Monografias | La ecuación general de segundo grado como curva de utilidad

ÍNDICE
Resumen
I. Introducción
II. Teoría del consumidor: un breve acercamiento al tema
III. La Ecuación General de Segundo Grado como Curva Utilidad
IV. Consideraciones finales
V. Conclusiones
VI. Bibliografía
VII. Anexos
Anexo A. Términos y definiciones
Anexo B. Propiedades de la Ecuación General de Segundo Grado
Anexo B1. Definición
Anexo B2. Rotación de los ejes
Anexo B3. Traslación del origen
Anexo B4. Rotación de los ejes coordenados y traslado del centro
Anexo B5. Derivada
Anexo B6. Interceptos
Anexo B7. Raíces de la Ecuación de Segundo Grado
Anexo C. Maximización de la Función Utilidad bajo la Restricción Presupuestaria
Anexo C1. Definiciones
Anexo C2. Solución General
Anexo C3. Condiciones de extremo condicionado para la Función de Cobb-Douglas
Anexo C4. Condiciones de extremo condicionado para la Ecuación General de Segundo Grado

RESUMEN
En el presente trabajo se evalúa la factibilidad del empleo de la Ecuación General de Segundo Grado para modelar las preferencias del consumidor, así como las ventajas e impacto de esta propuesta.

I. INTRODUCCIÓN
Los estudios micro económicos, son ampliamente utilizados en la práctica empresarial contemporánea, con vistas a obtener conocimiento del comportamiento del mercado, que contribuyan a mejorar la efectividad en el proceso de adopción de decisiones y, con ello, incrementar los beneficios económicos y el posicionamiento de la organización en sus clientes.

En la práctica, una de las herramientas utilizadas para este propósito provienen de la Teoría del Consumidor, la cual a partir del estudio de las preferencias de los clientes a través de los Mapas de Indiferencia (conjunto de curvas, cada una de las cuales reflejan las preferencias del consumidor para un mismo nivel de utilidad) permite caracterizar un determinado mercado de bienes y servicios.

Como es de esperar, el empleo de esta técnica requiere de funciones matemáticas que modelen de la manera más general posible el comportamiento antes señalado, tomando en cuenta lo cual se desarrolló el presente trabajo, en el cual se propone y analiza la factibilidad y ventajas de utilizar la Ecuación General de Segundo Grado (EGSG) para modelar las Curvas de Utilidad.

II. TEORÍA DEL CONSUMIDOR: UN BREVE ACERCAMIENTO AL TEMA
En la Teoría del Consumidor, éste se caracteriza por tener una estructura de preferencias dadas, a la que se asocia una conducta racional, todo lo cual puede enunciarse a través de los siguientes postulados de su conducta:
- Son Reflexivas: Cualquier combinación es tan buena como ella misma
- Son Transitivas: Si un consumidor prefiere la combinación X la Y y la Y a la Z, entonces preferirá la X a la Z, por carácter transitivo
- Son Continuas: Dadas dos combinaciones, siempre puede existir una tercera que sea preferida de igual forma que las anteriores. Matemáticamente esto quiere decir que si U(X) = U(Z), esto implica que existe U(Y) = U(X) = U(Z), tal que X<Y<Z o Z<Y<X, lo que da una idea de continuidad entre las combinaciones A y B si se repite este proceso hasta el límite.
- Son Completas: El consumidor siempre es capaz de comparar determinadas cestas de consumo, en otras palabras, el individuo, al enfrentarse a una elección entre determinadas combinaciones, puede decidir cuál prefiere o si es indiferente, en función de la satisfacción que dichas combinaciones le proporcionen. En este caso, ser indiferente significa que estas combinaciones son igualmente valoradas.
- Son cóncavas: Esta propiedad recoge la condición práctica de que el incremento en el consumo de un bien, para una determinada utilidad, se realiza a expensa de una disminución en las cantidades consumidos del otro.
- No saciedad: Significa que para cualquier consumidor «más es preferible a menos». Si el consumidor valora un bien como bueno, entonces cuanto más posea del mismo, mejor.

Como es fácil inferir, la primera consecuencia de los supuestos antes expresados, es que definen las propiedades de las funciones que se utilicen para modelar el comportamiento del consumidor, denominadas Curvas de Utilidad, las cuales representan las combinaciones de bienes ante las cuáles éste es indiferente, es decir, la proporcionan el mismo nivel de utilidad, y cuyo conjunto (varios niveles de utilidad) constituyen los Mapas de Indiferencia, que se ilustran en la figura 1.

