Resumen: Fundamentos de la transferencia de masa. Generalidades del transporte de masa molecular. Determinación de coeficientes de difusión.
Publicación enviada por Nestor Mendoza Cabral
Indice
1.
Introducción
2. Fundamentos de la
transferencia de masa
3. Generalidades del
transporte de masa molecular
4. Determinación
de coeficientes de difusión
5. Conclusiones
6. Bibliografía
1. Introducción
Los fenómenos de transporte
tienen lugar en aquellos procesos, conocidos como procesos de transferencia, en
los que se establece el movimiento de una propiedad ( masa, momentum o energía)
en una o varias direcciones bajo la acción de una fuerza impulsora. Al
movimiento de una propiedad se le llama flujo
Los procesos de transferencia de masa son importantes ya que la mayoría de los
procesos químicos requieren de la purificación inicial de las materias primas
o de la separación final de productos y subproductos. Para esto en general, se
utilizan las operaciones de transferencia de masa.
Con frecuencia , el costo principal de un proceso deriva de las separaciones (
Transferencia de masa). Los costos por separación o purificación dependen
directamente de la relación entre la concentración inicial y final de las
sustancias separadas; sí esta relación es elevada, también serán los costos
de producción.6
En muchos casos, es necesario conocer la velocidad de transporte de masa a fin
de diseñar o analizar el equipo industrial para operaciones unitarias, en la
determinación de la eficiencia de etapa, que debe conocerse para determinar el
número de etapas reales que se necesita para una separación dada.6
Algunos de los ejemplos del papel que juega la transferencia de masa en los
procesos industriales son: la remoción de materiales contaminantes de las
corrientes de descarga de los gases y aguas contaminadas, la difusión de
neutrones dentro de los reactores nucleares, la difusión de sustancias al
interior de poros de carbón activado, la rapidez de las reacciones químicas
catalizadas y biológicas así como el acondicionamiento del aire, etc.3
En la industria farmacéutica también ocurren procesos de transferencia
de masa tal como la disolución de un fármaco, la transferencia de nutrientes y
medicamento a la sangre, etc.
La ley de Fick es el modelo matemático que describe la transferencia molecular
de masa, en sistemas o procesos donde puede ocurrir solo difusión o bien difusión
mas convección. En este trabajo, una idea central será el cálculo de los
coeficientes de transferencia de masa para diferentes sistemas( estados de
agregación de la materia ).
2. Fundamentos
de la transferencia de masa
Definición General de la
transferencia de masa
La transferencia de masa cambia la composición de soluciones y mezclas mediante
métodos que no implican necesariamente reacciones químicas y se caracteriza
por transferir una sustancia a través de otra u otras a escala molecular.
Cuando se ponen en contacto dos fases que tienen diferente composición, la
sustancia que se difunde abandona un lugar de una región de alta concentración
y pasa a un lugar de baja concentración.1,2,3
El proceso de transferencia molecular de masa, al igual que la
transferencia de calor y de momentum están caracterizados por el mismo tipo
general de ecuación
En esta ecuación la velocidad de transferencia de masa depende de una fuerza
impulsora (diferencia de concentración) sobre una resistencia, que indica la
dificultad de las moléculas para transferirse en el medio. Esta resistencia se
expresa como una constante de proporcionalidad entre la velocidad de
transferencia y la diferencia de concentraciones denominado: "Difusividad
de masa". Un valor elevado de este parámetro significa que las moléculas
se difunden fácilmente en el medio.
Clasificación general de la
transferencia de masa.
El mecanismo de transferencia de masa, depende de la dinámica del sistema en
que se lleva acabo.
Hay dos modos de transferencia de masa:
- molecular: La masa puede transferirse por medio
del movimiento molecular fortuito en los fluidos ( movimiento individual de
las moléculas ), debido a una diferencia de concentraciones. La difusión
molecular puede ocurrir en sistemas de fluidos estancados o en fluidos que
se están moviendo.
- convectiva: La masa puede transferirse debido al
movimiento global del fluido. Puede ocurrir que el movimiento se efectúe en
régimen laminar o turbulento. El flujo turbulento resulta del movimiento de
grandes grupos de moléculas y es influenciado por las características dinámicas
del flujo. Tales como densidad, viscosidad, etc.
Usualmente, ambos mecanismos actúan simultáneamente. Sin
embargo, uno puede ser cuantitativamente dominante y por lo tanto, para el análisis
de un problema en particular, es necesario considerar solo a dicho mecanismo. La
transferencia de masa en sólidos porosos, líquidos y gases sigue el mismo
principio, descrito por la ley de Fick.
3. Generalidades del transporte de masa molecular
Transferencia molecular de masa.
