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Ecuación de Schrodinger

Resumen: La ecuación de Schrodinger no se descubrió súbitamente, la maduración de la mecánica cuántica, ocupo un periodo que se extendería desde 1900 con las hipótesis de Planck, hasta 1926 cuando se la postuló. Ya Planck, al tratar de explicar la radiación del cuerpo negro, había propuesto como solución la hipótesis de la cuantificación de la energía electromagnética.

Publicación enviada por Mario Torres

Introducción

Introducción
Reseña Histórica
Propiedades de la función de onda
Solución unidimensional para e uniforme y constante
El pozo infinito o caja de potencial
El átomo de hidrógeno
Modelo para semiconductores

Normalización de los vectores, versores
Cálculo del laplaciano de un escalar en cordenadas curvilineas
Coordenadas esféricas
Bibliografía

Introducción

Esta es una monografía que preparamos mientras asistíamos a un curso de Física III.

Como nos valió la aprobación del profesor y siendo además conscientes, del esfuerzo

que tuvimos que hacer para reunir el material, es que la ponemos a disposición de la

comunidad.

Reseña Histórica

La ecuación de Schrodinger no se descubrió súbitamente, la maduración de la mecánica cuántica, ocupo un periodo que se extendería desde 1900 con las hipótesis de Planck, hasta 1926 cuando se la postulo.

Ya Planck, al tratar de explicar la radiación del cuerpo negro, había propuesto como solución la hipótesis de la cuantificación de la energía electromagnética.

El efecto Compton y el efecto fotoeléctrico, sugerían además, un comportamiento corpuscular de las ondas electromagnéticas.

En 1923, De Broglie postulo que, así como las ondas electromagnéticas se manifiestan en ciertos experimentos como partículas, entonces por simetría, las partículas deberían en ciertas condiciones, presentar comportamiento ondulatorio.

Intuyendo algo, que después se llamo: dualidad onda-partícula.

Además, el modelo atómico de Bhor, sugería que el electrón tenia estados estacionarios en el átomo.

¿No serian estos estados estacionarios, en realidad, ondas estacionarias?

Debe quedar claro que, cuando De Broglie presento esta hipótesis, el fenómeno solo se había observado en fotones.

Sean:

C la velocidad de la luz.

f la frecuencia de la onda.

h la constante de Planck.

m la masa de la partícula.

p la cantidad de movimiento de la partícula.

Entonces, partiendo del fotón, tendríamos:

E=h*f

m=E/C²

m=h*f/C²

m=h/l*C

l=h/m*C

Donde, si observamos que el denominador, es la cantidad de movimiento del fotón,

podemos generalizar a corpúsculos de cualquier velocidad:

l=h/p

Este es el postulado de De Broglie.

¿Que significan las ondas de De Broglie?

La función de onda de una partícula, esta relacionada con la posibilidad de encontrarla en una determinada región del espacio.

Mas concretamente, la densidad de la probabilidad, de encontrar a la partícula en una región determinada, posee distribuciones típicas de procesos ondulatorios.

Al descubrirse el comportamiento ondulatorio de las partículas atómicas, también se descubrió que no les era aplicable el formalismo de la mecánica clásica.

En 1926, Erwin Schrodinger postulo una ecuación, que vinculaba la función de onda con las variables dinámicas de las partículas.

Así se fundo una nueva mecánica, la de las partículas atómicas, que se llamo mecánica cuántica.

El termino cuántico viene al caso, porque generalmente, la ecuación de Schrodinger solo tiene solución

para determinados niveles de energía. Es decir, la cuantificación de la energía, aparece como algo natural

en la mecánica cuántica.

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE ONDA

1) Existe una relación simple, entre la función densidad de probabilidad y la función de onda:

D = |Y|²

Una característica de Y es, que en general, se trata de una función compleja.

Pero, como la densidad de probabilidad debe ser real, se toma como cuadrado de Y, el producto de la

misma por su conjugada: __

D=Y* Y

2) La función debe ser normalizada, es decir, la integral de la densidad de probabilidad extendida al todo el espacio debe valer 1.

Para lograr esto, se multiplica la función de onda por una constante de normalización.

Significa además, que solo son solución, aquellas funciones cuya integral extendida a todo el espacio,

esta acotada.

3) Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos, de tal manera que es posible determinar,

según cual se ha producido, la probabilidad es la suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de los modos.