La primera consecuencia de los supuestos antes expresados es que, definen las propiedades de las funciones que se utilizan para modelar el comportamiento del consumidor, denominadas Curvas de Utilidad (relacionan las combinaciones de bienes que proporcionan un mismo nivel de utilidad), las cuales se representan a través de los Mapas de Indiferencia, como el mostrado en la figura 1.



Desde el punto de vista de las preferencias del consumidor, existen varios comportamientos particulares, los cuales se muestran en la figura 2 y que matemáticamente se corresponden con las dependencias funcionales relacionadas en la tabla 1.



Tabla 1. Casos particulares de comportamientos del consumidor.


Clasificación Modelo matemático Característica
Sustitutos perfectos Se sustituye un bien por otro a una tasa constante igual a uno.
Complementos perfectos Los bienes se consumen siempre juntos en proporciones fijas.
Bienes neutrales El consumo de un bien no depende del consumo del otro, sólo interesa uno de ellos.

En la práctica, una función ampliamente utilizada para modelar las Funciones de Utilidad es la Cobb-Douglas, cuya dependencia funcional se corresponde con la expresión (1), donde los términos representan:

q1: cantidad del bien uno.
q2: cantidad del bien dos (también puede representar el conjunto de todos los bienes restantes)
n,m: parámetros del modelo, determinados de manera experimental.

Por otra parte, esta función sólo dispone de un comportamiento funcional, el hiperbólico, que no modela, por ejemplo, el caso de bienes que se comportan como Sustitutos Perfectos, por lo cual resulta conveniente disponer de una función capaz de contener la gama de tendencias señaladas, manteniendo a ésta como un caso particular.

Otro aspecto que requiere de una precisión adicional es el relativo al conflicto a que pueden llevar la racionalidad y la no saciedad, por ejemplo al analizar una combinación de bienes (q1;q2), donde q1 representa el bien agua y q2 el bien pescado, si el modelo teórico no impone al consumo cotas máximas y mínimas, obtenidas de manera conjunta de las preferencias y la racionalidad del consumidor.

III. LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO COMO CURVA UTILIDAD
Como se apreció en el apartado anterior es ventajoso disponer de una función que recoja en su totalidad la gama de preferencias del consumidor y contenga como casos particulares, los descritos por otras funciones, como es el caso de la Cobb-Douglas, al mismo tiempo que erradique el conflicto entre la no saciedad y racionalidad del sujeto económico..

Matemáticamente, una vía para lograr este objetivo es el empleo de la EGSG, dada a través de la ecuación, (2), la cual es una combinación lineal de todas las posibles funciones de Cobb-Douglas con exponente entero de orden dos, por lo cual es también una Cobb-Douglas, lo que garantiza se cumplan todos los supuestos de la Teoría del Consumidor, que satisface la antes mencionada función. En otras palabras, contiene como casos particulares los descritos por la Cobb - Douglas.

Como Función Utilidad, la EGSG, cuyo comportamiento se caracteriza desde el punto de vista matemático en el Anexo B de este trabajo, exhibe las siguientes propiedades que resultan de interés a los efectos del tema analizado.

Propiedad #1: La EGSG representa diferentes lugares geométricos, en dependencia del valor de sus coeficientes (A, B, C, D, E y F) según se indica en a la figura 3.



Un primer aspecto, que puede apreciarse, por simple inspección, es la existencia de de un comportamiento de tipo cuadrático y otro lineal, lo cual constituye una generalización del campo de soluciones posibles (Curvas de Utilidad), respecto a la Cobb-Douglas, que sólo contiene relaciones de tipo hiperbólico.

