted to demostrate That every crisis or paradoxical
situation really makes possible to pass from a lower level of knowledge of
importance of the Uniforme Convergency to a higher level showing the
dialectical development of mathematics. Palabras
Claves: Convergencia uniforme, matemática,
uniformemente, convergente. Introducción: En este trabajo
queremos presentar algunos datos históricos y ejemplos donde se ponga de
manifiesto la importancia de la Convergencia Uniforme, así como también su
proceso dialéctico. Consideramos que
estos conocimientos tienen una gran significación para la formación de los
estudiantes en la Licenciatura en Educación
especialidad Matemática, porque la Convergencia Uniforme juega un papel
importante en su ciclo matemático. Desarrollo: Hasta entonces,
se manejaba este algoritmo sin tener idea clara de su significado. Por ejemplo,
Euler para demostrar que la serie 1-1+1-1+........ tiene como suma
Después de la
organización de la teoría de las series por Cauchy, este razonamiento nos
parece totalmente inadmisible. Si un alumno de Universidad diera hoy esta
demostración en los exámenes, revelando el desconocimiento de las más
elementales precauciones que exponen todos los tratados, a cerca el manejo de
series, sería suspenso sin titubear. En los siglos
XVIII y principios del XIX, había una gran dificultad en la fundamentación del
Análisis Matemático. Cauchy, con su teoría de las series trató de dar una
solución, pero su método no era suficientemente completo. Se necesitaban
suposiciones no demostradas, sin las cuales no era posible el desarrollo
posterior de las series. Veamos: Suposición de
Cauchy: “Sean las funciones
tiene como suma
“La
ecuación
La opinión de
Cauchy sobre las condiciones suficientes para la continuidad de la función
S(x), así como el teorema correspondiente, sabemos que son falsos. Alrededor de
1840 los matemáticos Seidel y Stokes encontraron contraejemplos para demostrar
dicha falsedad. Veamos: 1.
Sea la serie
Todos los
términos de esta serie son funciones continuas sobre todo Ñ;
para cualquier x la serie es absolutamente convergente. A pesar de todo eso, su
suma no es una función continua, pues para
La
justificación de lo anterior viene dado porque se trata de una progresión geométrica
de la forma
2.
La serie cuyo término n-ésimo es:
Integrando
la serie por términos entre 0 y 1, se obtiene una serie numérica convergente
cuya suma es igual a 1. Al mismo tiempo se cumple que:
En este
caso la suma
Seide, Stokes y
Weierstrass descubrieron las causas de estos hechos “paradójicos”,
demostraron que una condición suficiente para la continuidad de una serie
convergente de funciones continuas y definidas sobre el intervalo
El teorema de
Cauchy con respecto a la integración por términos, de una serie de funciones
es válido si se le añade la exigencia de la convergencia uniforme de la serie
dada sobre
Si las funciones
no converge
uniformemente sobre
El concepto de Convergencia
Uniforme permitió desarrollar y precisar los métodos sobre la teoría de
las series de funciones, pero no niega el método de Cauchy. En
efecto: Una serie
Otro ejemplo de negación
dialéctica en el desarrollo de las matemáticas es el siguiente: En 1750 Euler
definia el concepto de función del modo siguiente: “ Se dice que Y es función
de X, cuando a todo valor de X
corresponde uno o varios valores de Y”. Definición que a primera vista,
parece coincidir con la actualmente admitida. Pero para Euler esta relación no
es completamente arbitraria. El distingue entre correspondencias arbitrarias y
correspondencias expresables por los símbolos del análisis; distingue
cuidadosamente entre curvas arbitrarias, esto es, dibujadas a capricho, y curvas
geométricas, es decir, representables por medio de combinaciones mas o menos
complicadas, de potencias, de exponenciales y logaritmos, de senos y arco
tangentes, etc. Este antagonismo
entre curvas arbitrarias y curvas geométricas subsistió en la ciencia
solamente hasta Fourier(1807). Quien primero
puso a prueba el valor de esta distinción entre curvas arbitrarias y curvas
geométricas, fue uno de los Bernoulli con motivo del famoso problema e las
cuerdas vibrantes(1753). Desviemos de su
posición de equilibrio una cuerda tirante, de longitud l, sujeta en dos puntos
fijos, abandonándola sin velocidad inicial, si es Y la desviación del punto de
abscisa X en el momento t, demuestra Bernoulli la fórmula:
Dando ésta como
solución más general del problema. El sagaz espíritu
de Euler hizo la observación siguiente: si eso es cierto, haciendo t = 0, la fórmula
Mas todavía: si
la posición inicial de la cuerda fuese un polígono, resultaría, de ser cierta
la afirmación de Bernoulli, que una sola expresión analítica puede
representar varios segmentos rectilíneos; es decir, coincide con una función
lineal en un intervalo, y es igual a otra función lineal en otro intervalo.
