Monografias | Principios de Geometría Analítica y Álgebra LinealPrincipios de Geometría Analítica y Álgebra LinealResumen: Espacio Vectorial La Línea Recta Concepto de Línea Recta Pendiente de una Recta Ecuación de La Recta Forma Simétrica de la Ecuación de la Recta Rectas Y Vectores Circunferencia Forma General de la Ecuación de una Circunferencia Tangente a una Circunferencia Tangente a una Curva Parábola Elipse Hipérbola Asíntotas Subtangente y Subnormal Ecuación General de Segundo Grado Transformación de Coordenadas Traslación de Ejes de Coordenadas Rotación de Ejes de Coordenadas Coordenadas Polares Lugar Geométrico Lugar Geométrico de la Recta en Dimensiones Ecuaciones Paramétricas Distancia de un Punto a una Recta El Plano La Esfera Coordenadas Esféricas Superficies Construcción de una Superficie Tema de Aplicación Construcción de Volúmenes Indice 1.ESPACIO VECTORIAL.
Teorema: 3.CIRCUNFERENCIA Circunferencia
es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que
se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el
punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.
La
circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el
nombre de ecuación en forma ordinaria. 3.1.Forma
general de la ecuación de una circunferencia. Dada
la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos
los cuadrados y tenemos: X2
– 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2;
agrupando términos: X2
+ y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2)
= 0; por último tenemos:
D
E
F X2
+ y2 + Dx +Ey + F = 0
que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier ecuación
en forma ordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma
general. 3.2.Tangente
a una circunferencia. Dada
la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación
de la tangente a la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de
contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto exterior por el cual
pasa la recta tangente. En
geometría elemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la
circunferencia, el estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en
general, por ello, estudiaremos un método que se aplique a todas las curvas
existentes en el siguiente apartado. 4.TANGENTE
A UNA CURVA Dada
la función f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y
= mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y la sustituimos en
f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado,
la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación
de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D
y lo igualaremos a cero quedando
de la forma D
= 0 y le llamaremos “condición de tangencia”. En
la expresión <1> hablamos de una función general en dos variables y nos
referimos a funciones cuadráticas donde y = mx + b representa una
familia de rectas y el sistema pretende determinar cuál de esas rectas es
tangente. Resolviendo
nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con
anterioridad, para la variable x y como estamos buscando una única
solución se deduce que el discriminante tiene que ser igual a cero, es decir,
estamos hablando de la condición de tangencia. De
manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas. 1)
Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente. 2)
Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes. 3)
Se conoce un punto exterior por el cual pasa la tangente, aquí hay dos
tangentes. Para
hallar las ecuaciones de las tangentes se sustituye el dato conocido en la
ecuación de la recta y se resuelve la aplicando la condición de tangencia,
determinando así la ecuación de las rectas. 5.PARÁBOLA
Una
parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo
manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a
su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto
fijo se le llama foco y la recta fija directriz. La
recta que es perpendicular a la directriz y
que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola
con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el
segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra
gráfica, esta es el lado recto. Los
elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado
recto, y la ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas
con ejes focales paralelos al eje X
o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice
al foco. Teorema:
La
ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es
de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y
sus elementos son los siguientes: q
Foco(h + p, k) q
Directriz x = h – p q
Eje focal y = k q
Donde 4| p | es la
magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice. q
Si p > 0 la parábola
se abre hacia la derecha. q
Si p < 0 la parábola
se abre hacia la izquierda. Si
el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² =
4p(y - k) y sus elementos son: q
Foco (h, k + p) q
Directriz y = k – p q
Eje focal x = h q
Si p > 0 la parábola
se abre hacia arriba. q
Si p < 0 la parábola
se abre hacia abajo.
6.
ELIPSE Una
elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal
manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los
dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Los
elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:
q
F y F’, focos. q
V y V’, vértices q
C, centro. q
d(V, V’), eje mayor. q
CF, lado recto. q
d(A, A’) eje menor. q
L’, eje normal. q
L, eje focal. Es
importante observar que F, F’, C,
V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V es igual a
la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices. Teorema:
La
ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X esta dada por:
(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1, y paralela al eje Y es: (x - h)²
/ b² + (y - k)² / a² = 1. En
donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es
la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a,
b, c están ligadas por la siguiente relación: a² = b² + c². También
para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y
la excentricidad e = c / a. 7.
