Monografias | La enseñanza de la Matemática basada en Problemas

Índice
Resumen
Introducción
Desarrollo
Conclusiones
Referencias Bibliográficas
Bibliografías

RESUMEN
Hoy en día en todos los niveles educacionales se plantea la necesidad de precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada para lograr el vínculo a través de ella con la vida y se enfatiza en su responsabilidad para desarrollar el pensamiento de los estudiantes , constituyendo una novedad que la presentación y tratamiento de los nuevos contenidos se realice a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos de carácter político - ideológico, económico - laboral y científico - ambiental; y no solo desde la lógica de la asignatura.

Este aspecto presenta dificultades en los maestros porque están acostumbrados a resolver problemas una vez terminado de impartir el contenido , pero no como vía para enseñar el mismo .En el presente artículo se ofrecen sugerencias al maestro para la presentación y tratamiento de los nuevos contenidos matemáticos a partir de la solución de problemas prácticos.

Introducción
El pensamiento tiene lugar la mayoría de las veces, como un acto realizado con la intención de alcanzar determinado fin, objetivo o resultado al que solo se tiene acceso a través de la resolución del problema.

Según A. N. Leontiev. , el pensamiento es un proceso que hace posible el conocimiento de las propiedades, nexos y relaciones esenciales de la realidad objetiva, permitiendo al hombre el acceso a aquello que no es dado directamente en la superficie de las cosas (1). Lo anterior significa que el pensamiento se manifiesta como proceso de búsqueda, elaboración de suposiciones, razonamientos y emisión de juicios." En el proceso del pensar el objeto entra incesantemente en nuevas relaciones en virtud del lo cual va adquiriendo nuevas cualidades que se fijan en nuevos conceptos; de esta suerte parece como si del objeto se fueran sacando nuevos contenidos; es como si este cada vez se volviera de lado y presentara nuevas propiedades. (2)

Concebir el pensamiento como un proceso dirigido permite representárnoslo como algo que puede ser regulado por el hombre. 

Para A. Villarini, " los factores que influyen en el desarrollo de las destrezas del pensamiento son: situaciones pertinentes, práctica constante en estas situaciones, interacción con modelos de pensadores, comunicación e interacción con los demás, corrección por otros de nuestro pensamiento y ambiente de respeto, autoestima y riesgo intelectual " (3).

En las indicaciones metodológicas de los programas y precisiones de la asignatura Matemática para la secundaria básica, se plantea la necesidad de precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada para lograr el vínculo con la vida y su responsabilidad en el desarrollo del pensamiento.

Se plantea además que por otra parte constituye transformación en el enfoque metodológico general de la asignatura " la presentación y tratamiento de los nuevos contenidos a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos de carácter político - ideológico, económico - laboral y científico - ambiental; y no solo desde la lógica de la asignatura "(4).

Es nuestro propósito apoyar la labor del maestro en la presentación y tratamiento de los nuevos contenidos a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos.

Desarrollo
"Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida desconocida y la persona debe querer hacer la transformación"(5)

Desde el punto de vista didáctico esta definición exige que en la selección de problemas a proponer a los estudiantes debe tenerse en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla; por otra parte lo que puede ser un problema para una persona, puede no serlo para otra porque conoce la vía de solución o porque no está interesado en resolverlo.

La enseñanza basada en problemas consiste en el planteo y solución de problemas en cuya resolución se produce el aprendizaje. No se trata de problematizar el objeto de enseñanza ni de plantear problemas complejos que requieran de conocimientos matemáticos que el estudiante no posea , se trata de resolver problemas relacionados con el objeto de enseñanza sin confundirse con él y que van conformando hitos en el nuevo aprendizaje. Este tipo de enseñanza no está didácticamente estructurado por lo que requiere de la creatividad del docente, la independencia y capacidad de los alumnos y alumnas.

Esta forma de enseñanza contribuirá a formar la habilidad solución y planteamiento de problemas en los estudiantes en la medida que le desarrolle un tipo de pensamiento reflexivo y creativo, lo que significa que no basta con resolver problemas relacionados con el objeto de enseñanza, sino que conjuntamente con esto se les debe enseñar a:

· Analizar el problema:
Lo que le exige leer o escuchar atentamente lo planteado y diferenciar sus componentes: contenidos de que se trata, datos que expresa, condiciones que se sitúan y sus características. Lo que se ofrece al estudiante llegará a convertirse en verdadero problema para él, cuando encuentre contradicciones entre lo que conoce y le falta por conocer, cuando se motive por encontrarle una solución.

· Determinar a partir de un análisis la o las vías de solución o nuevos problemas a partir del inicial:
Esto se favorece a partir de preguntas que sirvan de apoyo tales como:
¿Qué plantea el problema ?, ¿Qué desconozco y qué conozco del problema ?, ¿De qué forma voy a encontrar la solución ?, ¿Qué elementos tener en cuenta?, ¿Con qué condiciones ?,¿Qué aspectos son necesarios introducir o utilizar ?
· Ejecutar la vía de solución seleccionada, probar otras alternativas , plantear nuevos problemas.
· Controlar el resultado obtenido:
Controlar todo el proceso y no solo el resultado final. Valorar su aplicación práctica, su utilidad e importancia para uno mismo y para los demás , así como para la sociedad en general.