Esto parecía entonces tan paradójico y tan absurdo, que ni siquiera fue tomado
por muchos en consideración. El mismo
problema se le presentó mas tarde a Fourier(1807) en la teoría el calor, y mas
atrevido que Euler, contesta afirmativamente, demostrando por primera vez que
las series trigonométricas lo mismo sirven para representar curvas geométricas
que curvas arbitrarias, y, en particular, curvas compuestas de arcos geométricos
cualesquieras. He aquí uno de los ejemplos mas sencillos de Fourier: La función que hace corresponder a
x el valor 0 en todo el intervalo
El único
criterio en que apoyaban las Matemáticas su distinción entre funciones analíticas
y correspondencias arbitrarias, entre curvas empíricas y curvas geométricas,
cayó así por su base. Se planteo inmediatamente el siguiente dilema. O no se
consideran las series trigonométricas como funciones, es decir, se excluye el símbolo
lim entre los admitidos para definir funciones, en cuyo caso habría que
suprimir gran parte del análisis matemático, o se amplia el significado de la
palabra función. La elección no
era dudosa; la Matemática prefiere siempre el grado máximo de generalidad,
porque generalidad significa supresión de excepciones, y por tanto mayor
sencillez y belleza. Así se llegó al amplísimo concepto general de función
formulado por Dirichlet y Riemann, quedando definitivamente incorporado a
la Matemática: Función es toda correspondencia entre dos conjuntos, cualquiera
que sea el modo de establecerla. Si una función
f es representable mediante una serie de potencias, esta serie es la serie de
McLaurin, es decir, la representación es única. Una cuestión análoga,
respecto a la unicidad de la representación de una función f mediante una
serie trigonométrica. Al principio se formuló el problema de unicidad de la
representación mediante una serie trigonométrica de la manera siguiente: ¿Pueden
existir dos series trigonométricas distintas que convergen a la misma
función en todo punto del intervalo
Esta pregunta
equivale a la siguiente: ¿Existe una serie trigonométrica que converge a cero
en todo punto de
El problema e la
unicidad e la representación de una función mediante una serie trigonométrica,
la llamada serie trigonométrica de Fourier, logró importancia fundamental
cuando Seidel, Stokes y Weierstrass descubrieron que la integración por término
de un aserie de funciones, si no es uniforme convergente, en general, no es
permisible. Por lo tanto, surgieron dudas en cuanto a la deducción de las fórmulas
de Fourier para calcular los coeficientes de una serie trigonométrica mediante
integraciones por término. Otra dificultad era cómo las matemáticas podían
demostrar que las series trigonométricas no son necesariamente series de
Fourier. Cantor en 1872
demostró que la unicidad e la representación se conserva si los puntos de
divergencia de la serie trigonométrica sobre
Esto no fue la
solución completa del problema. Dirichlet (1829) demostró por primera vez el
fundamental teorema que lleva su nombre: “Toda función
que cumple las condiciones de Dirichlet en un intervalo, se puede desarrollar en
serie de Fourier: f(x) =
La cual expresa
el valor de la función en los puntos de continuidad, y es igual a la semisuma
de los valores límites de f(x) en los puntos de discontinuidad ordinaria.
“Este desarrollo es único, y los coeficientes están dados por las fórmulas:
Durante mucho
tiempo se admitió como verdad inconclusa (que no ofrece dudas) que toda función
continua tiene derivada en cada uno de sus puntos convicción nada extraña,
puesto que las funciones mas sencillas, únicas hasta entonces consideradas, son
en efecto, derivables. Weierstrass
(1872) dio el primer ejemplo de una función continua que no admite derivada en
ninguno de sus puntos. Un caso particular de la función de Weierstrass es la
siguiente:
Para probar que
esta función es continua en todo Ñ
hay que apoyarse en los teoremas siguientes: 1.
“Toda sucesión uniformemente convergente de funciones continuas posee
una función límite continua”. 2.
Prueba M de Weierstrass:”Si para una serie
Y como las
En Calculus,
Michael Spivak Pág. 623-626 puede verse la gráfica de las primeras sumas
parciales
Luego, la función
de Weierstrass es una función continua que no admite derivadas para ningún
valor de x y no es susceptible de representación gráfica. Esto último es una
contradicción con la síntesis cartesiana, que identifica la noción geométrica
de curva con la noción abstracta de función. Esta contradicción fue tal que
el famoso matemático Hermite expresó: “Yo me aparto con horror y terror de
esa plaga lamentable de las funciones continuas, que no tienen derivadas” Conclusiones: Hemos visto como
la convergencia uniforme la respuesta afirmativa a las siguientes preguntas: En una serie de
funciones
1.
Si todas las
2.
¿Si
Por último
hemos tratado de mostrar como cada crisis o situación paradójica hace
realmente pasar de un nivel inferior del conocimiento a un nivel superior,
poniendo de manifiesto el desarrollo dialéctico de las matemáticas. Lenin escribió
en Materialismo y Empirocriticismo: “El
pensamiento humano, por su naturaleza, es capaz de proporcionarnos, y
proporciona en realidad, la verdad absoluta que resulta de la suma de verdades
relativas. Cada fase del
desarrollo de la ciencia añade nuevos granos a esta suma de verdad absoluta;
pero los límites de la verdad de cada tesis científica son relativos, tan
pronto ampliados como restringidos por el progreso consecutivo de los
conocimientos”. Bibliografía: 2.
Sánchez, C. (1982) Análisis Matemático I.
Pueblo y Educación. La
Habana. 3.
Spivak, M. (1966) Calculus. Editora Revolucionaria. La Habana. 4.
Vorobiov, N. N. (1979)
Teoría de series. Editorial Nauka.
Moscú. Datos
de los autores: Lic: Josefa Pérez Rodríguez,
graduada de Licenciatura en Educación, especialidad Matemática. Compartir Publicación enviada por Lic. Josefa Pérez Rodríguez y Lic. Luis Jesús Padrón Arredondo Contactar mailto:lpmpgp@yahoo.es Código ISPN de la Publicación EEFAuFAEuEUSrYFfDI Publicado Wednesday 8 de February de 2006 Ultimas Publicaciones en ilustrados.com
ilustrados.com nace con el fin difundir el conocimiento publicando trabajos de investigación, monografias, tesis, presentaciones powerpoint y afines. Publicar trabajos en ilustrados.com ha alcanzado prestigio y reconocimiento internacional siendo cada vez más el número de académicos, empresas, investigadores, científicos que consultan las publicaciones de nuestro portal. | |||||||||
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