Monografias | Filosofía Básica y Lenguaje en Matemática

Resumen

Este trabajo relacionó el lenguaje de las matemáticas con el lenguaje de la lógica.  La idea principal consistió en establecer la importancia y hacer una distinción entre el lenguaje formalizado como lo son la expresión y el lenguaje ordinario.  Aunque la matemática se ha tornado más lógica y la lógica  más matemática,  por esta razón, entre la matemática y la lógica no se puede trazar una línea divisoria, pues en realidad ambas son una sola.

Palabras  Claves:  Filosofía Matemática,  Lógica  Matemática.

Introducción

La  filosofía matemática se caracteriza por preguntarse a partir de qué ideas y principios más generales se podrían definir o deducir los postulados de los cuales se parte.  Uno de los precursores de la filosofía matemática es B.  Russell.

Por su parte Russell,  contribuyó de manera definitiva al desarrollo del positivismo lógico,  una de las corrientes filosóficas más importante  durante las  décadas   de 1930   y   1940.   El pensador austriaco  más importante de aquellos tiempos,  Ludwig  Wittgenstein,  que fue su alumno en  Cambridge,  recibió su influencia en sus primeros estudios filosóficos por su original concepto del atomismo  lógico.  Además, en la búsqueda de la naturaleza y límites del conocimiento,  desempeño un gran papel en el resurgir del empirismo  dentro del campo más amplio de la epistemología,  así como también,  el conocimiento  del mundo externo (1926)  e investigación sobre el significado y la verdad (1962),  intento explicar todo el conocimiento objetivo como construido a partir de las experiencias inmediatas.

Por otra parte, para la matemática clásica, existían por un lado los entes matemáticos y por el otro la realidad física a la cual se podía adaptarlos con mayor o menor precisión,  Sin embargo su filosofía  se caracteriza por ser una búsqueda apasionada de la certeza desde posiciones manifiestamente escéptica.  Para ello, se apoyará en una inclinación muy temprana hacia las matemáticas,  indagando en la lógica matemática.

Notas de Filosofía  Matemática

En el pasado las matemáticas  eran consideradas como la ciencia de la cantidad,  referida  a las magnitudes (como en la geometría),  a los número (como en la aritmética),  o la generalización de ambos (como en el álgebra).  Aunque a mediados del siglo XIX  las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones,  o como la ciencia que produce condiciones necesarias  pues esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica,  ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que conforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

     Por consiguiente,  a mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos como George  Boole y Augustus De Morgan  abrieron un nuevo campo a la lógica,  hoy conocido como  lógica simbólica o moderna,  que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob  Frege  y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand  Russell y Alfred  North  Whitehead en Principia Matemática.   De esta manera, el sistema lógico de Russell y  Whitehead  cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística,  puesto que introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen como son: ( o,  si,  y,  entonces...).  Cuenta con  símbolos diferentes   para el sujeto lógico  y el predicado lógico de una frase, así como también adjudica símbolos para distinguir las clases, los miembros de las clases, las relaciones de pertenencia de una clase y la inclusión de una clase. Además, se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. De esta manera,  “Todo  A es B”  significa en lógica moderna que “Si algo es A,  entonces es B”,  lo que ,  a diferencia de la lógica tradicional,  no significa que todo A existe.

     Es por ello que, tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva.  De tal manera que, las premisas de una preposición  válida contienen la conclusión y la verdad de la conclusión, el cual se deriva de la verdad de las premisas.  Sin embargo,  se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan  una  evidencia para la conclusión, pero la verdad  de la conclusión se deduce,  sólo con un margen relativo de probabilidad  de la verdad de la evidencia.  Por esta razón,  la contribución más importante a la lógica inductiva fue la aportada por el filósofo Jhon Stuart Mill,  quien en sistemas de lógica en el año 1843 estructuro los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. 

     No obstante, este estudio ha desembocado en el siglo XX, en el campo conocido como  la filosofía de la ciencia, el cual se encuentra muy relacionada con la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad.

     Al respecto,  Piaget (1979), establece que:

La teoría de la probabilidad plantea el problema de la causalidad y del azar en el centro mismo de los problemas epistemológicos de la matemática aplicada.  Encontrar una influencia reciproca resulta un poco menos trivial.  Los problemas epistemológicos no dejaron de provocar investigaciones técnicas, con la esperanza de esclarecer o soslayar las dificultades epistemológicas, respecto de las cuales ciertos matemáticos, al menos,  se mostrarían sensibles. (p. 33).

