Monografias | Estrategia para la formulación de problemas geométricos en los docente de preuniversitario

INTRODUCCIÓN
La Matemática es una de las ciencias más antiguas y, a lo largo de los años, ha sido utilizada con fines diversos. Esta ciencia es extraordinariamente dinámica y cambiante, a tal punto que sus conceptos primarios sufren transformaciones relativamente rápidas y hasta su propia concepción, aunque de modo más lento, experimenta cambios tangibles. La Matemática es un fenómeno cultural universal, pues cualquier civilización crea una Matemática. Imaginar un mundo, en el cual los cambios y la complejidad subsistentes no puedan ser organizados mentalmente en relaciones, dependencias y modelos, es ciertamente difícil. “Un mundo así constituiría un verdadero caos, una antítesis del cosmos” (Sierpinska, 1998, p.1).

En la medida en que se transformó la sociedad, la Matemática experimentó un crecimiento exponencial, planteando nuevos retos para enseñarla y aprenderla. En el finalizado siglo XX, con la denominada “Revolución Científico–Técnica”, la correspondiente evolución didáctica alcanzó una velocidad sin precedentes, así que el abordaje de la realidad actual no es tarea sencilla. En los últimos 30 años, , se han producido cambios profundos en las concepciones de la Matemática y su enseñanza.

Resulta impresionante la producción científica ocurrida durante este período; basta decir que hoy día se publican más de 350 revistas referidas al campo de la “Educación Matemática”, “Didáctica de la Matemática”, o bien “Matemática Educativa”. Como puede verse, no existe unidad de criterios en cuanto a la denominación de lo que para muchos es una ciencia bastante joven, para otro es una ciencia milenaria.

En América Latina ha sido constituido el CLAME (Comité Latinoamericano de Matemática Educativa) que ha organizado catorce eventos denominados “Relme” (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa).

A finales de los años 80 y principios de los 90, se llevó a cabo otra renovación de los planes de estudios y consiste en fomentar el intercambio científico regional, orientando sus acciones hacia el beneficio de los sistemas escolares de América Latina. Particularmente, en la República de Cuba, los primeros intentos por perfeccionar la enseñanza de la Matemática fueron realizados por la destacada pedagoga Dulce María Escalona, a mediados del siglo pasado. Sin embargo, “los vientos del modernismo que recorrieron el mundo en la década siguiente limitaron este esfuerzo, reorientándolo hacia la elaboración de nuevos programas y libros de texto para la asignatura”.

Pocos años después, con el perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación, en la segunda mitad de la década de los 70, la enseñanza de esta asignatura experimentó un cambio sustancial, fundamentado sobre bases científicas sólidas y con una marcada orientación hacia el desarrollo de la personalidad libros de texto para la Enseñanza Media, por parte de un experimentado grupo de pedagogos cubanos. Sin embargo, aún se continúa con el perfeccionamiento de los programas de estudio, así como del enfoque metodológico general.

De hecho, en los actuales programas de secundarias básicas se aboga, entre otros aspectos, por “La presentación y tratamiento de los nuevos contenidos a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos, de carácter político–ideológico, económico–laboral y científico–ambiental, y no solo desde la propia lógica de la asignatura.

Un fuerte movimiento se ha desarrollado en todo el país a favor de la Matemática Educativa, contando con el apoyo del MINED (Ministerio de Educación) y de la SCMC (Sociedad Cubana de Matemática y Computación), hasta el ISP (Institutos Superiores Pedagógicos), con alrededor de 20 años de experiencia; de la toma de conciencia sobre la necesidad de lograr una mayor integración entre los ISP y el subsistema de educación para el que forma profesionales; y del creciente vínculo de los investigadores cubanos con colegas iberoamericanos, en eventos científicos internacionales auspiciados por el MINED o por diferentes universidades del país de incluir la Matemática entre las asignaturas priorizadas. A este interés manifiesto por la Matemática Educativa puede explicarse a partir del fortalecimiento profesional de los profesores de Didáctica de la Matemática.

Como se ha podido apreciar, en toda Ibero América se ha instituido un gigantesco sistema de investigación en Matemática Educativa. Esto podría significar que la didáctica de esta ciencia tiene resuelto el problema de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, pero lamentablemente esto no es así. No sólo los informes de investigación están lejos de aportar una solvencia plausible a las problemáticas científicas que enfrentan, sino que los sistemas educacionales, como todo sistema complejo, ofrecen una fuerte resistencia ante cualquier vestigio de cambio. A propósito, los expertos del programa iberoamericano IBERCIMA han señalado que “[un análisis elemental sobre la situación general de la enseñanza de la matemática y las ciencias demuestra que esta es muy deficiente en la mayoría de los países del área […]”

Es notable que en el ámbito educativo iberoamericano coexisten una amplia variedad de enfoques y corrientes, afines a la enseñanza de las ciencias y en especial a la Matemática. A título de ejemplo se puede mencionar el “Constructivismo”, la “Enseñanza Problémica”, la “Enseñanza por Problemas” y la “Etnomatemática”, por solo citar algunas. Es una regularidad que, tanto las concepciones más radicales como las más eclécticas, preconizan el logro de un aprendizaje significativo; para ello se sirven, principalmente, de problemas matemáticos.