HIPÉRBOLA Una
hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal
manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que
la distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran en la
figura:
q
F y F’, focos. q
V y V’, vértices. q
L, eje focal. q
VV’, eje transverso. q
C, centro. q
L’, eje normal. q
AA’, eje conjugado. q
CF, lado recto. Teorema: La
ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo
al eje X es de la forma: (x - h)² / a² - (y - k)² / b² =1, sus
focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus vértices son (h – a, k) y (h + a,
k). Si el eje focal es paralelo al
eje Y su ecuación es de la forma: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² =
1, sus focos son (h , k + c) y (h, k - c) y sus vértices son (h - a, k ) y
(h + a, k ). Donde para cada parábola a
es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la
distancia del centro a cada foco; a, b, c están ligadas por la relación
c² = a² + b².. También la longitud de cada lado recto es 2b² / a y
la excentricidad está dada por la relación e = c /a. 8.ASÍNTOTAS Si para una curva dada, existe
una recta talque, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del
origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece continuamente y tiende a
cero dicha curva se llama asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o
vertical. Teorema:
La hipérbola b²x² - a²y²
= a²b² tiene por asíntotas
las rectas: bx – ay = 0 y bx + ay = 0. 9.
SUBTANGENTE Y SUBNORMAL Veamos la siguiente figura:
siguiendo
la figura podemos decir lo siguiente: q
L es
tangente a la curva C en el punto P1. q
L’ es la recta trazada
por P1 perpendicular a L
y se llama normal a C en P1. Su ecuación es y – y1 =
-1/m(x – x1). q
La tangente y la
normal cortan al eje X en T y N. q
La longitud P1T
es la longitud de la tangente y P1N es la longitud de la normal. q
La proyección QT
de la longitud de la tangente sobre X se llama subtangente . q
La proyección QN
de la longitud de la normal sobre X se llama subnormal. Si m es la pendiente de una
curva plana continua C en P1(x2, y1), entonces
en P1 tenemos: q
Ecuación de la
tangente a C: y – y1 =
m(x – x1). q
Ecuación de la
normal a C: y – y1 =
-1/m(x – x1) con m != 0. q
Longitud de la
tangente: y1 / m (1 + m²) ½ con m ¡= 0. q
Longitud de la
normal: y1(1 + m²)½ . q
Longitud de la
subtangente: y1 / m q
Longitud de la
subnormal: my1. 10.
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Esta ecuación tiene la
siguiente forma: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y representa alguna de las
cónicas. Teorema:
La ecuación general de
segundo grado representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola
según el indicador I = B² - 4AC sea 0, negativo o positivo respectivamente. 11.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Una transformación es una
operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia por otra
siguiendo una ley dada. Analíticamente la ley se expresa mediante una o más
ecuaciones llamadas ”ecuaciones de transformación”. 11.1.Traslación
de ejes de coordenadas. Si se trasladan los ejes
coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto (h, k), y si las coordenadas de
cualquier punto antes y después de la traslación son (x, y) y (x’, y’)
respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al
nuevo sistema de coordenadas son: x
= x’ + h;
x’ = x - h y
= y’ + k; y’ = y – k 11.2.Rotación
de ejes de coordenadas. Si los ejes coordenados giran
un ángulo q
en torno de su origen como
centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después
de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por: x
= x’cos(q)
– y’sen(q);
y = x’sen(q)
+ y’cos(q) 12.COORDENADAS
POLARES Veamos la siguiente gráfica:
De
ella podemos decir que x = rCos(q)
y y = rSen(q),
por
tanto, podemos representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado
coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el ángulo q,
así, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r, q). 13.LUGAR
GEOMÉTRICO El
ligar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntos y solo de
aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y
además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El hallar
la ecuación de la curva y todas sus propiedades es un problema de lugar geométrico,
donde se busca una expresión matemática que describa la situación. 13.1.Lugar
geométrico de la recta en 3 dimensiones. Dados
dos puntos fijos la recta se describe por aquellos puntos que se mueven a lo
largo del vector que describen esos dos puntos en dirección contraria. 13.2.Ecuaciones
paramétricas. La recta queda determinada por
un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i +
b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que PoP es
paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número
real t. Si r = OP
y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0,
respectivamente, entonces: èP0P
= t^v èP0P
= r – r0 èr
= r0 + t^v (1) Si escribimos r = (x, y ,z) y
r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes
en (1) tenemos, x
= x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct y éstas se denominan
ecuaciones paramétricas (vea la gráfica).
