Monografias | Una estructura geométrica para electromagnetismo

Resumen

Mostraremos que las cantidades físicas fundamentales de electromagnetismo (EM) son naturalmente asociadas con elementos geométricos del espacio- tiempo tal como puntos e instantes (eventos), líneas temporales (intervalo), líneas espaciales, superficies espaciales, etc. Esta asociación requiere una distinción entre una orientación interna y externa de los elementos geométricos. Este nos conduce a analizar las cantidades y ecuaciones físicas en forma discreta usando una celda compleja del espacio-tiempo y su dual, describiendo la distribución de variables físicas por medio de cocadenas. Después, usando un sistema de coordenadas espacio-tiempo, podremos pasar a la formulación diferencial

1.- FORMULACION DISCRETA

Nos proponemos a mostrar que podemos dar una formulación discreta de electromagnetismo usando nociones elementales de algebra topológica y luego podremos pasar a la formulación diferencial vía formas diferenciales

La descripción matemática de un fenómeno físico se sustenta por la existencia de atributos cuantitativos de dicho sistema físico que puede ser descrito mediante una magnitud física. Además, el poder descriptivo y predictivo de una teoría física depende de la información contenida en sus magnitudes físicas. Aquí mostraremos que las magnitudes físicas contienen más información que lo que normalmente consideramos, entre ellos esta: 

• Muchas cantidades físicas están asociadas con uno de los 4 elementos espaciales: puntos (p), líneas (L), superficies (S), volumen (V) y con uno de los dos elementos temporales: instante (I) o intervalo de tiempo (T). ahora considerando el espacio y tiempo juntos debemos ver que allí existe 8 posibles combinaciones de elementos del espacio-tiempo: eventos (PI), líneas espaciales (LI), líneas temporales (PT), superficies espaciales (SI), superficie (LT), volumen espacial (VI), volumen temporal (ST) y hipervolumen (VT). Esto nos sugiere introducir las celdas complejas en el espacio-tiempo y el estudio de las leyes físicas en una forma finita y después recién volver a la formularon diferencial

• En esta correspondencia la noción de orientación interna y externa del elemento del espacio-tiempo juega un rol importante

• En  una formulación discreta, al usar una celda compleja y su dual, algunas magnitudes físicas serán directamente asociadas con celdas de dicha celda compleja mientras otras estarán asociadas a su dual

Estas propiedades como se puede apreciar revela una profunda estructura geométrica que poseen todas las teorías físicas

1.1 .- ASOCIACION CON ELEMENTOS DEL ESPACIO-TIEMPO  

Para ilustrar a un mas nuestro punto de vista nosotros citaremos a Henry lebesgue “aquellas cantidades físicas que son directamente medibles se les denomina también como funciones de dominio: … pudiendo ser un dominio lineal, es decir un intervalo, un dominio plano o un dominio de mas de tres dimensiones”  

Este es el caso de magnitudes globales, es decir aquellas que nosotros usualmente obtenemos integrando sobre una línea, superficie, volumen o tiempo de las funciones de campo. La tabla I muestra las variables globales de electromagnetismo¹. Podemos ver fácilmente que cada cantidad global del lado izquierdo tiene la misma dimensión física que el flujo magnético, y por lo tanto tiene la misma unidad (Weber en SI). Del mismo modo las cantidades del lado derecho tiene la misma dimensión que la carga, por lo tanto estos deben ser medibles en la misma unidad (Coulomb en SI). Además observamos que el producto de la carga eléctrica por el flujo magnético (que tiene la misma dimensión que una carga magnética) es la Acción.   

Tabla I

El hecho de que estas cantidades globales son expresados mediante integrales espaciales y temporales sugiere que ellos tienen una directa asociación con los correspondiente  elementos del espacio-tiempo, es decir puntos(P), líneas (L), superficie (S), volumen (V), instante de tiempo(I), intervalo de Tiempo(T) y algunas combinaciones de estas.

1.2 .- ORIENTACION INTERNA Y EXTERNA

Una comparación de las integrales de la columna Izquierda y derecha de la tabla I muestra que los mismos elementos tienen diferente clase de orientación. Por lo tanto, el flujo magnético  es asociado con un elemento superficial de orientación interna, es decir con una dirección prescrito a lo largo de su contorno. Por el contrario,   la superficie asociada a la integral  del  lado   derecho tal  como del  flujo magnético  

¹el tilde sobre el símbolo representa el elemento del espacio-tiempo con orientación externa requiere de una orientación externa, es decir una dirección que especifica un cruce de un lado a otro

Lo mismo pasa con el impulso de tensión eléctrica y magnetica²: el primero es referido a líneas dotadas de una orientación interna, mientras que el segundo con líneas dotadas de orientación externa. Para probar lo dicho, observemos que en la ley de Ampere el cambio de la dirección de la corriente en un circuito implica un cambio en el signo de la tensión magnética: esto significa que en la definición de la tensión magnética la línea adopta una orientación externa