Halmos expresó su convencimiento de que “los problemas son el corazón de la Matemática” . Así, en vista de que el contenido determina el método, de esta metáfora se infiere que también los problemas son “el corazón” de la Didáctica de la Matemática. Es justo destacar que, la tarea de formular problemas, puede llegar a ser tan difícil como la de resolverlos.

Algo similar se promulga en las actuales transformaciones del enfoque metodológico de la Matemática Educativa cubana. Así, de sus cuatro objetivos generales, el último plantea: “Formular y resolver, con los recursos de la matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo, así como con fenómenos y procesos científico – ambientales que les conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida”.

A pesar de su importancia, la formulación de problemas no ha recibido la atención requerida, como parte del currículo matemático, ni tampoco las investigaciones relacionadas con esta temática han sido lo suficientemente sistemáticas. En Cuba, con las transformaciones del enfoque metodológico, los maestros se plantean dos interrogantes fundamentales: ¿cómo lograr que los alumnos planteen y resuelvan sus propios problemas? y ¿cómo evaluar el desarrollo de los procesos psicológicos asociados?, ciertamente existen dificultades, pues no sólo los estudiantes están lejos de saber plantearse problemas, sino que los propios docentes (en general) carecen de recursos y motivación para incorporar esta tarea a su actividad pedagógica.

Un sinnúmero de hechos empíricos corroboran la necesidad de estimular el proceso de formulación de problemas, durante la formación del profesorado cubano. He aquí algunos de los más significativos:
1) Siempre ha sido muy baja la cantidad de problemas originales en las clases visitadas a lo largo del país, por parte de metodólogos e investigadores. Esta información ha sido constatada por el autor durante su participación en los talleres de Resolución de Problemas de los últimos tres congresos de la SCMC. Llama la atención la ausencia de datos estadísticos en muchos reportes de investigación. Una investigación exhaustiva que corrobora lo antes expuesto ha sido dirigida por Torres en La Habana.

2) Estudios realizados en los ISP de Santiago de Cuba, Ciudad de la Habana y Holguín, revelan insuficiencias en el desarrollo del proceso de formulación de problemas, tanto del profesor en formación como del que se encuentra en servicio.

3) Los resultados de las pruebas de ingreso a los Institutos Preuniversitarios Vocacionales de Ciencias Exactas y a la Universidad son, por lo regular, malos. Holguín figura entre los casos críticos, oscilando alrededor del 50% de promoción. Es notable que cuando los enunciados de las preguntas no aparecen en forma tradicional, los resultados obtenidos son todavía peores. Esto es una muestra de que los estudiantes no se enfrentan a problemas con enunciados y enfoques diversos, lo cual presupone una búsqueda constante de problemas nuevos por parte del maestro.

A fin de deslindar el problema, es necesario observar primero una seria dificultad que experimenta una estructura cíclica. En efecto, de forma general, el estudiante no recibe una enseñanza que lo lleve a asumir una actitud activa, inquisitiva y perseverante ante la Matemática, pues el maestro no lo hace de manera implícita ni explícita. Este mismo estudiante matricula en los ISP, donde hasta hoy no se le ha transmitido tal actitud hacia la Matemática (tanto en las diferentes disciplinas como en las actividades de práctica laboral.

A pesar de la elevada preparación de los claustros, no hay evidencia de acciones dirigidas a estimular el proceso de formulación de problemas al nivel de carrera. Sólo en el plan de estudio actual se ha planteado el objetivo de que el egresado sea capaz de puede aprender a formular problemas, y mucho menos cómo puede aprender a enseñar a hacerlo.

Finalmente, el egresado pasa a formar parte de aquellos profesores que iniciaron este comportamiento cíclico. Surge así la necesidad de romper la cadena por algún lugar. A juicio del autor, la cadena debe romperse en los ISP, pues el maestro en formación es más susceptible al cambio, en su modelo de actuación, que el maestro en ejercicio (Leung, 1993; Frykholm, 1996; Hodgson, 1996). Todo el análisis anterior conduce, en síntesis, a un importante problema científico: ¿Cómo favorecer el proceso de formulación de problemas geométricos en los docentes del preuniversitario “Desembarco del Perrit”” del Municipio de Antilla?

La presente investigación tiene como objeto el proceso de formulación de problemas, por parte de los docentes. Este objeto determina, como campo de acción, Las formulación de problemas geométricos por los docentes del preuniversitario. En consonancia con el problema planteado se define, como objetivo central de este trabajo, elaborar una estrategia meta cognitiva que:

Favorezca el proceso de formulación de problemas geométricos, por parte de los profesionales del preuniversitario “Desembarco del Perrit.
Actualidad: está dada por la importancia que tiene la solución del problema planteado y que aun siguen en nuestras escuelas las dificultades con la solución de problemas geométricos.
La significación práctica de este trabajo consiste en:
1) la propuesta de una metodología, dirigida a evaluar el desarrollo del proceso de formulación;
2) la elaboración de indicaciones metodológicas para la enseñanza de la estrategia en preuniversitario.