Si despejamos t de las
ecuaciones paramétricas obtenemos
las ecuaciones simétricas o estándar: (X
– x0) / a = (y – y0) / b = (z – z0) / c 14.DISTANCIA
DE UN PUNTO A UNA RECTA Para hallar la distancia de un
punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante: P(r, s) Recta L: Ax + By +
C = 0 d(P, L) = + Ar + Bs + C /
(A² + B²)½ (1) y otra alternativa es
calcularla de forma vectorial la cual está dada por: d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L
|, donde K y L son vectores determinados, aquí el procedimiento que se sigue es
obtener los vectores K y L, realizar el producto vectorial por medio de
determinantes y llegar a la fórmula (1). 15.
EL PLANO
Primero definamos lo que es
producto cruz, sean vectores ^v = (x1, x2, x3
) y ^w = (y1, y2, y3), entonces lo
definimos por medio del cálculo del determinante siguiente:
Ahora
sí definimos al plano, un plano en tres dimensiones es el lugar geométrico de
los puntos, por los que u punto móvil se traslada de tal forma que el vector de
él a un punto fijo de él es siempre perpendicular a un vector fijo llamado
normal al plano. Consideremos la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D = 0
con A, B, C no todas nulas. Para
dos vectores dados cualesquiera ^v y ^w su producto cruz (^v × ^w) es un vector
perpendicular a ^v y a ^w y sus números directores son los mismos que los de la
normal al plano. 16.LA
ESFERA El
lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que se
mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El
punto fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuación es muy parecida a
la de la circunferencia, esta es: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²,
donde r es el radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos. En el caso de la
circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la esfera
hablaremos del plano tangente a una esfera, el cual se obtiene buscando el
vector que describe el centro con el punto de contacto y determinar la ecuación
de la normal al plano. La
forma general de la ecuación de la esfera es : x² + y² +z²
+ Gx + Hy + Iz + K = 0 16.1.Coordenadas
esféricas. Es
posible representar un punto en el espacio en otro sistema de coordenadas
denominado coordenadas esféricas, el cual considera la distancia al origen y
los ángulos que forma ese radio vector con los ejes X y Z, eto implica que el
punto P(x, y, z) puede escribirse como: P(r, a,
q). Teorema: Las
coordenadas rectangulares y esféricas de un punto en el espacio están ligadas
por las relaciones: X
= rSen(a)Cos(q);
y = rSen(a)Sen(q);
z = rCos(a). 17.