     Por otra parte,  Frege,  fudador de la lógica moderna, se preocupa por dilucidar la naturaleza de los números naturales y la fundamentación de la aritmética.  Para Frege es fundamental en las matemáticas determinar si la prueba ofrecidad a un particular teorema es válida. Una proposición puede ser pensada y puede, por otro lado, ser verdadera.  Además, demostrar cómo algo pudo ser pensado no resuelve el problema de su validez (Echeverría,  1993).  Por otro lado, Frege  sostiene que las marcxas que los matemáticos manipulan son signos de entidades reales y,  por lo tanto, tal manipulación expresa la naturaleza real de entidades reales.  Así mismo, las teorías empíricas concebían a las matemáticas como expresión de entidades reales en el sentido de ser propiedades perceptibles de objetos perceptibles.  Para Frege los números son objetos no perceptibles,  ni tampoco meros productos de procesos mentales.  Sostener que la expresión   30   es signo de entidad real,  objetiva,  el cual equivale a decir que las matemáticas son un lenguaje.

     Por esta razón, Frege citado por Echeverría (1993) afirma que:

 Un lenguaje lógicamente perfecto debe satisfacer las condiciones de que toda expresión gramaticalmente bien construida,  a partir de signos ya introducidos,  debe designar de hecho un objeto,  y que ningún signo nuevo debe ser introducido como nombre propio  sin que se le asegure una referencia. (p.  150).

     Ello sugiere que, la superioridad de las matemáticas como forma de conocimiento,  tal como lo pensaba  Frege,  se reflejan en el lenguaje que las matemáticas usan, lo cual se traducen en que las matemáticas ya no sólo aparecen asociadas a la lógica,  sino también al lenguaje.  De allí que,  pueda establecerse  una importante distinción entre el lenguaje formalizado,  del cual las matemáticas son expresión, y el lenguaje ordinario del cual es expresión el hablar cotidiano.

     Por su parte,   Echeverría   (1993),  plantea que:

Frege sostiene que en los lenguajes formalizados como en las matemáticas,  lo que se expresa se restringe a lo que es necesario para la inferencia.   En el lenguaje ordinario,  en cambio,  la forma gramatical esconde normalmente la forma lógica...  El lenguaje ordinario puede pretender asimismo, entretener, distraer, seducir, etc.  Aunque Frege será uno de los primeros en reconocer que el lenguaje realiza otras funciones,  además de la asertiva, entiende que el análisis lógico puede y debe prescindir de ellas...(p.  144)

     Así   como,  la filosofía de Austín   citado por Echeverría  (1993)  señala que:

El lenguaje ordinario no puede pretender ser la última palabra, si es que existe tal cosa.  Sin duda,  lleva en sí  algo mejor que la metafísica de la edad de piedra,  a saber, (...)  la experiencia y el ingenio heredados a través de muchas generaciones de hombres.  Si una distinción sirve para los propósitos prácticos de la vida común (...) entonces podemos estar seguros de que hay algo en ella,  de que señala algo;  sin embargo es muy probable que no constituirá la mejor manera de presentar las cosas si nuestros intereses  son más amplios o más intelectuales que los ordinarios. En consecuencia, no cabe duda de que el lenguaje ordinario no es la última palabra... puede ser complementado, mejorado y superado.  Pero recuerden es la primera palabra. (p.  231-232)

     De esta manera, la situación descrita por Austin, representa un importante giro en la reflexión filosófica,  en la medida en que significa el paso de la epistemología a la filosofía del lenguaje.

     En otro orden de ideas,  dentro de los avances que se dieron en la lógica moderna, hay que mencionar la invención del cálculo diferencial e integral efectuada por Newton y Leibniz, de la geometría analítica acometida por Descartes y Fermat, y de la teoría de las probabilidades  por Pascal y el mismo  Fermat.   Por otra parte,  una de las mayores contribuciones de Gauss es su análisis sobre el teorema de binomio,  a partir del cual se plantea el problema de las series infinitas y Gauss afirma  que la verdadera esencia del análisis matemático es el efectuar correctamente el tránsito al infinito.