DESARROLLO
La resolución de problemas constituye un importante campo de investigación dentro de la Matemática Educativa. Casi un siglo de investigaciones ha sido el preámbulo de un numeroso grupo de monografías que, hoy día, intentan sistematizar el “Estado del Arte” (Cruz y Aguilar, 2001). A diferencia de esto, la formulación de problemas no cuenta con una plataforma teórica que permita explicar el origen de los hechos y fenómenos afines.
Partiendo de una concepción pedagógica del concepto “problema”, en el presente capítulo se enfoca el proceso de formulación como caso especial del proceso de resolución. De esta manera se establece un marco teórico–referencial que fundamenta la estrategia metacognitiva propuesta. Particularmente, se profundiza en el concepto “estrategia”, se argumenta cómo la Enseñanza Problémica puede servir de ambiente de aprendizaje, y se modela la actividad que debe desarrollar el futuro maestro cuando elabore nuevos problemas para sus educandos.

La literatura pedagógica y psicológica (Blanco, 1991; Wyndhamn, 1993; Santos, 1993 y 1994; D’Amore y Zan, 1996; Llivina, 1999; etcétera).

Los componentes esenciales de la tarea son el objetivo, el contenido y las condiciones. El primero es la representación anticipada de aquel resultado que habrá de ser alcanzado; y se proyecta, de acuerdo con el grado de trascendencia en la transformación que se aspira a lograr en el estudiante, en tres dimensiones: instructiva, desarrolladora y educativa (ibíd., pp. 80–84). El segundo engloba los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar, fundamentar, etcétera), y el objeto de las acciones (conceptos, proposiciones, procedimientos algorítmicos, medios heurísticos, etcétera).

Las terceras, desde el punto de vista cuantitativo, abarcan la frecuencia y la periodicidad de las acciones y operaciones que requiere la tarea, no solo de manera puntual sino también bajo la óptica del sistema de tareas. Desde el punto de vista cualitativo se pone de manifiesto el nivel de complejidad de la ejecución de las acciones y operaciones, así como la flexibilidad expresada en el grado de variabilidad del contenido y del contexto de la propia actividad (Bermúdez y Rodríguez, 1996, p. 8). El componente cualitativo de las condiciones también comprende la disposición del sujeto, su estado afectivo hacia la tarea, así como el modo en que esta tarea potencia la movilización de sus recursos volitivos.

Es muy difícil iniciar un análisis de los conceptos anteriores sin hacer primero En el ámbito escolar los términos “ejercicio” y “problema” son empleados con singular frecuencia. Muchas veces este uso no va acompañado de una precisión clara, como observaron Río et al. durante un análisis de los objetivos curriculares de la enseñanza de la Matemática en Iberoamérica (1992, p. 75 y 166).

A pesar de esto, hoy día el concepto “problema” ha sido tratado con suma profundidad en alusión a la “tarea docente”, que constituye la célula del proceso docente–educativo, pues “en ella se presentan todos los componentes y las leyes del proceso y, además, cumple la condición de que no se puede descomponer en subsistemas de orden menor, pues al hacerlo se pierde su esencia: la naturaleza social de la formación de las nuevas generaciones que subyace en las leyes de la pedagogía” (Álvarez, 1999, p. 115). Según Garcés (2002), la tarea docente es un medio del proceso docente–educativo; y se caracteriza por interaccionar con todos los componentes de dicho proceso, por la variedad de enfoques que puede adoptar, y por estar dirigida esencialmente a la formación multilateral de la personalidad.

Los componentes esenciales de la tarea son el objetivo, el contenido y las condiciones. El primero es la representación anticipada de aquel resultado que habrá de ser alcanzado; y se proyecta, de acuerdo con el grado de trascendencia en la transformación que se aspira a lograr en el estudiante, en tres dimensiones: instructiva, desarrolladora y educativa (ibíd., pp. 80–84). El segundo engloba los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar, fundamentar, etcétera), y el objeto de las acciones (conceptos, proposiciones, procedimientos algorítmicos, medios heurísticos, etcétera).

Las terceras, desde el punto de vista cuantitativo, abarcan la frecuencia y la periodicidad de las acciones y operaciones que requiere la tarea, no solo de manera puntual sino también bajo la óptica del sistema de tareas. Desde el punto de vista cualitativo se pone de manifiesto el nivel de complejidad de la ejecución de las acciones y operaciones, así como la flexibilidad expresada en el grado de variabilidad del contenido y del contexto de la propia actividad (Bermúdez y Rodríguez, 1996, p. 8). El componente cualitativo de las condiciones también comprende la disposición del sujeto, su estado afectivo hacia la tarea, así como el modo en que esta tarea potencia la movilización de sus recursos volitivos (puede resultar gradualmente agradable o no, interesante o no, novedosa o no, etcétera).

