RESUMEN

La finalidad de esta investigación es presentar las razones didàcticas, psicopedagógicas (por decir así), por el cual se debe enseñar el comportamiento de los signos  en una función polinómica por medio del Método de la Cinta…….(explicar en que consiste brevemente y describir por lo menos las primeras conclusiones) Ejemplo: de este estudio se desprende que la idea no es tomar un posición radical en contra  de las herramientas tecnológicas(Calculadoras y computadora, sino que cuando no se tenga acceso a las mismas el metodo de la cinta se presenta como alternativa para la enseñanza y aprendizaje del comportamiento de los signos en una función polinómica.

INTRODUCCIÓN  

La matemática se definen como una actividad social y cultural en la que el conocimiento no se descubre, sino que se construye a partir de la experimentación, formulación, contrastación y justificación de conjeturas y además  promueve la observación del entorno desde un punto de vista matemático buscando patrones y regularidades en las situaciones problemáticas.  

El desarrollo tecnológico ha dado aportes relevantes a la ciencia y por ende a todo conocimiento relacionado con ésta. Entre los aportes se encuentran por ejemplo  la computadora y calculadora consideradas actualmente como herramientas útiles y necesarias para la enseñanza de la matemática y específicamente en el proceso de enseñanza y aprendizaje del comportamiento de signos de una función polinómica ya que en el pasado el mencionado proceso era sumamente complejo y apenas el desarrollo de la tecnología se estaba gestando y también no se tenía acceso a la misma como en la actualidad.  

En relación con lo expuesto, el Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM,1991) de los Estados Unidos, recomienda que la enseñanza de la Matemática se haga de manera activa, desarrollando una forma de pensar que pueda dar sentido al entorno y aplicando toda la tecnología disponible. De aquí que el uso de la computadora y la calculadora “esté de moda” y justificado por autoridades en la materia.  

Las innumerables investigaciones realizadas tanto a nivel nacional e internacional, arrojan resultados muy alentadores acerca de la enseñanza de funciones reales de variable real y sus temas aledaños.  

 Sin embargo, los docentes de matemàtica y en general  no tiene el acceso a esta tecnología por diversas razones relacionadas quizá con la ubicación geográfica, entorno social donde labora, situación económica entre otras.  

Así mismo, no todos los estudiantes del nivel educativo  bachillerato de Venezuela  poseen el poder adquisitivo de adquirir una calculadora graficadora, de modo  que le permita aprender a manipularla aunque esto es lo de menos, lo que  más importa es el hecho que se está enseñando a los alumnos a ser en todo caso operadores de máquinas y eso tampoco no es  la idea. Pero también los  diversos métodos para hacer el estudio del comportamiento de signos de una función polinómica, y para resolver inecuaciones son  engorrosos y hacen que la actividad en la clase sea monótona y aburrida.

EL RACIONALISMO DE DESCARTES Y LA EPISTEMOLOGIA GENETICA DE JEAN PIAGET  

El proceso cognitivo más propio del ser humano es la capacidad de abstracción. Por ello, desde la perspectiva racionalista, todo lo que  sentimos puede ser explicado razonando, se otorga un valor muy importante a la razón humana, entendida como la única facultad susceptible de alcanzar la verdad; esto es que el hombre a través de su conciencia que posee ciertos contenidos o ideas en las que se encuentra asentada la verdad, puede tranquilamente resolver los problemas que se le vayan presentando a lo largo de toda su vida. Descartes afirmaba que la mente humana posee naturalmente un número determinado de ideas innatas o naturalezas simples cuya característica esencial es su simplicidad, claridad y distinción, es decir, la evidencia. Con tantas ventajas que poseen estas ideas, el ser humano es prácticamente un ser invencible para resolver o enfrentar los problemas, si se contextualizan estas palabras al tema en cuestión, y si se crea o diseña un método que permita el estudio  del comportamiento de signos de una función polinómica, puede  hacerce lo mismo que teniendo todas las herramientas tecnológicas al  alcance. 

En las Regulae and directionem ingenii (Regla IV), Descartes define el método de la siguiente manera:

"Así pues, entiendo por método reglas ciertas y fáciles, mediante las cuales, el       que las observe exactamente no tomará nunca nada falso por verdadero, y, no

empleando inútilmente ningún esfuerzo de la mente, sino aumentando gradualmente su ciencia, llegará al conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz."  

Piaget sostiene que el ser humano es el único animal capaz de crear conocimiento, esta concepción metodológica fue la que dio lugar a la nueva ciencia de la “Epistemología Genética”, pues más allá de abarcar el desarrollo cognitivo también abarca al pensamiento en su metodología científica. Su premisa parte del estudio de lo simple y singular –la génesis hereditaria-, a lo complejo y plural del desarrollo cognitivo, y con ello el del pensamiento científico.  