Entonces, su densidad de probabilidad será: D = |Y1|² + ... + |Yn|²

4) Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos, de tal manera que no es posible determinar, según cual se ha producido, la amplitud de Y es la suma de las amplitudes correspondientes a cada uno de los modos.

Entonces, su densidad de probabilidad será: D = |Y1 + ... + Yn|²

Es en estos casos, cuando se producen fenómenos de interferencia.

5) La función de onda Y, cumple con la ecuación de onda, (ecuación de D'Alembert):

6) Operador cantidad de movimiento

Definimos como una operación que nos permite obtener la cantidad

de movimiento a partir de la función de onda.

7) Operador energía

Definimos como una operación que nos permite obtener la energía

a partir de la función de onda.

Sabemos que la energía total de un sistema, se compone de energía cinética y energía potencial.

Llamando T a la energía cinética y U a la potencial, tendremos:

T + U = E

T + U-E=0

Sabemos que T=p²/2m

Para obtener p², repetimos la operación cantidad de movimiento, y multiplicando cada sumando por Y:

TY + UY - EY =0

Lo cual puesto en función de los operadores constituye la

ECUACIÓN DE SCHRODINGER:

Para el caso tridimensional se puede escribir así:

Una clase importante de problemas, son aquellos para los cuales es constante.

Este tipo de problemas se llaman de estado estacionario, la densidad de probabilidad no depende del tiempo.

Esto implica que

Para lo cual, se puede plantear:

(con E constante)

En efecto:

Con lo cual, la ecuación de Schrodinger para el estado estacionario, es la siguiente:

No debemos olvidar que la solución será independiente del tiempo, pues se trata de estados estacionarios.

Así que la solución buscada será solo función de la posición, y no del tiempo.

SOLUCION UNIDIMENSIONAL PARA E UNIFORME Y CONSTANTE

Supongamos que E sea uniforme y constante en todos los puntos.

Una solución general seria la siguiente:

E UNIFORME Y CONSTANTE, U UNIFORME Y CONSTANTE

TRES CASOS

1) U < E

Las constantes se ajustan a la solución particular.

2) E < U <

En este caso se debe tener en cuenta, además de las condiciones particulares del problema, la normalización.

La integral de una exponencial puede diverger o converger, dependiendo del dominio.

Si una de las soluciones de la ecuación diverge, no puede ser solución del problema.

3) U =
En este caso la solución es 0

Condiciones de frontera

Al resolver la ecuación de Schrodinger para un problema particular, es común tener que empalmar dos soluciones diferentes.

Este empalme se debe hacer de tal modo que tanto Y, como su derivada resulten continuas.

Además, solo pueden ser soluciones, aquellas funciones cuya integral sobre todo el espacio este acotada.

EL POZO INFINITO O CAJA DE POTENCIAL

X < 0 => U= => 0

0 < X < L => U=0

X > L => U= => 0

Planteemos nuevamente la ecuación de Schrodinger para el estado estacionario.

Teniendo en cuenta que para 0 < X < L => U=0 y reordenando

Una solución seria

La condición de frontera , implica B=0

Luego la solución seria del tipo

La otra condición de frontera nos conduce a:

Sustituyendo este valor de en Y:

Introduciendo este valor de Y en la ecuación diferencial:

O sea, que los niveles de energía, están cuantizados en la caja de potencial.

EL POZO DE POTENCIAL

X < 0 => 0 < U<

0 < X < L => U=0

X > L => 0 < U<

En este caso la función de onda no se anula fuera de la caja, y tenemos cierta posibilidad de que una partícula con E < U se encuentre allí. En mecánica clásica esto seria imposible.

Se demuestra que la energía de la partícula esta cuantificada, aunque los niveles no coinciden con los de la caja de potencial.

LA BARRERA FINITA

X < 0 => U= 0

0 < X < L => 0 < U<

X > L => U = 0

En este caso, la función de onda existe en las tres regiones.

Esto significa que hay cierta posibilidad de que una partícula con E < U, atraviese la barrera.

Esto se conoce como EFECTO TUNEL.

EL ATOMO DE HIDRÓGENO

Es necesario plantear la ecuación de Schrodinger en coordenadas esféricas (ver apéndice).

Dada la ecuación de Schrodinger para estados estacionarios en coordenadas cartesianas:

Su forma en coordenadas esféricas seria:

Para resolver esta ecuación, suele utilizarse el método de separación de variables, expresando Y como un producto:

La resolución de esta ecuación, esta mas allá de este curso, pero concuerda con los resultados experimentales.