Una metodología para la ENSEÑANZA BASADA EN PROBLEMAS durante el proceso docente educativo será funcional en la medida que se tenga en cuenta los otros elementos del proceso: objetivos, contenidos, métodos, medios y formas organizativas del proceso. 

Es por eso que el maestro o profesor debe previamente determinar los puntos esenciales e ideas rectoras de la unidad del programa en cuestión , los objetivos y su alcance haciendo una diferenciación entre los conocimientos que el alumno debe poseer en ese momento sobre ese contenido , y los conocimientos que debe alcanzar a través. Del problema que se le va a presentar. Así como determinar la relación intermateria y los nexos entre unidades que se puedan establecer. 

De manera general una vez determinados los elementos del proceso docente educativo y presentado un problema , veamos un ejemplo de reflexión que el profesor debe hacer junto a los estudiantes:

PROBLEMA: 
Una  bacteria  se reproduce  cada hora  por  bipartición , es decir  ,  cada bacteria  se divide en dos  bacterias iguales  al cabo de una hora. ¿ Cuántas   bacterias   habrá    a las  10  horas?. ¿Qué  importancia  tiene  para el hombre  conocer   esta característica   de   esa   bacteria?.

P: Lean  atentamente  el problema, ¿De qué  trata ?

A: De una bacteria  que se reproduce   por   bipartición   cada una hora  , es decir que se divide  en dos partes iguales.

P: ¿  Qué   es una  bacteria ? . Si no hay  claridad en las  respuestas   de lo  estudiantes  se puede   mandar a uno de los estudiantes   que lo lea   en el   Diccionario.

A: Microorganismo  microscópico   carente de estructura  celular   típica, tales como el virus  , algas azules  , y otros.

P: ¿Qué   conozco  y  qué   desconozco   en el  problema ?

A: Conozco   que  tengo   una bacteria  en un momento  dado , y desconozco  cuántas  tendré   al  cabo de  10  horas.

P: ¿De  qué  elemento  partir  para encontrar la  posible  solución, qué  elemento tener en cuenta?.

A: Al final de  la primera hora   habrá   2  bacterias

    Al final de  la segunda  hora  habrá  2 r 2 =4.

    Al final  de la tercera  hora   habrá   4 r 2 = 8.

   ..........................................................................y   así   sucesivamente  hasta las  diez   horas  que habrá : 2 r 2r 2 r 2r2 r 2 r 2 r 2r2 r 2 = 1024   bacterias.

P: ¿De qué  otra  forma  se puede escribir  el producto de factores  iguales ?.

A: Como   2¹⁰ = 1024 .

P: ¿Cómo  se lee  esa   expresión ?.

A: Se   lee  2  elevado   a   10 .

P: 2¹⁰ = 1024 , esta operación se  llama potenciación. Al  2  se le  llama base y al 10 exponente.

P:¿Cuántas bacterias  tendremos  al cabo  de 4h , 7h ?¿Cómo  podemos  calcularlos ?.

A: 2⁴ = 2 r 2r 2 r 2 = 16       y      2⁷ = 2 r 2r 2 r 2r2 r 2 r 2 = 128.

P: Calculemos   2⁴ r 2⁷ = 2 r 2r ...... 2 r 2 = 2¹¹ = 16 r 128 = 2048.

P: ¿Qué  observa al comparar  los exponentes  del primero y segundo  miembros  en           2⁴ r 2⁷ = 2¹¹ ?.

A: Que el exponente del segundo miembro es la suma de los exponentes del  primer  miembro.

P: ¿A qué  conclusión  podemos llegar para el cálculo de  producto  de potencias  de igual base ?.

A: Para calcular   el  producto de potencias de  iguales  bases  se pone  la misma base  y se suman los exponentes.

P: Calculemos 

P:¿ Qué observa   al  comparar  los  exponentes del  primero y segundo  miembros  en esta  igualdad  ?

A: Que  al calcular  el cociente   de  potencias  de    iguales  bases  , se mantiene  la base y se restan  los exponentes.

P: ¿ Hay  algún  orden  para tomar  los exponentes ?, se exponen  variantes  de manera que el estudiante  pueda concluir en que:

A :El  exponente  del segundo  miembro es la diferencia del  exponente  del dividendo  menos el   exponente  del divisor .

P: ¿ Qué  significado  tiene  aⁿ   ( a> 0 )?

A: Que  a  se ha tomado  n  veces  como factor.

P: En  particular si los exponentes  son 2  ó   3  se dice  que a  está  elevado  al cuadrado  o al  cubo  respectivamente .

P. El profesor  hace un resumen de lo estudiado en la clase.¿ qué  importancia  tiene para el hombre poder conocer las características  de determinadas  bacteria

A: Si las características  son  beneficiosas  al  hombre, el conocerlas, le permite  aprovecharlas  a su favor y  si son perjudiciales  poder  combatirlas.