Es necesario señalar que en la tarea docente el objetivo se personifica, por cuanto cada estudiante puede seleccionar tareas distintas, a fin de cumplimentar un mismo objetivo; o bien, ante una tarea difícil, escoger otra más sencilla cuya resolución le permita retornar y resolver la inicial mejor preparado. Como ejemplo de tarea docente figura el ejercicio, en el cual se plantea una exigencia que propicia la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etcétera.

El trabajo con ejercicios no sólo constituye el medio fundamental para la realización de los objetivos de la enseñanza de la Matemática, sino también el instrumento adecuado para la medición del rendimiento de los estudiantes. El éxito de la enseñanza de la Matemática no solo depende de cuáles ejercicios se plantean, sino también de cómo el profesor dirige su proceso de resolución.

Existen muchas clasificaciones de ejercicios matemáticos. Una de ellas fue propuesta por Borasi (1986; citada por Blanco, 1991), la cual denomina sencillamente por “ejercicios” a aquellas tareas que pretenden desarrollar algún tipo de algoritmo. Si se trata de un texto formulado con precisión, donde aparecen todos los datos necesarios para obtener la solución, entonces la tarea se denomina “problema con texto”.

Cuando el contexto descubre el potencial recreativo de la Matemática, obligando al sujeto resolverte a ser flexible y considerar varias perspectivas, la tarea se denomina “problema puzzle”. En este último caso la formulación puede resultar engañosa, y la solución no tiene necesariamente que suponer procesos matemáticos.

En el presente trabajo se es consecuente con la primera noción de ZDP, en la cual cada estudiante debe trabajar sobre las fronteras de su propio conocimiento, pues el principal propósito consiste en estimular la puesta en práctica de una estrategia metacognitiva durante la formulación de nuevos problemas, lo cual demanda una actividad cognoscitiva compleja.

También es posible clasificar los ejercicios matemáticos atendiendo a la intención didáctica definida en el objetivo. Así resultan los ejercicios para la introducción, la fijación (ejercitación, repaso, sistematización), la aplicación, etcétera. Sin embargo, la clasificación más sencilla se consigue tomando su estructuración lógica como base para la división del concepto. De esta manera resultan dos tipos de ejercicios:
Antes de caracterizar el concepto “problema” es necesario esclarecer algunas cuestiones epistemológicas, relativas a la Psicología y la Matemática. Respecto al quehacer matemático, subsisten dos concepciones fundamentales.

La primera supone que la resolución de problemas va dirigida a comprender mejor la Matemática. Por su parte, la segunda asume que la comprensión de esta ciencia consiste en poder llegar a resolver mejor los problemas e identificar tres concepciones generales que repercuten en la enseñanza y en el aprendizaje de la Matemática: la platónica, la instrumental y la de resolución de problemas.

En esta tesis se enfatiza esta última, por considerar la Matemática como una disciplina dinámica y cambiante, la cual está en constante desarrollo y reajuste ante las nuevas situaciones problémicas. Esto no significa que se niegue el papel instrumental de esta ciencia, reflejado en el desarrollo de habilidades para resolver problemas de la vida práctica, para usar ágilmente el lenguaje simbólico, los procedimientos y algoritmos, y para desarrollar el pensamiento lógico–formal.

Otro aspecto importante, relativo a la filosofía de la Matemática, dimana de la interrogante: ¿todo problema tiene solución?. En vista de que todo el conocimiento matemático refleja propiedades intrínsecas de la realidad objetiva, la respuesta estará condicionada por la conocida controversia entre los representantes del materialismo dialéctico –quienes afirman que el mundo es cognoscible y los agnósticos –quienes afirman que o bien no se puede conocer o, al menos, no se sabe qué se puede y cuándo se conoce, lo cual constituye un tema básico de la epistemología.

Desde la perspectiva psicológica, se asume el enfoque histórico–cultural de Vîgotskiy (1982), destacando la naturaleza social del desarrollo psíquico del hombre, así como la unidad entre psiquis y actividad. El principio fundamental que sustenta este enfoque consiste en que los procesos mentales pueden nacer en la actividad planificada, para luego convertirse en órganos funcionales de la propia actividad. Sin embargo, en el contexto escolar no todo se puede enseñar, pues el desarrollo no depende directa y linealmente de la enseñanza aunque esta, en última instancia, conduzca al desarrollo.

Uno de los principales aportes de la obra de Vîgotskiy consiste en la noción de “Zona de Desarrollo Próximo” (ZDP) que expresa la relación interna entre la enseñanza y el desarrollo. En su versión clásica, este concepto se caracteriza por la necesidad de una relación asimétrica novato–experto, como génesis (en el primero) de los procesos psicológicos superiores; y también por la aparición de una potencialidad, como emergente de esta relación. Aquí se manifiesta la ley genética del desarrollo, que postula que todo proceso psíquico aparece dos veces: primero en una relación interpersonal, después como dominio intrapersonal.