 La asociación de las variables electromagnéticas globales con elementos espaciales y temporales es mostrada en la Fig. I. las 6 cantidades globales de EM son:

 ²usaremos el termino “tensión” como sinónimo de “voltaje”

Figura I

El hecho de que las cantidades globales de EM son asociadas con distintas clases de orientación puede ser inferido a partir de su definición operativa ilustrado en la figura II. Como se muestra en a) y b). Nosotros primero medimos la fuerza y luego evaluamos el trabajo W^* para cada desplazamiento virtual L. la tensión eléctrica U a lo largo de la línea L es entonces definido como el trabajo virtual W^* por unidad de carga y el flujo magnético como el trabajo virtual por unidad de corriente,

Figura II

Donde q denota la carga de prueba y i denota la corriente de prueba. Si nosotros cambiamos la orientación interna de L entonces ambas W^* y U cambian de signo. La correspondiente definición de la tensión magnética y del flujo magnético son, ver Fig. II c) y d)

Donde I denota la corriente que nulifica el campo dentro de la bobina de prueba y Q denota la carga inducida sobre la cara positiva del elemento superficial que nulifica el campo eléctrico dentro de la región bordeada por los dos discos. Aquí I y Q son medibles, mientras en la ecuación (1) las correspondientes cantidades i y q son asignadas y el trabajo virtual es evaluado después que la fuerza haya sido medida

Es importante notar que algunas de las cantidades físicas son asociadas a las celdas primarias de una celda compleja, mientras otras a su dual. Para explicar esto, tomaremos un caso en particular. Consideremos un campo térmico. Si las dos celdas de la figura III son concebidos como dos cuartos, es natural asociar la energía térmica U a ambos cuartos y el caudal de energía (calor) Q a la pared separadora. Es natural también asociar la temperatura de cualquier cuarto con sus respectivos baricentros. Consecuentemente la diferencia de temperatura P es asociado a las líneas conectando los dos baricentros de cada cuarto.                     

Figura III

Así notamos que ambas celdas complejas (primaria y dual) son envueltos en la asociación de variables físicas con los elementos espaciales. Es observable que las ecuaciones constitutivas de Fourier ligan las variables Q y P que corresponden a una pareja de elementos duales

Esta propiedad es común en muchas teorías físicas

Las variables asociadas con p-celdas y su dual (n-p)-celdas son conjugados en el sentido de que su producto da la energía (Acción en el espacio-tiempo). El prototipo de variables conjugadas es por ejemplo, la fuerza y el desplazamiento (espacio tangente y cotangente en geometría diferencial)

 Todas estas observaciones nos llevan a precisar el significado de la noción de orientación interna y externa de un elemento espacial. Antes debemos preguntarnos si existe un sistema natural que pueda enfatizar el elemento espacial y sus orientaciones. Tal sistema Si existe, si nosotros usamos la noción de celdas complejas a partir de la algebra topología, en particular de la teoría homologica

2.- CONCLUSIONES

Concluimos lo siguiente:

Ø      Las magnitudes físicas poseen una profunda estructura  geométrica  

Ø      La noción de orientación interna y externa de un elemento del espacio tiempo nos exige trabajar en dos celdas complejas duales  

Ø      La formulación finita en EM es factible, lo cual es útil para la simulación numérica.  

Para concluir nosotros citamos lo siguiente “las leyes de la electrodinámica fueron primero expresados en términos de integrales de campos sobre círculos de distintas dimensiones, es únicamente a partir de la extrapolación de estas integrales a círculos infinitamente pequeñas que se obtiene las ecuaciones de Maxwell como se conocen ahora…”

REFERENCIAS

[1] Alexandrov P., Elementary Concepts of Algebraic Topology, Dover, 1961.  

[2] Bohm D., Hiley B. J., Stuart A. E. G., On a New Mode of Description in Physics,  Int.J. of Theory. Phys. vol. 3, No. 3, (1970), pp. 171-183.

[3] Fomenko A. T., Differential Geometry and Topology, Consultants Bureau, 1987.  

[4] Tonti E., on the mathematical structure of a large class of physical theories, Rend. Acc. Lincei, vol. LII, pp.48-56, 1972.  

[5] Weyl H., Repartición de corriente en una red conductora: Introducción al Análisis Situs Combinatorio, Revista Mathematica Ispano Americana, Tomo V, p.153.

[6] Lefschetz S., Introduction to Topology, Princeton Univ Press, 1949.

[7] H. Lebesgue, Leçcons sur la theorie de l'integration, Chelsea. Julio 29, 2005  

Bach: César Juan Alarcón LLacctarímay (universidad nacional del callao)

Correo: cesaralarconll@hotmail.com

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