SUPERFICIES Se llama superficie al
conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación del tipo f(x,
y, z) = 0. Definición: Se dice que dos puntos
distintos son simétricos con respecto a un
plano si y solamente si el plano es perpendicular al segmento que los une en el
punto medio. Definición: Se dice que una superficie es
simétrica con respecto a un plano de simetría d
si el simétrico de cada punto de la superficie respecto del plano d
es también un punto de la superficie. 17.1.Construcción
de una superficie. Construir una superficie es
muy complicado, por ello se han diseñado otras
estrategias para hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir los
siguientes puntos en la construcción de cualquier superficie: 1)
Verificar
los interceptos con los ejes coordenados: En las intercepciones con los
ejes, los puntos tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0, y, 0)
en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la ecuación de la superficie,
satisfacen la misma, y al hacerlo, podemos encontraren valor de x, y y z. 2)
Verificar
las trazas: Un razonamiento similar al de
los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las
figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes
coordenados, entonces aquí buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las
trazas en los planos correspondientes tienen la siguiente expresión: en el
plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y, z), que como
pertenecen también a la superficie, deben satisfacer su ecuación, por lo que
al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuación de la superficie se
determina la curva correspondiente (la ecuación) de la traza en sus planos
respectivos. 3)
Verificar
la simetría de la superficie. Para verificar la simetría de
una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice: Tabla
de simetría Si
la ecuación de la superficie no se altera cuando las variables x, y
y z son reemplazadas por: La
superficie es simétrica respecto al: -x,
y, z Plano
YZ x,
-y, z Plano
XZ x,
y, -z Plano
XY -x,
-y, z Eje
Z -x,
y, -z Eje
Y x,
-y, -z Eje
X -x,
-y, -z Origen 4)
Verificar
secciones. Para hacerlo, se trazan planos
paralelos a la superficie para observar que curva se forma cuando se
interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x, y, k), k = z, en
el plano XZ(x, k, z), k = y y en el plano YZ(k, y, z), k = x. 5)
Definir
la extensión de la superficie. Simplemente se refiere al
alcance que tiene la superficie, es decir, cuales son sus límites, si está
definida dentro de un intervalo de valores para las variables o no, etcétera. 18.
TEMA DE APLICACIÓN 18.1.Construcción
de volúmenes. Por volumen entendemos una
porción del espacio limitada por
una o más superficies, si un volumen está limita solo por una superficie, tal
como un elipsoide, dicho volumen puede representarse mediante la construcción
de una superficie, si un volumen está limitado por una o más superficies, su
construcción requiere la construcción de cada superficie que lo forma y de sus
curvas de intersección, veamos dos ejemplos: EJEMPLO
1: Construir el volumen limitado por las superficies x² +
y² = 4 y x + y – z = 0. Solución:
La
superficie que se desea está limitada por la superficie del cilindro circular
recto x² + y² = 4, el plano x + y – z = 0 y los planos coordenados x = 0,
y = 0, y z = 0. Construimos primero una parte del cilindro en el
primer octante. El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se puede construir
mediante sus trazas sobre los planos XZ y YZ. Luego construimos la curva de
intersección de este plano y el cilindro; para obtener cualquier punto P de
esta curva, empleando un plano de corte paralelo al plano XZ, lo hacemos como
indica la siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la línea llena.
EJEMPLO
2: Construir
el volumen limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y = 3z , x
– y + 1 = 0, x = 0 y
z = 0 y que está a la izquierda del plano x – y + 1 = 0. Solución:
La
porción de la curva de intersección del cilindro parabólico recto x² + 2y =
4 y el plano 2y = 3z aparece en la última figura por el arco AB. El plano x –
y + 1 = 0 corta al arco AB en el punto D, al cilindro en la generatriz CD, al
plano 2y = 3z en la recta DE y al
eje Y en el punto F , entonces el volumen requerido, que aparece en la línea
gruesa, está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del plano 2y =
3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano x = 0 y AOFC del plano z = 0.
19.REFERENCIAS 1)
Purcell Edwin J.,
Varberg Dale, Rigdon Steven E. (2001) Cálculo Octava Edición Pearson Educación,
México. 2)
Lehmann Charles
H. (2003)Geometría Analítica, Limusa Noriega Editores, México. Autor: Compartir Publicación enviada por Luis Antonio Fernández Aldana Contactar mailto:goodlafa@yahoo.com.mx Código ISPN de la Publicación EEkFykpuVZFCLOBjvu Publicado Tuesday 9 de August de 2005 Ultimas Publicaciones en ilustrados.com
ilustrados.com nace con el fin difundir el conocimiento publicando trabajos de investigación, monografias, tesis, presentaciones powerpoint y afines. Publicar trabajos en ilustrados.com ha alcanzado prestigio y reconocimiento internacional siendo cada vez más el número de académicos, empresas, investigadores, científicos que consultan las publicaciones de nuestro portal. | |||||||||||||||||||||||||||