    Dentro de este marco,  otra contribución importante es la de Nicolás Lobachewsky,  que pondrá en duda el quinto postulado de Euclides, conocido como el postulado de lasa paralelas, que sostenía que por un punto “P” sólo es posible trazar una recta paralela a “I.  Lobachewsky  se propone resolver este problema a través de una demostración negativa.  Lo que hace es sacar las conclusiones que resultan  de la negación del postulado o la hipótesis del ángulo recto.  Pero  lo que obtiene no es una contradicción sino la configuración de tres geometrías posibles (según sea el ángulo del segundo corte de 90º ,  más de 90º  o menos de 90º),  siendo por lo tanto la geometría euclideana sólo un caso particular.  

     Por su parte, Halmiton inventa un álgebra para la cual no es válida la ley de la conmutatividad de la multiplicación, en la cual  A X B = - B X  A,  de allí que otros matemáticos han desarrollado otras álgebras.

     Por  otro lado Riemann, en un campo distinto, demuestra que hay diferentes tipos de líneas y superficies, diferentes tipos de  espacios de tres dimensiones y que,  por la experiencia, se puede determinar el espacio que ocupa,  el cual,  la teoría se sustenta en la teoría de la relatividad de Einstein.

     Al respecto Echeverría  (1993),  señala que:

Einstein procuro establecer la configuración geométrica del espacio.  Al hacerlo llega a la conclusión que este no es euclideano, sino por el contrario, que el tipo de geometría  requerida es aquella desarrollada previamente por Riemann...La teoría de la relatividad conducía a la conclusión de que la luz debía ser atraída por los cuerpos pesados.  Einstein sostuvo que, si ello era efectivo, entonces la luz proviene de las estrellas, al pasar cerca del sol, debía ser atraída por la fuerza gravitacional de éste. (p. 168) .  

     De acuerdo a lo mencionado anteriormente, todos estos avances hacen de la matemática una disciplina muy parecida a la lógica, en la que aparecen comprometidas posibilidades lógicas diferentes según los supuestos iniciales del análisis.  Cabe señalar que,  en los tiempos modernos tanto la matemática como la lógica han evolucionado, de tal manera que la matemática se ha tornado más lógica y la lógica más matemática, de hecho es imposible trazar una línea divisoria entre ambas, porque realmente se trata de la  misma ciencia.

     Para los positivistas lógicos, las proposiciones matemáticas o lógicas son tautologías,  es decir,  ellas pueden ser probadas  por referencias a otras proposiciones, no verificadas.  Si son probadas demuestran  ser válidas.

     Por lo tanto el positivismo lógico le concede gran importancia a la educación,  gracias a ella se sostiene que es posible acelerar la asimilación del espíritu científico y liberarse de los presupuestos atávicos provenientes de la teología y la metafísica, que obstruyen las posibilidades de promover el desarrollo histórico.  Así como también la filosofía ha estudiado estos y muchos aspectos más,  relacionados con la matemática, lo cual es de suma importancia para el docente profundizar estoa aspectos,  y otros no estudiados aquí desde el punto de vista filosófico,  para tener una visión más extensa de los conocimientos  matemáticos.

Conclusión

La  evolución de los conceptos e ideas matemáticas tienen su desarrollo histórico, pues,  en realidad las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad:  en los diseños prehistóricos de cerámica,  tejidos y en  las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas.  No obstante los sistemas de calculo primitivos estaban basados, seguramente en el uso de los dedos de una o de las dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5  y  10.

Sin embargo,  los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las Leyes del Pensamiento (1854) y por cantor en su teoría de conjuntos.   De modo que, a finales del siglo XIX se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor y el matemático inglés Bertrand  Russell  encontró una de estas paradojas,  que afectaba al propio concepto de conjunto.  Por lo qu los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos,  bastante  restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras,  es decir,  sin demostrar que estas teorías son consistentes.   Hasta el momento sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).

Finalmente,  el conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca,  es por ello que las teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas.

Bibliografía

ECHEVERRÍA,  Rafael (1993).  El  Búho de Minerva. Introducción a la Filosofía Moderna.  Ediciones Pedagógicas Chilenas. Chile.

PIAGET,  Jean (1979).  Tratado de Lógica y Conocimiento Científico.  Epistemología de la Matemática.  Editorial Paidos.  Buenos Aires 1º Edición.  Volumen III

Russell, Bertrand (1988).  Introducción a la Filosofía Matemática.  Ediciones Paidos Barcelona.  Buenos Aires.  México.

Autora:

Marisela Lopez

Arbitrado por: Prof. Cirilo Orozco

 cirilotampa@hotmail.com

Universidad de Carabobo.

Maestría en Educación Matemática.

Valencia. Venezuela. 2005

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