Desde la perspectiva pedagógica es posible señalar otros aspectos importantes que tienen los problemas en el orden axiológico y metodológico. En general el trabajo con problemas desarrolla un conjunto de rasgos y cualidades de la personalidad, reflejados en la voluntad, los sentimientos y emociones, así como en las convicciones de los estudiantes. Por ejemplo, en los problemas con texto se describen objetos y fenómenos de la realidad, lo cual constituye una vía para poner al alumno en relación con situaciones del quehacer cotidiano, en particular con la vida nacional, social, productiva, política, etcétera.

La resolución de problemas facilita la asimilación de nuevos conocimientos (sociales, éticos, jurídicos, políticos, económicos) y desarrolla formas peculiares de interrelación con la sociedad y el medio ambiente. Por otra parte, la enseñanza de los problemas también permite asimilar conocimientos acerca de las relaciones cuantitativas existentes entre las distintas esferas de la realidad; proporciona la asimilación de los conocimientos matemáticos, lo que propicia que el alumno se oriente en el mundo, lo comprenda y adopte puntos de vista peculiares (simbolización) de los objetos, hechos y fenómenos en el lenguaje propio de la Matemática; y también propicia el desarrollo del pensamiento de los alumnos en particular el lógico, el científico y el teórico.

Estrategia en la formulación de problemas
El problema ha sido modelado como una actividad compleja, dirigida hacia la elaboración de nuevos problemas. Uno de los subprocesos constitutivos es la formulación, el cual se refiere tanto al conjunto de acciones y operaciones que conducen al planteo de un problema como a la forma en que estos tienen lugar. Desde esta perspectiva, el planteo de un problema no se interpreta como un acto inextricable, sino como un usufructo de la implementación de ciertas técnicas y estrategias afines. Por otra parte, al conceptuar las estrategias como ciertos procedimientos de la actividad cognitiva, se advierte la presencia de otras estrategias más simples que configuran de manera compleja la estrategia en sí.

En efecto, las denominadas “técnicas” son también susceptibles de ser aisladas y sometidas a estudio. En sentido general, las investigaciones vinculadas a la formulación de problemas no utilizan el término “técnica”. De forma análoga a lo que ocurre con la resolución de problemas, los autores utilizan indistintamente el término “estrategia”, aun cuando se refieren a los procedimientos más elementales. En este trabajo se distinguen ambos conceptos, pero se reconoce la relatividad que subyace sobre dicha distinción.

Antes de profundizar en la forma y el contenido de la estrategia metacognitiva que se propone, es necesario reconocer que su origen subyace sobre una idea de Brown y Walter (1990, p. 61), en la cual los autores introducen cinco “niveles” para el desarrollo de su técnica “¿qué–si–no?”. Se trata de “escoger un punto de partida”, “enumerar atributos”, “aplicar la técnica”, “realizar preguntas” y “analizar el problema”. En un sinnúmero de ejemplos se evidencia cómo estos niveles conforman una estrategia metacognitiva. Sin embargo, esta última es muy específica y no se esclarece la posibilidad de implementar otras técnicas.

Por otra parte, tampoco se describen las operaciones que conforman estos niveles (o acciones) y su estructura tiende a ser lineal. Además, el hecho de anteponer la realización de preguntas sin un análisis previo, puede conducir a la formulación de problemas sin sentido (ora por la existencia de datos contradictorios, ora por la insuficiencia de información). A continuación se propone una estrategia no lineal que engloba una amplia diversidad de técnicas, particularmente la abordada por Brown y Walter (ibíd.).

La estrategia se compone de seis acciones básicas, tal y como se ilustra en la figura 6. La primera de ellas es la selección del objeto, y su ocurrencia está condicionada por la relación 2 de la figura 5 (§ 1.3), así que responde a un objetivo consciente. El sujeto analiza qué clases de objetos matemáticos resultan apropiados

La acción subsiguiente consiste en la transformación del objeto, que puede ser total, parcial o idéntica (la transformación idéntica explica el tránsito directo de la clasificación a la asociación en la figura 6). Tales cambios pueden ocurrir tras la generalización de ciertos elementos emergentes durante la clasificación. Esta operación lógica es muy compleja y puede tener una naturaleza sintética o analítica. En esencia, la generalización facilita el paso de un concepto específico a otro genérico, al quitar de su contenido aquellos indicios que lo especifican (disminuye el contenido y aumenta el volumen del concepto). El proceso contrario se denomina limitación (véase Guétmanova, 1989, p. 63).

También es posible transformar el objeto empleando analogías. En este caso se trata de un razonamiento sobre la pertenencia a cierto objeto de un determinado indicio (propiedad o relación), tomando como base la homología de indicios sustanciales con otro objeto. Según el carácter de la información trasladada

Es por eso que se ha considerado una penúltima etapa, relacionada con la búsqueda de dependencias, donde se analizan las relaciones existentes entre las propiedades que han sido asociadas. Si este análisis resulta infructuoso, es posible seguir transformando el objeto (véase la figura anterior) para continuar la búsqueda tras nuevas asociaciones. Finalmente se sintetiza toda la información, y las interrogantes inmanentes son valoradas a fin de seleccionar una (o varias) de ellas. Con esta toma de decisión culmina el planteo de la pregunta, teniendo lugar entonces la etapa subsiguiente del metaproblema.