2. En  el programa  de Matemática  para  la secundaria   básica , 9no. grado  al   impartir    en la unidad  no. 2  " Introducción de los conceptos  monomios , binomio , trinomio y polinomio ; grado de un monomio y de un polinomio " , se puede   comenzar   para la presentación del contenido   con el  siguiente  problema :hallar el área del piso de las tres  habitaciones de la

figura  que se muestra :

 P: ¿De  qué  trata el problema ?. Los estudiantes leen y analizan la situación  problémica  planteada.

A: Se quiere hallar el área de un piso que tiene  tres habitaciones .

P: ¿ Qué  conozco del problema ?.

A: Algunas de las dimensiones  de las habitaciones.

P: Para  facilitar la solución  nombremos cada una  de las habitaciones  con los números  1, 2 y 3 La habitación  1 ¿ qué forma  tiene ?

A: Tiene forma cuadrada.

P:¿ Cómo  podemos  calcular  su área.

A: El   A₌= L x L=X^{2 .}

P :La habitación  2  tiene  ¿ qué  forma tiene ?. ¿ cómo podemos  calcular  su área ?

A: Tiene  forma rectangular  y su área será  A=3X.

P: ¿ Qué  es una expresión  algebraica?. Los estudiantes  darán distintas respuestas y el profesor  puntualizará  el concepto.

A: Ponen distintos ejemplos  de  expresiones  algebraicas.

P: Define  monomio, y pone como ejemplos: X²   y  3X .¿La  suma de las áreas de las habitaciones  1 y 2 , a qué  será igual ?.

A: La suma de esas áreas será y  igual  a  ( X²   +  3X ).

P:  ¿La expresión algebraica anterior  será un monomio ?, el profesor  oirá los criterios y  reflexiones  de los alumnos, y los inducirá  a que ellos lleguen  a una respuesta  correcta.

A: Cada área es un monomio, y su suma es un binomio.

P:¿ Qué grado  tendrán los monomios  X²   ,  3X ? El profesor guiará   el debate  entre los estudiantes .

A:  X²  es de grado 2   y    3X es de grado  1.

P: El  profesor  define el concepto y pone ejemplos. ¿ Si unimos  las tres áreas , qué expresión  algebraica  obtenemos?

A: (X²   +  3X + 6 )

P: Define polinomio  entero  con una indeterminada como suma o  resta de monomios que no son semejantes, define  termino independiente de un  polinomio y su grado.

P y A  hacen un análisis de la solución encontrada  hasta el momento y del procedimiento seguido para hallarla.

P: ¿ Qué faltaría  precisar  respecto a las constantes  y variables que en la expresión

      (X²   +  3X + 6 )  aparecen  para  obtener  un área  determinada?.

A: Darle valores a la variable  X  en  la  misma unidad  de medida en que están  las constantes  3 y 6.

P: Con ayuda de los estudiantes halla una posible área del piso que forma las tres habitaciones  por ejemplo para  X= 7m  , y las otras medidas en metros  se tiene que el área  de las tres habitaciones sería  A= 76 m² .

Para finalizar queremos referirnos a que esta técnica de la enseñanza basada en problemas  sin exigir desde  el inicio estrategias   complejas  facilita el aprendiza  y la formación de procedimiento para la resolución  de problemas, al  posibilitar el entrenamiento  de alumnas y alumnos de manera sistemática a través de las clases de matemática permitiendo  en ellos la apropiación de formas de actuación que  conducen al desarrollo de la  capacidad de resolver problemas  más complejo  a  largo  plazo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Leontiev, A.N.: Actividad conciencia y personalidad. Ed. Pueblo y Educación, La Habana, 1981, pág. 77
2. Rubinstein, S.L.: El proceso del pensamiento. Ed. Universitaria, La Habana, 1966, pág. 124.
3. Villarini, A. Manual para la enseñanza de las destrezas de pensamiento. Proyecto de Educación Liberal Liberadora, Puerto Rico, 1991.
4. ___________Programas y precisiones de la asignatura Matemática para la secundaria básica, Ed. Pueblo y Educación, 2002.
5. Rizo, Cabrera Celia y Luis Campistrous: Didáctica y Solución de Problemas, Edición Especial , II Congreso Internacional Didáctica de las Ciencias, 2002, pág. 7

BIBLIOGRAFÍA.
1.-Labarrere , Sarduy, Alberto F. Pensamiento Análisis y autorregulación de la actividad cognoscitiva de los alumnos. Ed. Pueblo y Educación , La Habana , 1996.
2.-Silvestre , Oramas , Margarita y José Zilberstein Toruncha : Hacia una Didáctica Desarrolladora. Ed. Pueblo y Educación , La Habana, 2002.
3.-Campistrous, L y Celia Rizo. Aprende a resolver problemas aritméticos .Ed. Pueblo y Educación. La Habana. 1997.

Autores: 
Ms.C. María González Polo 
Marilyn Lamothe Rousseaux.
Centro: Instituto Superior Pedagógico “Raúl Gómez García”, Guantánamo. Cuba
Fecha: mayo 2006
Contactar: Lic. Lizet García Corona lizet@ispgt.rimed.cu

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