Monografias | Epistemología de la Educación Matemática

La matemática surge desde la antigüedad, con la búsqueda de soluciones a las necesidades inmediatas de aquel entonces. El hombre prehistórico que daba nombre a las cosas y a los actos, que conservaba el fuego e imaginaba trampas para cazar animales, que construía viviendas y tumbas; que observaba el movimiento de los astros y destacaba direcciones especiales, que computaba distancias con su cuerpo y sus pasos; en ese hombre y en esas actividades estaban prefigurados los conceptos básicos de la matemática: número, medida, orden. Pero ¿Qué es la matemática?, más aún, ¿Cómo educar desde la matemática? ¿Cómo fundamentar la educación matemática?

Atendiendo a la primera interrogante, según Mariano Perero (1994) historia e historias de matemáticas:

 Para Aristóteles es la ciencia de la cantidad; para Rene Descartes, es la ciencia del orden y la medida; para Carl Gauss, es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas; para Henri Poincaré, la matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias; Bertrand Russell la define como la materia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto

Por su parte Fredy Gonzalez (1997) en su libro Paradigmas en la Enseñanza de la Matemática, refiriéndose a la definición de la matemática cita a los siguientes autores:

Toranzos (1963), al preguntarse que es la matemática, sostiene que la estructura de la matemática está constituida por los elementos siguientes: los conceptos, las proposiciones y relaciones referidas a los conceptos y los procesos de conceptuación (encadenamientos de conceptos) y demostraciones (proceso que permite pasar de una proposición o relación a otra). Asimismo Núñez Tenorio (1975) afirma que la matemática es un sistema de conocimientos científicos integrado por conceptos no definidos, axiomas, definiciones, reglas de deducción u operación y teoremas

Como es posible evidenciar, definir la naturaleza de la matemática no es tarea fácil, puesto que su origen reside en un proceso histórico, por lo que su desarrollo depende de las interacciones dialécticas entre diversas fuerzas económicas, políticas y sociales en distintas épocas históricas determinadas. Lo que si es cierto es que la misma es una ciencia que evoluciona lentamente hacia la axiomatización y la abstracción. Su naturaleza es bastante compleja, por lo tanto para responder a las otras interrogantes, es preciso asumir una postura filosófica que permita asentar las bases sobre las cuales se formará al individuo.

 En mi opinión dicha postura es el idealismo, razón por la cual en el presente trabajo se estudiarán sus fundamentos y sus implicaciones con la educación matemática.

De esta manera, el idealismo sostiene la teoría de que no existen cosas reales que sean independientes de la conciencia, es decir, el sujeto cognoscente, mediante la percepción aprehende al sujeto conocido y en su conciencia se da la representación del mismo. Para el idealismo el problema del conocimiento consiste en determinar mediante el pensamiento lo recibido en la percepción para que se convierta en objeto de conocimiento. Esta postura subyace en el principio de inmanencia, el cual según Verneaux (1989) Epistemología General o Crítica del Conocimiento, plantea “ es imposible conocer algo que exista en sí, fuera del pensamiento o de la conciencia” , puesto que todo conocimiento reside en la representación que se tenga del objeto o lo que es lo mismo en la idea. El principio mencionado anteriormente se explicita en el principio del fenomenismo y el principio de la relatividad. Según el primero lo que conocemos son fenómenos, los cuales no son más que las representaciones que el individuo se hace de los objetos. El segundo afirma que el conocimiento es relativo al sujeto, depende de la percepción de cada individuo, por lo que es subjetivo. Estos principios se aplican especialmente a la percepción, ya que mediante ésta el sujeto se pone en contacto con la realidad. Según Verneaux (1989):  “ Aplicado a la sensación el principio de inmanencia nos da lo siguiente. La sensación es un estado de conciencia, puesto que yo siento en mi y no en el objeto”.