MODELO PARA SEMICONDUCTORES

Las propiedades de los semiconductores se estudian aplicando la ecuación de Schrodinger a un modelo matemático del cristal.

Un modelo simple, y que da buenos resultados, es el que representa al potencial dentro del cristal, como una onda rectangular, unidimensional e infinita.

Este modelo se conoce como modelo de Kronij-Penney.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Una de las consecuencias que se pueden deducir de la ecuación de Schrodinger, es

el principio de incertidumbre.

Este principio establece limites para la precisión con que se pueden medir ciertos parámetros.

En la mecánica clásica, no se ponen limites teóricos a la precisión de las mediciones.

En mecánica cuántica se demuestra que:

Esto significa que mientras mas precisamente midamos una determinada componente de la cantidad de movimiento, menos precisión obtendremos en la misma componente de la posición, y viceversa.

Esto significa que mientras mas precisamente midamos la energía de una partícula, menos precisión obtendremos en la medición del tiempo y viceversa.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE D’ALEMBERT

Toda onda de velocidad constante y uniforme, se puede representar de la siguiente forma:

Donde el signo depende de la dirección de la onda.

Esta ecuación, cumple la siguiente ecuación diferencial, llamada ecuación de D’Alembert:

COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

En física, en general, cuando se encara la resolución de un problema, es muy recomendable

adoptar un sistema de coordenadas que se adapte a la simetría del mismo.

Así, por ejemplo, los problemas con esferas se resuelven mas fácilmente adoptando

coordenadas esféricas. Mientras que las coordenadas cilíndricas se utilizan para los

problemas con cilindros, etc.

El propósito de este apéndice, es presentar la teoría de estos sistemas de coordenadas.

Dado un dominio A de un espacio donde definimos:

1) Un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales:

(X1, X2, X3)

2) Tres funciones que admiten inversas de modo que

la relación entre X1, X2, X3 y U1, U2, U3 sea biunívoca:

U1 = U1(X1, X2, X3)

U2 = U2(X1, X2, X3)

U3 = U3(X1, X2, X3)

3) Que los siguientes vectores sean ortogonales.

Es decir, que el producto escalar de dos cualquiera sea siempre cero.

¶V1. ¶V2 = 0

¶V1. ¶V3 = 0

¶V2. ¶V3 = 0

4) Mediante uno o mas giros de coordenadas se pueden poner, simultáneamente, en correspondencia los vectores ¶U1 con X1, ¶U2 con X2, ¶U3 con X3.

NORMALIZACION DE LOS VECTORES, VERSORES

Se llama versor a un vector unitario, de la misma dirección y sentido que una de las coordenadas.

Una terna de versores forma una base del espacio, (una terna de vectores unitarios ortogonales).

Normalizando los vectores ortogonales U1, U2, U3, obtendremos una base del espacio.

Un vector se normaliza dividiéndolo por su modulo:

N1 = ----

|U1|

La norma de un vector la expresaremos como N(U1) = |U1|

Sea una variación infinitesimal de una de las coordenadas curvilíneas.

Instalemos en el mismo punto del espacio, un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales:

(W1, W2, W3) de tal modo que mediante uno o mas giros de coordenadas se puedan poner,
simultáneamente, en correspondencia Wi con ¶Ui, evidentemente:

Por lo tanto:

A la relación la llamaremos Vi, es un factor de escala entre las coordenadas cartesianas ortogonales y las coordenadas curvilíneas ortogonales.

Mas concretamente,

CALCULO DEL GRADIENTE EN LAS COORDENADAS (W1, W2, W3)

Sea P un campo escalar en el dominio A previamente definido.

Lo cual expresado en coordenadas curvilíneas solamente seria:

CALCULO DE LA DIVERGENCIA EN LAS COORDENADAS (W1, W2, W3)

Tomemos un volumen elemental ¶W1¶W2¶W3 y calculemos la divergencia, como el balance por unidad de volumen, del flujo del campo a través de sus caras. Sea Q un vector definido en el dominio A previamente mencionado:

div Q =

Ahora expresémoslo en las coordenadas curvilíneas:

div Q =

EXPRESIÓN DE LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES:

CALCULO DEL ROTOR EN LAS COORDENADAS (W1, W2, W3)

Tomemos una superficie elemental ¶W1¶W2 y calculemos el rotor, como la circulación del campo en su contorno y por unidad de área. Sea Q un vector definido en el dominio A previamente mencionado:

rot Q = (Rq1;Rq2;Rq3)