Propiedad #2: Cuando los parámetros A, B y C no son nulos simultáneamente, el valor del discriminante (I), obtenido mediante la ecuación , determina el tipo de lugar geométrico - Curva de Utilidad en este caso - como se indica a continuación:

a) La hipérbola (I > 0) es un caso particular de la Función de Cobb-Douglas dada en la expresión (1), cuando n=m=1.
b) La parábola (I = 0), en la zona correspondiente al color verde (a la izquierda del vértice), cumple con la condición de tener acotada las cantidades de uno de los bienes (punto P), en tanto el otro carece de límite. Es importante señalar, que la parte de la curva en color rojo queda excluida, pues en esa zona la curva es convexa, lo cual niega el supuesto de concavidad de la Función Utilidad.
c) En el caso de la elipse (I < 0), el conjunto de combinaciones mostradas en color verde se corresponde con la tercera condición propuesta en este trabajo: la cantidad de ambos bienes se encuentra limitada (puntos R y Q), en tanto, atendiendo a los mismos argumentos expresados en el caso de la parábola, se excluye del análisis la región indicada en color rojo.

Nótese que, en éstos dos últimos casos (parábola y elipse) se predice la existencia de límites superiores e inferiores para el consumo, lo cual se corresponde con lo mostrado en el figura 4, donde los símbolos tienen el siguiente significado:



q1: cantidad del bien uno.
q2: cantidad del bien dos (también puede representar el conjunto de todos los bienes restantes).
q1m y q2m: consumo mínimo de los bienes 1 y 2, respectivamente.
q1M y q2M: consumo máximo de los bienes 1 y 2, respectivamente.
U1, U2, U3: niveles de Utilidad.

Desde el punto de vista micro económico este resultado es consistente con el comportamiento racional del sujeto económico, que cuando se enfrenta a combinaciones bienes tales como alimentos (q1) con el bien dinero (q2), es lógico que exhiba un comportamiento de tipo parabólico, que pone cota mínima al alimento y expresa su preferencia ilimitada por el bien dinero, en tanto cuando se trata de dos tipos de alimentos, por ejemplo pollo y pescado; mango y piña; etc., las cantidades demandas son finitas (existen cotas inferiores y superiores) tal y como predice el comportamiento de la elipse.

Visto a la inversa, al utilizar la EGSG para modelar bienes que la lógica indica que el consumidor le ponga limites a su consumo, los coeficientes A, B y C obtenidos experimentalmente deben cumplir con la condición que corresponda.

Propiedad #3: En el caso de la hipérbola equilátera (los coeficientes A, C, D, E y F son nulos simultáneamente), cuando se analiza la zona cercana al consumo mínimo de ambos bienes, el comportamiento de las preferencias del consumidor son semejantes al de los Complementos Perfectos, como se aprecia en la simulación mostrada en la figura 5.


Propiedad #4: Cuando las magnitudes A, B y C son muy pequeñas en comparación con D, E y F o en el caso de que sean cero simultáneamente, lo cual matemáticamente se corresponde con la condición mostrada en la expresión (3), puede apreciarse, que la dependencia funcional resultante es lineal, de estructura semejante a la Restricción Presupuestaria.



En términos de Microeconomía, la situación antes señalada se manifiesta en el Mapa de Curvas de Indiferencia, cuando se analizan zonas correspondientes a:

- Pequeñas variaciones (no significa que el valor absoluto de la cantidad es bajo, sino sus variaciones) en las cantidades demandadas de ambos bienes, en la cual generalmente es posible aproximar la dependencia funcional real de mayor complejidad por un comportamiento lineal.
- Curvas de Indiferencia que representan bajos niveles de Utilidad para el sujeto, en las cuales el peso fundamental de sus preferencias, descrito por los coeficientes que acompañan a los términos cuadráticos, prácticamente no aportan al total, en otras palabras, a bajos niveles de utilidad, las preferencias reales del consumidor se enmascaran por los niveles de precios de los bienes analizados.
- Si los parámetros D y E tiene el mismo valor, la tasa de sustitución de un bien por otro es uno, lo cual se corresponde con el caso de bienes Sustitutos Perfectos.

El análisis simultáneo de las situaciones antes mencionadas permite afirmar que: cuando el Mapa de Indiferencia se corresponde con zonas de reducida variación en las cantidades o de bajos niveles de Utilidad, las preferencias del consumidor se manifiestan débilmente, siendo determinantes en este caso los niveles de precios, que como caso particular tiene a los Sustitutos Perfectos.