Las consideraciones anteriores permitirán explicar qué técnicas son empleadas durante la formulación de problemas, lo cual apunta hacia la solución de un importante problema abierto, el cual fue declarado por Kilpatrick hace más de una década (1987b, p. 142) y retomado más recientemente por Silver et al. (1996) y English (1997b). Particularmente, el modelo teórico de la figura 6 se ajusta a varias técnicas, las cuales han sido aisladas y estudiadas por otros autores.
Para llevar a cabo estos tipos de estrategias es necesario:
1. Identificar si el problema a elaborar pertenece a una clase resoluble algorítmicamente.
2. Determinar todos los algoritmos regresivos posibles (entre el resultado final y la proposición original), así como teoremas e interpretaciones afines.
3. Formalizar el algoritmo más sencillo, común a toda la clase.

Puede tomarse como ejemplo los sistemas de ecuaciones lineales de 3´3, los cuales pertenecen a la clase más amplia de sistemas lineales de m´n, resolubles algorítmicamente por el método de Gauss. Como procedimiento regresivo puede elegirse el algoritmo inverso que resulta de elaborar ecuaciones de una, dos y tres variables (en el caso de haber aplicado el método de eliminación), las cuales pueden ser objeto de combinaciones lineales; o bien un algoritmo asociado a la regla de Cramer; o aun uno más sencillo, consistente en: partir del conjunto solución, tomar por coeficientes los elementos de una matriz regular y sustituir dicho conjunto en el vector columna, para obtener los términos independientes.

La selección de este último procedimiento genera nuevos problemas de carácter práctico, como la necesidad de ciertos métodos para obtener matrices no singulares. Uno de ellos podría ser: tomar dos números reales diferentes y formar la correspondiente matriz de Vandermonde.

Las técnicas lógicas son aquellas que hacen abstracción de los objetos y relaciones, transformando los mismos según las leyes de la Lógica Formal (no de la Lógica Dialéctica que, al no hacer abstracción del contenido, está presente siempre).

Su uso es frecuente cuando es necesario elaborar problemas relacionados con ecuaciones, identidades, inferencias, figuras geométricas, gráficos, y en general con cualquier objeto o relación cuyos rasgos faciliten transformarlo.

Ejemplos de estas técnicas son la generalización, limitación, formación de recíprocos, búsqueda de proposiciones equivalentes (ganancia de premisas, leyes de D’ Morgan, contrarrecíprocos, etcétera), negación de una proposición cuantificada, entre otras. Para llevarlas a cabo es necesario:
1. Analizar qué operaciones lógicas son factibles efectuar, según los rasgos determinados.
2. Seleccionar una operación conveniente, atendiendo a la Determinar los rasgos distintivos del objeto o fenómeno.
3. Experiencia acumulada en esta actividad.
4. Aplicar la operación.

Finalmente, las técnicas heurísticas son aquellas que por naturaleza se vinculan más a la búsqueda, al acto de descubrimiento. Su uso es común cuando es necesario explorar propiedades intrínsecas de los objetos y fenómenos, así como la interrelación subyacente entre estos y otros no necesariamente dados. Figuran como ejemplos la analogía, la contradicción, la variación de algunos elementos dentro de cierto rango, la asociación (asociar los problemas relativos al concepto función al estudio del concepto derivada, asociar los triángulos isósceles a matrices de 2´2), y formar la intersección entre las características de dos conceptos (¿qué tienen en común los números complejos y las circunferencias
Metodología para caracterizar el proceso de formulación.

Muchos autores han desarrollado diferentes metodologías para caracterizar el nivel de desarrollo del proceso de resolución de problemas GEOMÉTRICOS.

La formulación de problemas es un proceso predominantemente cognitivo, como han mostrado Leung (1993) y Llivina et al. (2000), aunque intervienen otros procesos emocionales y volitivos en unidad dialéctica. Esto sugiere abordar su caracterización a partir de la dimensión ejecutora, considerando tanto el resultado obtenido como el contenido y la forma en que la estrategia tuvo lugar. El marco teórico ha permitido caracterizar la formulación de problemas como un proceso cognitivo, asociado a la resolución de ciertos problemas abiertos. Este proceso se ha caracterizado por tres componentes: el sistema de procesamiento, el contenido procesado y el resultado.

Con el objetivo de operacionalizar la variable dependiente de la hipótesis, es necesario deslindar los indicadores que permiten caracterizar el proceso de formulación. En total son tres: dos procesales, relacionados con la implementación de la estrategia y con la metacognición; y uno terminal, referido al problema formulado. Particularmente, el contenido se considerará inmerso en todos ellos, conjuntamente con las creencias y concepciones. Así será posible enfocar de manera holística la caracterización cualitativa del proceso estudiado.