Desde esta perspectiva, los individuos adquieren el conocimiento a partir de las representaciones que se hacen de la realidad, es decir la adquisición del conocimiento depende de la interpretación que el sujeto realiza de los objetos, de las impresiones que en el causan los objetos y fenómenos del mundo exterior. De esta manera, el ser humano elabora modelos de la realidad que guardan cierta similitud con los hechos reales, los cuales construye a partir de los sucesos observables que le son, por alguna razón, significativos, seleccionando, de esta manera solo algunos de los tantos datos extraíbles de la realidad (principio del fenomenismo). Asimismo, los datos que se consideran importantes no son los mismos para cada individuo (principio de la relatividad). En tal sentido, Jean Piaget denomina esquemas al conjunto de secuencias bien definidas de acciones en las cuales el individuo encaja los datos sensoriales que el ambiente le va aportando. Y sostiene que en los individuos  se dan los procesos de asimilación, adaptación y acomodación. El primero de estos procesos consiste en incorporar nuevos datos o información a los esquemas ya existentes, para lo cual es necesario que se lleve a cabo la acomodación, que no es más que desarrollar nuevos esquemas o modificar los ya existentes para darle sentido a las nuevas percepciones de la realidad. Cuando se logra la asimilación y la acomodación se lleva a cabo la adaptación; lo que quiere decir, que la adaptación es la capacidad que poseen todos los organismos a adecuarse a las exigencias de su entorno.

Según Piaget existe un equilibrio entre estos tres procesos, al cual se llega cuando el sujeto logra la apropiación de la nueva información, bien sea desarrollando nuevos esquemas o modificando los que posee, adaptándose de esta manera al medio que lo rodea; en otras palabras, cuando se completan los procesos de asimilación, acomodación y adaptación se alcanza el equilibrio. Por lo tanto el desequilibrio trae consigo una perdida de la estabilidad de la estructura mental de la persona y son los procesos de asimilación y adaptación los que permiten el reestablecimiento del mismo. El individuo consigue el equilibrio y luego se enfrenta de nuevo al desequilibrio lo que lo lleva a sentir la necesidad de volverlo a alcanzar. Todo esto trae como consecuencia el desarrollo y maduración de las estructuras mentales. Según Fredy González (1997):”la equilibración no es el único factor de desarrollo intelectual; además de éste hay al menos otros cuatro: maduración, experiencias físicas, experiencias lógico-matemáticas y experiencias sociales”. La maduración se refiere al desarrollo fisiológico del cerebro, las experiencias físicas están relacionadas con la interacción que tienen las personas con los objetos de su ambiente, las experiencias lógico matemáticas constituyen las reflexiones internas de la secuencias de acciones realizadas sobre los objetos con la que se reestructuran los esquemas y las experiencias sociales tienen que ver con las interacciones entre los individuos. Así, las experiencias físicas permiten la construcción del conocimiento a partir de la manipulación de los objetos mientras que con las experiencias lógico matemáticas, el conocimiento se construye a través de la acción relacionada con los objetos y las experiencias sociales contribuyen a la construcción del conocimiento por la interacción de un individuo con otro. Todos estos son factores externos del ambiente que influyen en las personas y a los que tienen que adaptarse.

En tal sentido, bajo la óptica Piagetiana los procesos de enseñanza y aprendizaje se efectúan debido a que al tener que enfrentarse a una situación problemática, el individuo tiende a integrarla a la estructura mental que posee si su estructura cognitiva permite que se de la acomodación, de no hacerlo se crea una situación conflictiva entre lo que su estructura mental lo capacita para entender y lo que el medio le exige. Lo que desencadena una ruptura del equilibrio, creando en el sujeto la necesidad de reestablecerlo, buscando la respuesta que de la manera más adecuada le permita acomodarse a la nueva situación.

¿Cómo podría  llevarse a cabo la educación matemática utilizando las ideas de Piaget?

Atendiendo a los componentes que estructuran el qué enseñar de esta disciplina: los conceptos, los principios, las generalizaciones y el propio método de estudio de la misma, para educar desde las matemáticas es preciso tomar en cuenta el papel que juega la equilibración en el proceso mental del aprendiz, por lo cual es importante plantear situaciones de conflicto mental que sean resueltas por el aprendiz; el docente solo debe mediar para que el estudiante por si mismo resuelva el problema. Es fundamental propiciar la participación del aprendiz en diversas experiencias físicas que le permitan interactuar con el objeto conocido y con otros individuos, ya que mediante las interacciones sociales, el mismo puede percibir puntos de vista diferentes al suyo lo que daría lugar al desequilibrio cognitivo y por ende a la necesidad de restablecerlo.  En tal sentido es indispensable que el docente cree en sus alumnos la necesidad de aprender para que los procesos de enseñanza y aprendizaje le sean realmente significativos.