Este resultado, obtenido al modelar las preferencias del consumidor con la EGSG, conduce a las siguientes afirmaciones acerca del comportamiento lineal de la Curvas de Utilidad:

- Constituye «una alerta a la hora de extrapolar resultados» provenientes de Estudios de Caracterización del Consumidor, pues las verdaderas preferencias se manifiestan débilmente.
- Puede utilizarse como «herramienta para determinar si la zona de trabajo utilizada se corresponde con las preferencias de baja utilidad» para el consumidor.
- Los bienes se manifiestan como «Sustitutos Perfectos en zonas de baja utilidad o en regiones que representan pequeñas variaciones en el consumo».

Propiedad #5: Si en la ecuación se realiza la rotación del eje focal un ángulo en una magnitud igual a la obtenida a través de la expresión (b8) y se traslada el centro geométrico al punto P(h;k) siguiendo los procedimientos descritos en los apartados B2, B3 y B4 del Anexo B, el punto P(h;k) puede interpretarse como el punto de Máxima Felicidad para ese nivel de utilidad y las magnitudes y pueden obtenerse a través de las expresiones (b33) (b34), donde los símbolos tienen el siguiente significado:



Es necesario señalar que en el caso del comportamiento parabólico (I = 0), la magnitud representa la máxima cantidad que está dispuesto a consumir y por tanto se corresponde con el mayor nivel de felicidad, en tanto la cantidad carece de sentido microeconómico, pues por hipótesis en este tipo de comportamiento las preferencias del consumidor por ese bien crecen indefinidamente; en tanto en el caso del modelo elíptico (I < 0), los parámetros h y k representan el Punto de Máxima Felicidad
.
Propiedad #6: La maximización de la Utilidad sujeta a la Restricción Presupuestaria modelada a través de la función de Cobb – Douglas y mediante la EGSG, puede obtenerse combinando los resultados de los apartados C3 y C4 del Anexo C, lo que conduce a las expresiones relacionadas en la Tabla 2.

Tabla 2. Expresiones que maximizan la función Utilidad bajo la Restricción Presupuestaria.


En relación a esta propiedad es necesario señalar que la EGSG , permite, al igual que la función de Cobb-Douglas , obtener de manera explícita el punto que la maximiza bajo la Restricción Presupuestaria.

IV. CONSIDERACIONES FINALES
Una vez concluido el análisis de las características del comportamiento que deben exhibir las Curvas de Utilidad para garantizar un comportamiento racional del sujeto, así como la propuesta y demostración de la validez del empleo de la EGSG para este propósito, es necesario realizar varias precisiones que complementen y evidencien la coherencia y solidez de los resultados obtenidos.

En primer lugar, es necesario resaltar la necesidad de incorporar la posibilidad de cotas máximas y mínimas en las cantidades diferentes de «infinito» y «cero», respectivamente.

Como segundo aspecto de interés, debe señalarse que el empleo de la EGSG como función Utilidad, constituye una herramienta práctica para determinar cuando la zona utilizada para la evaluación de las preferencias del consumidor se corresponden con las de baja Utilidad, prediciendo que en este caso las preferencias se manifiestan débilmente y la Utilidad está determinada por los niveles de precios, así como cuáles intervalos de variación en las cantidades de bienes pueden considerarse como pequeños.

Finalmente, un tercer elemento que merece ser destacado es que, la determinación analítica del Punto de Máxima Felicidad por el modelo la EGSG, se corresponde con el comportamiento racional, incluso en el caso de que uno de los bienes crezca indefinidamente y el otro exhiba un máximo (parábola), pues predice que dicho punto se encuentra sobre el eje de la parábola, en el cual una de las cantidades coincide con el máximo demandado por el sujeto.

V. CONCLUSIONES
Como conclusión de este trabajo puede señalarse que se demostró la factibilidad de utilizar la Ecuación General de Segundo Grado para modelar las preferencias del consumidor, atendiendo a las siguientes características de su comportamiento:

- Modela exitosamente los posibles casos de cotas máximas y mínimas en las cantidades para combinaciones de determinados tipos de bienes.
- Contiene como casos particulares los bienes Sustituto y Complementos Perfectos, así como los Neutrales.
- Es posible determinar analíticamente el Punto de Máxima Felicidad.
- Proporciona criterios prácticos para determinar cuando se trabaja en la zona de bajos niveles de Utilidad para el sujeto o de pequeñas variaciones en las cantidades.
- Es posible determinar de manera analítica las expresiones que indican las cantidades que maximizan la Ecuación General de Segundo Grado como función Utilidad bajo la Restricción Presupuestaria, las cuales se dedujeron como parte del trabajo.