Existen diversas escalas de evaluación, en el campo de la resolución de problemas. Sin embargo, en lo referido a la formulación, la literatura consultada no registra análisis alguno. Es por ello que se propone, en cada caso, una escala cualitativa de tipo ordinal (bajo–medio–alto), la cual deberá perfeccionarse en investigaciones posteriores (en cuanto a la pertinencia de cada indicador y su respectivo refinamiento, principalmente). Todos los criterios se sustentan en analogías respecto a estudios similares, en el ámbito de la resolución de problemas (Schöenfeld, 1985; Dowker et al., 1996; Silva, 1999; Llivina, 1999 y 2000; Nunokawa, 2000; Stacey y Scott, 2000; De Corte et al., 2001; Kratochvílová, 1998 y 2001; Martínez–Cruz y Contreras, 2001).

Para evaluar este indicador es necesario recurrir a dos elementos sustanciales. El primero se refiere a la fluencia en las técnicas utilizadas, y el segundo a la logicidad con que estas tienen lugar. Un instrumento adecuado ha sido elaborado por Schöenfeld (1985), se trata de los “episodios gráficos” en la resolución de problemas. En este caso debe realizarse un pequeño ajuste, pues se parte de una situación vinculada a un objeto o relación (cf. Labarrere, 1980). Seguidamente se orienta al estudiante que formule un problema asociado a dicha situación, destacando la posibilidad que tiene de transformarla. La actividad será grabada, lo cual favorece la mayor exactitud en el análisis ulterior (en caso de no realizar la grabación utilizando cinta de vídeo, sino cinta magnetofónica, se orientará también no borrar lo escrito, procediendo simplemente a tacharlo).

En todo momento debe crearse un clima agradable, donde el alumno exprese verbalmente sus ideas. El experimentador tomará nota de sus observaciones, lo cual se complementa con la información escrita y la grabación; también podrá interaccionar con el estudiante siempre que lo considere necesario. Posteriormente se confeccionará un diagrama similar al que aparece a continuación. Se trata del producto cartesiano entre las seis acciones demarcadas en la figura 6 y el tiempo.

El problema propuesto.
El resultado final queda definido por el problema planteado. En este se manifiestan dos elementos fundamentales: la profundidad y la originalidad. Según Llivina (1999), el primero se refiere al grado de penetración en la esencia de los hechos y fenómenos, buscando generalizaciones, leyes, regularidades; y a la tendencia a sintetizar lo relevante, haciendo abstracción de lo menos significativo. Por su parte, el segundo se expresa en la cantidad de ideas y opciones inusuales que el sujeto realiza.

Se han establecido una tipología para los ejercicios escolares, atendiendo a la profundidad y originalidad.
aparecen los ejercicios sencillos, los cuales requieren de un razonamiento intermedio antes de obtener el modelo matemático correspondiente. A diferencia de los anteriores, es posible encontrar aquí algunos elementos originales de naturaleza extramatemática, como ciertas complicaciones lógico–lingüísticas. Un ejemplo típico lo constituyen los problemas con texto (en el sentido de Jungk, 1981), conducentes a un sistema en forma directa. Más sofisticados aún son los ejercicios moderados, caracterizados por exigir la aplicación de una identidad, la realización de construcciones auxiliares simples (sin trazar más de un segmento o una circunferencia), así como transformaciones algebraicas no equivalentes y cálculos intermedios. Sirven de ejemplo las ecuaciones cuya resolución introduce raíces extrañas, las cuales deben ser discriminadas posteriormente.

En penúltimo lugar figuran los ejercicios difíciles, caracterizados por requerir la transformación geométrica de un triángulo, cuadrilátero o circunferencia; el trazado de un plano auxiliar en el cálculo de cuerpos; la demostración de identidades, tras la aplicación reiterada de otras más elementales; o bien la modelación a través de funciones, para el análisis de valores críticos. Finalmente, aparecen los ejercicios muy difíciles, caracterizados por la necesidad de realizar una conjetura que debe ser demostrada (v. gr., por inducción completa), la aplicación combinada de transformaciones geométricas, la realización de varias construcciones auxiliares, así como la aplicación sistemática de diversos contenidos.

Indicaciones metodológicas para el aprendizaje de la estrategia
A fin de favorecer el nivel de desarrollo del proceso de formulación, ha sido develada una estrategia metacognitiva que engloba disímiles técnicas. Sin embargo, esto no es suficiente, pues este proceso forma parte de la actividad cognitiva de un sujeto, la cual no puede aislarse del medio natural donde ocurre.

La formación de profesores en Cuba también ha experimentado la mayoría de las regularidades mundiales, pero al constituirse como parte de un subsistema nacional de educación ha tenido sus propias singularidades. En un período que data entre 1857 (con la apertura de la primera escuela normal para maestros) y principios del siglo XX, no se tiene referencia alguna de preparación orientada hacia la Didáctica de la Matemática.

Tanto en el período colonial como en el republicano, muchos insignes pedagogos lucharon por librar la enseñanza de la Matemática del escolasticismo. Sin embargo, solo con el triunfo de la revolución socialista en 1959, comenzó un acelerado proceso de transformaciones económicas, políticas y sociales que propiciaron un enriquecimiento nunca antes visto de la didáctica cubana (Cruz y Aguilar, 2001). Particularmente, la formación universitaria del profesor de Matemática comenzó en el curso escolar 1977–1978 con el denominado Plan de Estudio A, ocurriendo un perfeccionamiento continuo hasta llegar al actual Plan C modificado.