Tanto Descartes como Piaget se oponen a la idea que el ser humano es una “tabla rasa” propuesta en sus orígenes por los empiristas; los empiristas afirmaban que la razón tiene carácter limitado, e incluso el propio proceso irracional puede producir cualquier tipo de conclusión. La razón por sí misma no tiene fundamento y funciona a partir de supuestos. Por tanto, sólo se consideran válidos los conocimientos adquiridos mediante la experiencia. El racionalismo, Estudia los entes abstractos que solo existen en la mente humana, ya que son los sentidos los que transmiten la información de nuestro medio externo, las cosas en sí mismas existen, pero el ser humano las percibe del modo como es capaz de percibirla su mente; es decir “la realidad”. La principal fuente y prueba final del conocimiento (razonamiento deductivo), basado en principios evidentes y axiomas (principio básico que es asumido como verdadero sin demostración alguna). Ambos autores asumen un modelo matemático para explicar los fenómenos circundantes al ser humano, Piaget descubrió las etapas del desarrollo cognitivo de niño en términos de estructuras lógicas y matemáticas. Descartes crea el Método científico y también la Geometría Analítica en términos de axiomas de carácter lógico y matemático.  

Descartes afirma que el racionalismo es un sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento. Por su parte Piaget afirma: El conocimiento es una interpretación activa de los datos de la experiencia por medio de unas estructuras o esquemas previos. El conocimiento se organiza en sistemas o estructuras y solamente así adquiere significado, cuando el individuo lo contextualiza circunscribiéndolo coherentemente en su entorno. Por lo que un conocimiento por sí solo carece de valor si no está relacionado en un sistema lógico con otros conocimientos y todos ellos dentro de un contexto lógico. Consideró estas estructuras no como algo fijo e invariable, sino como algo que evolucionaba a partir de las funciones básicas de la asimilación y la acomodación.  

Según Piaget, el desarrollo cognitivo consiste en un proceso permanente de adaptación al medio a través de los mecanismos de asimilación y acomodación. Esto es así tanto en el desarrollo del niño como en la evolución biológica o en el desarrollo científico. En la asimilación lo que ocurre es una interpretación de nuestro entorno en términos de las estructuras cognitivas existentes. La acomodación se refiere al cambio de esas estructuras para lograr que lo nuevo resulte significativo. En este proceso hay siempre una tendencia al equilibrio. Cuando un niño o un adolescente (o un científico) descubren algo razonablemente parecido a lo que ya conocen, lo asimilan al conocimiento previo. Por otro lado, cuando encuentran algo radicalmente diferente, lo ignoran o cambian sus estructuras mentales para lograr acomodar este nuevo conocimiento.  

En la etapa que Piaget define como “operaciones formales”, específicamente (a partir de los 11 años), se puede enseñar algoritmos y estimular la capacidad de abstracción, el método  de la CINTA trabaja con teoremas que rigen los comportamientos de los signos e  implica un algoritmo, una forma práctica de buscar que el alumno construya el significado que hay entre las funciones polinómicas y el comportamientos de signos en los alrededores de sus raices, evitando el error, debido a la aplicabilidad este método puede ser utilizado como enlace para mostrar y dar significado a las soluciones de las inecuaciones polinómicas, hace más rápido y sencillo el estudio de los signos de una función polinómica; y también fomenta el razonamiento abstracto y formal al hacer que el alumno internalice el comportamiento de los signos de las funciones polinómicas.  

Según el programa de  estudio de Educación Básica, el contenido de funciones y estudio de los signos de una función polinómica  se inicia  en 8vo Grado de Educación Básica, por lo tanto, desde esta perspectiva, este nivel de educación es el escenario perfecto para impartir la enseñanza y aprendizaje de dicho contenido a través del método de la cinta,  ya que  básicamente lo que se busca es primeramente reemplazar un método por otro, es decir, por el uso de la calculadora para realizar el estudio ya mencionado, y también se persigue con esto, garantizar que el nuevo método de la Cinta se pueda enseñar sin ningún tipo de problema. Los resultados del método se pueden contrastar con cualquier otro método y también pueden servir de apoyo para verificaciones con software educativos o calculadoras que grafiquen; es decir las posibilidades son inmensas.  

LA TEORÍA  APOE Y EL MÉTODO DE LA CINTA  

La teoría APOE: Acción, Proceso, Objeto y Esquema, la cual es una reformulación y adaptación de las ideas de Piaget sobre la enseñanza de las matemáticas, en un trabajo de Karly Barbosa Alvarenga presentado en la Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Volumen 6 Número 3 (2003), se presenta una serie de estrategias mentales para que los alumnos asimilen el concepto de inecuación y se responda a las siguientes interrogantes:

·      ¿Cuáles son los conceptos previos necesarios para la comprensión de inecuaciones?.

·      ¿Cómo se construye o entiende un alumno el concepto de inecuación?.

·      ¿Cuáles son las estructuras mentales y las conexiones con otros contenidos matemáticos necesarios para la comprensión de la idea de inecuación?.

·      ¿Cómo puede influir la interpretación de inecuación en la resolución de problemas que implican el concepto?.  