 La naturaleza axiomática- deductiva de la matemática debe verse reflejada en la experimentación concreta y la actividad específica del alumno. Razón por la cual Piaget se refiere a dos tipos de experiencias: la física y la lógico- matemática. Con las primeras el sujeto manipula al objeto para abstraer del mismo sus propiedades y con las segunda la abstracción tiene lugar a partir de las acciones ejecutadas por el objeto.

De todo esto  surge la interrogante ¿Cómo propiciar una experiencias lógico-matemática partiendo de una experiencia física?

Una vez que se efectúa la manipulación del objeto se debe orientar la atención del sujeto hacia la operación realizada con el objeto, teniendo como objetivo alcanzar la abstracción lógico matemática de la operación y no que solo la realice para ver su resultado. De esta manera la actividad consistirá en valerse de recursos puramente matemáticos para descubrir la operación y luego volver la atención sobre la operación misma y no sobre el objeto. Para lo cual el docente debe suministrar hábilmente los recursos matemáticos requeridos para lograr la abstracción apoyándose en los conceptos matemáticos previos que posee el individuo. El docente debe preocuparse por estimular las capacidades de los educandos y no por sustituir sus razonamientos por los de él, con la finalidad de realizar una autentica actividad lógico-matemática y de incrementar la capacidad de conocimiento que el alumno posee y además los relacione con el problema.

Por otra parte, Rolando García (2000), plantea “La teoría de equilibración es una subteoría de la teoría general del conocimiento y constituye su columna vertebral”, también afirma que el concepto de estadio estaba relacionado con una evolución del conocimiento por reorganizaciones a través de etapas sucesivas con estructuras características. Y distingue entre dos versiones de la Teoría de equilibración. En la primera, sostiene que según Piaget ninguno de los tres factores clásicos en los que se basan  las explicaciones habituales del desarrollo: los elementos innatos de origen biológico, los provenientes de la experiencia y los que dependen de medio social son suficientes para explicar el desarrollo cognoscitivo. Dice que estos factores son irreductibles e interdependientes y que a su vez ellos dependen de un cuarto factor que los condiciona el cual es el factor de equilibrio. Por otra parte Rolando García (2000) mantiene:

Es cierto que Piaget consideró el desarrollo del conocimiento, particularmente en las etapas iniciales, como una prolongación de los procesos biológicos, y esto está en consonancia con lo que he llamado el principio de continuidad. Sin embargo, en esta concepción de la teoría epistemológica, las ideas básicas de la equilibración no provienen solo de la biología, sino que están más en consonancia con la situación de la física antes de la revolución generada en el primer tercio del siglo xx por la relatividad y la mecánica cuántica    

En efecto se llegó a una concepción mecánica del universo , centrada en el concepto de equilibrio. Rolando García (2000) realiza una descripción del contexto histórico desde el siglo XVI hasta el siglo XIX, con la finalidad de examinar el marco epistémico de aquel entonces, para luego relacionarlo con las teorías de Piaget. Así se tiene de acuerdo a este autor que:  

 La revolución científica de los siglos XVI y XVII culmina en la mecánica de Newton, quien formula las leyes del movimiento con las que explica la trayectoria de los planetas como los movimientos de los cuerpos sobre las superficies de la tierra. Sentando las bases de la teoría newtoniana, pero la formulación sistemática de la teoría se alcanzó en el siglo XVIII. Todo esto se basa en dos principios muy generales: el principio de trabajo virtual, un sistema está en equilibrio si en ningún desplazamiento virtual se efectúa trabajo, tomando lo virtual como algo hipotético no necesariamente real; y el principio de mínima acción, el producto de la cantidad de movimiento por espacio recorrido y establece que entre los caminos posibles los cuerpos adoptan aquel en el cual la acción tiene valores mínimos.