CONCLUSIONES
Se ha propuesto una estrategia que favorece la formulación de nuevos problemas, esclareciendo las acciones y operaciones que le son constitutivas. Esta estrategia engloba una amplia gama de técnicas ya abordadas por otros autores, mostrando cómo estas interaccionan en la dinámica de una compleja actividad cognitiva. Tomando como base que la formulación de problemas ha sido conceptuada como caso particular del proceso de resolución, la analogía ha permitido establecer una tipología procedimental que abarca todas las técnicas conocidas hasta hoy.

También se ha elaborado una metodología que permite caracterizar el nivel de desarrollo del proceso de formulación, sobre la base de tres indicadores básicos. Finalmente, con el objetivo de adecuar la intervención pedagógica a la formación del profesor, se ha elaborado un conjunto de indicaciones metodológicas para la enseñanza de la estrategia en preuniversitario.

El carácter relativo del concepto problema ha permitido el abordaje de la formulación como un caso particular de problema abierto; es por ello que la estrategia general de Pòlya debe corresponderse con las acciones de la estrategia propuesta.

BIBLIOGRAFÍA
Alonso, I. (2001) La resolución de problemas Matemáticos: Una alternativa didáctica centrada en la representación. Tesis doctoral, Centro de estudios “Manuel F. Gran”, Universidad de Oriente.
Álvarez, C. M. (1999) La escuela en la vida. Didáctica. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Blanco, L. (1991) Conocimiento y acción en la enseñanza de las Matemáticas de profesores de E. G. B. y estudiantes
Campistrous, L. y Rizo, C. (1996) Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Campistrous, L. y Rizo, C. (2000) Tecnología, resolución de problemas y didáctica de la Matemática. ICCP, Ministerio de Educación
Cruz, M. (1995) Resolución de ecuaciones en números enteros. Pedagogía’ 95, La Habana.
Cruz, M. (1998) Sobre la formulación de problemas matemáticos. Comat’ 98, ISP “Juan Marinello”, Matanzas.
Cruz, M. (1999) Sobre el planteo de problemas matemáticos. Revista electrónica Órbita, ISP “Enrique José Varona”, La Habana.
Cruz, M. (2000) Estrategias para la elaboración de ejercicios del análisis diofántico. Biblioteca Virtual para los ISP, No. 1, Ministerio de Educación, La Habana.
Cruz, M. y Aguilar, A. (2001) Evolución de la Didáctica de la Matemática. En: Función Continua, No. 12, Año II, pp. 23–41.
Cruz, M. y Álvarez, S. (2002) La formulación de problemas para la enseñanza de la Matemática. En: Actas del II Congreso “Didáctica de las Ciencias.” MINED – Organización de Estados Iberoamericanos, La Habana.
Cruz, M.; Álvarez, S. y Torno, L. (2002) Sobre la formulación de problemas matemáticos. Por aparecer en: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 16, t. 2, Grupo Editorial Iberoamérica, México.
Galperin, P. (1986) Sobre el método de formación por etapas de las acciones mentales. En: Antología de la Psicología Pedagógica y de las Edades. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Gascón, J. (1994) El papel de la resolución de problemas en la enseñanza de la matemática. En: Educación Matemática, Vol. 6, No. 3, pp. 37–51.
Gascón, J. (1998) Evolución de la didáctica de la matemática como disciplina científica. En: Reserches en Didactique des Mathématiques, Vol. 18, No. 1, pp. 7–34.
González, D. (2001a) La preparación de los maestros para la enseñanza–aprendizaje de la formulación de problemas matemáticos. Pedagogía’ 01, Curso 78, La Habana.
González, D. (2001b) La superación de los maestros primarios en la formulación de problemas matemáticos. Tesis doctoral, ISP “Enrique José Varona”, La Habana.
Ministerio de Educación (2002) Plan de Estudio de la Carrera Matemática–Computación. Vigente a partir del curso escolar 2002–2003, MINED, La Habana.
Muñoz, A. (1999) Experiencias de aprendizaje propuestas por los alumnos y su resolución en un taller de matemáticas. En: Resúmenes del Relme 13 (p. 179).
Nápoles, J. E. y Cruz, M. (2000) La resolución de problemas en la escuela. Algunas reflexiones. En: Función Continua, No. 8, Año I, pp. 21–42.
Perales, F. J. (1995) La resolución de problemas en la enseñanza–aprendizaje de las ciencias. En: A distancia, pp. 75–78, Madrid.
C. y Campistrous, L. (1999) Estrategias de resolución de problemas en la escuela. En: Relime, Vol. 2, No. 3, pp. 31–45.

AUTOR
Lic. Jesús Ballester Caballero. Profesor Instructor.
e-mail: spantilla@hlg.rimed.cu
Centro Laboral: Sede Universitaria Pedagógica. Antilla.

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