Así mismo, afirma que para que el esquema de inecuación sea comprendido debe definirse primero lo que es interpretar y resolver por vía algebraica y gráfica una inecuación.Interpretar: Implica, por un lado, asimilar el significado de variable real y de conjunto solución, por otro, si se presenta como una relación entre expresiones algebraicas, puede ser interpretada como una relación entre funciones y su conjunto solución puede ser determinado mediante gráficos. La interpretación de una inecuación queda perjudicada si el universo numérico del alumno y el dominio de las propiedades de los números reales como cuerpo ordenado son muy limitados.

Resolver: Consiste en hallar su conjunto solución o su descripción más simple posible, también implica hacer transformaciones por medio del empleo de propiedades de los números reales, de allí la importancia que el estudiante conozca cuales de ellas puede aplicar y además que tenga en cuenta las equivalencias entre las inecuaciones que van siendo obtenidas. La resolución gráfica de una inecuación aparece, por ejemplo, cuando son dados los gráficos f_(x) y g_(x) y se solicita determinar el conjunto solución de f_(x) xg _(x)  ³0. En este caso, la ausencia de las expresiones algebraicas remite a una abstracción ante la que los estudiantes tienen mucha dificultad.  

Las inecuaciones se resuelven de varias formas: imitando los pasos de la resolución de una inecuación similar, sustituir valores numéricos en dicha inecuación para saber si la satisfacen o no. Pero lo más importante de todo esto es que el alumno se mecaniza muchas veces y no reflexiona en lo que está haciendo pues no podrá enfrentarse a ciertas modificaciones o manipulaciones de los problemas que se les presentó anteriormente.  

Dados las construcciones mentales que se puedan tener acerca de una inecuación, se puede comprender su concepto. Así si vemos a la inecuación como un ente matemático que es necesario interpretar y que es posible manipular empleando determinadas propiedades del conjunto de los números reales: operar, analizar equivalencias, verificar cuales de los subconjuntos de R satisfacen la inecuación. Según el punto de vista de resolución es decir, qué tipo de transformaciones son permitidas, qué alteraciones sufrió el conjunto de solución después de ellas, cuál es el mejor método para resolver para resolver una inecuación específica y cómo minimizar cálculos. Además, entender la resolución de una inecuación desde el punto de vista gráfico: qué funciones pueden ser utilizadas para que el esbozo gráfico represente la inecuación que se quiere resolver, o cuándo se deben comparar dos o más gráficos dados, analizando los signos de las imágenes. La resolución en el contexto gráfico, en muchos casos, sirve para intuir o encontrar el conjunto de soluciones, siendo aún necesaria, dentro de algunas situaciones, la resolución algebraica.

Es necesario que el estudiante no sólo sepa emplear las transformaciones debidas sino entender el porque de esas transformaciones; es decir que tome absoluta conciencia de lo que está haciendo.  

Desde el punto de vista, se puede afirmar que el método de la Cinta se considera pertinente debido a que se caracteriza por que con él se Simplifica los cálculos, Estudia en profundidad el comportamiento de signos de una función polinómica, Sólo requiere que la función esté factorizada, no se hace fundamental poseer a la mano la gráfica de la función en estudio ya que la estructura del método hace un esbozo muy aproximado del comportamiento de signos de este tipo de función. (No se pretende que con este método se haga la representación gráfica de una función polinómica; lo que se pretende es mostrar el comportamiento de SIGNOS de dicha función), y además coadyuva al razonamiento abstracto ya que la representación del comportamiento de signos que allí se realiza facilita la previsualización mental de la gráfica de esa función.  

En este sentido, la enseñanza de las inecuaciones por la vía de las múltiples representaciones, gráfica, algebraica y formal, se puede realizar con entera confianza, el esquema de resolución de una inecuación debe tener una fuerte interpretación para poder darle sentido a la solución que se está hallando.  

Paulo Boero (1988), hace énfasis en   la limitación de las técnicas tradicionales para la resolución de inecuaciones y ademas al hecho de que los maestros no le dan la debida importancia a las inecuaciones ni buscan la manera de mejorar su didáctica. La forma de enseñar dicho tema facilita el entendimiento mental de los alumnos, la evaluación y el aprendizaje, como consecuencia de la resolución de inecuaciones a través de su modelación lógica-algebraica. Por ello Boero argumenta que tal método de enseñanza es inerte.(¿Cuál método : el mencionado en el párrafo anterior, el tradicional, o el de la cinta? Ambiguo). (Este párrafo particularmente no le veo el sentido )

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

§  DÍAZ, LUIS. (2004). “Propuesta de una estrategia para el aprendizaje de la determinación del dominio de funciones reales de variable real”. (Trabajo Final de Grado). Escuela de Educación. Facultad de Ciencias de la Educación. Universidad de Carabobo.

§  BARBOSA, KARLY. (2003). “La enseñanza de inecuaciones desde el punto de vista de la teoría APOE”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Volumen 6 Número 3.

Lic. Luis Alejandro Díaz Bayona/ Julio 2005

E-mail: profludi@hotmail.com

Universidad de Carabobo

Maestría en Educación Matemática

Enviado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret

e-mail: cirilotampa@hotmail.com

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

MAESTRÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Valencia. Venezuela

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