El desarrollo de la termodinámica cambió el panorama, en virtud de que la idea del calor como fluido fue reemplazada por la concepción del calor como manifestación de la energía cinética del movimiento de las moléculas. Pero las trayectorias desordenadas de las moléculas no podían ser individualmente analizadas en términos de las ecuaciones de la mecánica newtoniana, por lo que surge la mecánica estadística

Piaget buscó la explicación del desarrollo cognoscitivo inspirándose en los modelos físico- matemáticos de aquella época. Al explicar la formación de las estructuras lógicas, se basa en las definiciones físicas usuales del equilibrio estable, en sus caracteres no específicamente físicos, los caracteres generales, que pueden ser aplicados tanto al comportamiento como a los estados materiales y se refiere a dos propiedades de las definiciones mecánicas: la compensación de las transformaciones virtuales y el mínimo de acción.

Asimismo para explicar como se pasa de una estructura a otra se basa en la termodinámica de Boltzmann, ya que afirma que para que el sujeto llegue al equilibrio es preciso examinar desde un punto de vista objetivo, el costo y el rendimiento de las estrategias en juego.

En relación a la segunda versión de la teoría de Piaget, la misma surge con la necesidad de tomar en cuenta el desarrollo de la causalidad, ya que para ese entonces  el Centro Internacional de Epistemología Genética fundamentó sus actividades en los problemas de la causalidad, lo que llevó a Piaget a reformular su teoría de equilibración.

Rolando García (2000) plantea “Piaget declara que el desarrollo de la causalidad presenta problemas mucho más difíciles que el estudio de las operaciones del sujeto”, llega a tal afirmación al darse cuenta de que el estudio de la causalidad trae consigo la necesidad de extender el alcance de la teoría del desarrollo cognoscitivo, ya que hasta el momento ésta se limitaba a dar cuenta del desarrollo de las estructuras lógicas a partir de los niveles de inteligencia sensorio motriz, pasando por los niveles operatorios y culminando en las operaciones formales que constituyen la lógica del adulto. En medio de esta limitación es imposible enmarcar la causalidad. Asimismo es necesario también tomar en cuenta el papel que juegan los contenidos y las relaciones causales en el desarrollo de las estructuras. Ante esta situación Piaget responde realizando una reformulación de su teoría de equilibración. Así, de la necesidad de poner en relieve los contenidos, desde los niveles iniciales, Piaget señala que en las actividades iniciales de un niño toda acción es causal, puesto que su propio organismo está sometido a interacciones físicas; para él la causalidad está implicada en la formación de los esquemas de acción y en sus coordinaciones, de donde se originan las operaciones. El desarrollo cognoscitivo consistirá en un principio en la toma de conciencia de las relaciones causales que proceden de las acciones del propio sujeto, diferenciándolas de las relaciones entre los objetos, distinguiéndose la construcción sucesiva de dos sistemas: las operaciones del sujeto y la causalidad, teniendo en cuenta que esta última conduce a los hechos y a las leyes a partir de propiedades observables.

El análisis epistémico realizado anteriormente nos conduce a ver a la matemática como un lenguaje que se usa para describir el mundo natural. Los estudiantes del mundo actual necesitan comprender los descubrimientos matemáticos previos a partir de los cuales se generó esta disciplina así como también descubrir y describir sus propias ideas matemáticas.

De esta manera, para educar desde la matemática, es necesario que las personas construyan el conocimiento matemático, para lo que se requiere considerar a esta disciplina no como un conjunto fijo de conocimientos a ser transmitidos sino como un lenguaje y una manera de pensar. En tal sentido la labor del educador es facilitar este proceso.

Referencias Bibliográficas

González, F. (1997). Paradigmas en la enseñanza de la matemática. Venezuela: Impreupel.  

Hssen, I. (1980). Teoría del conocimiento. México: Mexicanos Unidos.  

Verneaux, R. (1989). Epistemología general o critica del conocimiento. Barcelona: Herder.  

Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Iberoamérica.  

García, R. (2000). El conocimiento en construcción. España: Gedisa.

Autora:

Lic. Natalia Soto Sedek.

e-mail: @hotmail.com

Universidad de Carabobo.

Maestría en Educación Matemática.

Prof. Cirilo Orozco: cirilotampa@hotmail.com

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