VI. BIBLIOGRAFIA
Demidovish, B.:«Problemas y ejercicios de Análisis Matemáticos», Editorial MIR; Moscú; URSS; 1967.
Efimov, N.:«Formas cuadráticas y matrices»; Editorial MIR; Moscú; URSS; 1970.
Elsgoltz, L:«Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional»; Editorial MIR; Moscú; URSS; 1969.
Golfain, I.A.:«Elementos de Cálculo Vectorial »; Ediciones Revolucionarias, Ciudad Habana, Cuba, 1968.
Hernández, A.:«Principios Básicos de Microeconomía»; Centro de Estudios de Economía y Planificación Juan F. Noyola, Educación a Distancia, Ciudad de la Habana, Cuba, 2000.
Lehmann, C.H.:«Geometría Analítica»; Ediciones Revolucionarias, Ciudad Habana, Cuba, 1962.
Mesa, J.:«La Ecuación General de Segundo Grado como función Utilidad»; Tesina del Diplomado en Economía Global, Centro de Capacitación del ministerio de Economía y Planificación «Juan F. Noyola»; mar/2006, Cuba.
Taylor, A.E.:«Advanced Calculus»; Ediciones Revolucionarias, Ciudad Habana, Cuba, 1968.
Varian, H.R.:«Análisis Microeconómico»; Editado por Antonio Bosh; Barcelona; España; 1992.
Wexler, C.:«Analytic Geometry: A Vector Approach»; Ediciones Revolucionarias, Ciudad Habana, Cuba, 1968.

VII. ANEXOS
Anexo A. Términos y definiciones
Bienes Neutrales. Aquellos bienes de los cuáles al consumidor sólo le interesa uno de ellos.

Circunferencia. Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a un punto fijo del plano, llamado centro es igual a una cantidad constante y positiva. Es un caso particular de elipse, cuando los ambos focos coinciden.

Complementos Perfectos. Bienes que se siempre consumen en proporciones fijas.

Curvas de Utilidad. Lugar geométrico de las combinaciones de bienes a las cuáles el consumidor es indiferente, es decir, combinaciones de bienes que representan para el consumidor el mismo nivel de utilidad.

Elipse. Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos es igual a una cantidad constante, positiva y mayor que la distancia entre los focos.

Hipérbola. Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Mapa de Indiferencia. Conjunto de Curvas de Indiferencias del consumidor que constituye una representación completa de sus preferencias (gustos y deseos).

Parábola. Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija - denominada directriz - situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano llamado foco que no pertenece a la directriz.

Punto de Máxima Felicidad. Es una cesta de los bienes q1 y q2 que es mejor para el consumidor en función de sus propias preferencias y, por tanto, en la medida que su consumo se encuentra más cerca de esa combinación mayor será su satisfacción y en la práctica sirve de referencia para expresar si el consumidor tiene mucho o poco de un bien.

Sustitutos Perfectos. Bienes en los cuáles el consumidor está dispuesto a sustituir uno por otro a una tasa fija igual a uno.

Anexo B. Propiedades de la Ecuación General de Segundo Grado

Anexo B1. Definición
La Ecuación General de Segundo Grado F(x;y) se define a través de la expresión (b1)


Anexo B2. Rotación de los ejes


Anexo B3. Traslación del origen




Anexo B4. Rotación de los ejes coordenados y traslado del centro


Anexo B5. Derivada


Anexo B6. Interceptos
Sea la Ecuación General de Segundo dada por la expresión (b1).


a) Interceptos con el eje X:


b) Interceptos con el eje Y:


Anexo B7. Raíces de la Ecuación de Segundo Grado



Anexo C. Maximización de la Función Utilidad bajo la Restricción Presupuestaria
Anexo C1. Definiciones
Función signo (sg)


Anexo C2. Solución General




Anexo C3. Condiciones de extremo condicionado para la Función de Cobb-Douglas



Anexo C4. Condiciones de extremo condicionado para la Ecuación General de Segundo Grado


AUTOR
M.Sc. Lic. Jesús Mesa Oramas
Analista Financiero
Dirección General de Tesorería
Corporación CIMEX S.A.
E-mail: jmesa@cimex.com.cu

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