El transporte molecular ocurre en los 3 estados de agregación de la materia y
es el resultado de un gradiente de concentración, temperatura, presión, o de
aplicación a la mezcla de un potencial eléctrico.
A la transferencia macroscópica de masa, independiente de cualquier convección
que se lleve acabo dentro de un sistema, se define con el nombre de difusión
molecular ó ordinaria 2
El transporte molecular resulta de la transferencia de moléculas
individuales a través de un fluido por medio de los movimientos desordenados de
las moléculas debido a su energía interna. Podemos imaginar a las moléculas
desplazándose en líneas rectas con una velocidad uniforme y cambiando su
dirección al rebotar con otras moléculas después de chocar. Entonces su
velocidad cambia tanto en magnitud como en dirección. Las moléculas se
desplazan en trayectorias desordenadas, y recorren distancias extremadamente
cortas antes de chocar con otras y ser desviadas al azar. A la difusión
molecular a veces se le llama también proceso de camino desordenado.2
En la figura 1 se muestra esquemáticamente el proceso de difusión
molecular. Se ilustra la trayectoria desordenada que la molécula A puede seguir
al difundirse del punto (1) al (2) a través de las moléculas de B.
Diagrama esquemático del proceso de difusión molecular
El mecanismo real de transporte difiere en gran medida entre gases, líquidos y
sólidos, debido a las diferencias sustanciales en la estructura molecular de
estos 3 estados físicos.3
Gases: los gases contienen relativamente pocas moléculas por unidad de
volumen. Cada molécula tiene pocas vecinas o cercanas con las cuales pueda
interactuar y las fuerzas moleculares son relativamente débiles; las moléculas
de un gas tienen la libertad de moverse a distancias considerables antes de
tener colisiones con otras moléculas. El comportamiento ideal de los gases es
explicado por la teoría cinética de los gases.
Líquidos: los líquidos contienen una concentración de moléculas mayor por
unidad de volumen, de manera que cada molécula tiene varias vecinas con las
cuales puede interactuar y las fuerzas intermoleculares son mayores. Como
resultado, el movimiento molecular se restringe más en un líquido. La migración
de moléculas desde una región hacia otra ocurre pero a una velocidad menor que
en el caso de los gases. Las moléculas de un líquido vibran de un lado a otro,
sufriendo con frecuencia colisiones con las moléculas vecinas.
Sólidos: En los sólidos , las moléculas se encuentran más unidas que en los
líquidos; el movimiento molecular tiene mayores restricciones. En muchos sólidos,
las fuerzas intermoleculares son suficientemente grandes para mantener a las moléculas
en una distribución fija que se conoce como red cristalina.
Ecuación general del transporte molecular
La ecuación general de transporte molecular puede obtenerse a partir de un
modelo gaseoso simple (teoría cinética de los gases). La ecuación resultante
derivada de este modelo puede ser aplicada para describir los procesos de
transporte molecular de cantidad de movimiento, calor y de masa, en gases, líquidos
y sólidos1
Y neto =
I
(1)
Ecuación general del transporte molecular
Y = Densidad de flujo ( flujo por unidad de área kmol
/ s m2)
=
Velocidad promedio de las moléculas de un gas m/s .
I = Recorrido libre medio de las moléculas en m
dG / dz = incremento de la concentración en la dirección z
Según la ecuación (1), para que la densidad de flujo Y
sea positiva, el gradiente dG
/dz tiene que ser negativo.
Ley de Fick para la difusión molecular
Para el caso de la tranferencia de masa, la aplicación de la ecuación general
de transporte molecular es la ley de Fick para transporte molecular
exclusivamente. Por analogía ente ambas ecuaciones, el gradiente dG
/dz es el gradiente de concentraciones, el término
I
es
la difusividad de masa y el término Y
neto es el flujo de masa. La rapidez con la cual un componente se
transfiere de una fase a otra depende del coeficiente llamado transferencia de
masa.. El fenómeno de difusión molecular conduce finalmente a una concentración
completamente uniforme de sustancias a través de una solución que inicialmente
no era uniforme. La transferencia termina cuando se alcanza el equilibrio1
Los coeficientes de transferencia de masa tienen mucha
importancia, por que al regular la rapidez con la cual se alcanza el equilibrio,
controlan el tiempo que se necesita para la difusión.
Los coeficientes de rapidez para los diferentes componentes en una fase dada
difieren entre si en mayor grado bajo condiciones en donde prevalece la difusión
molécular. En condiciones de turbulencia, en que la difusión molecular carece
relativamente de importancia, los coeficientes de transferencia se vuelven mas
parecidos para todos los componentes. 1
Ecuación de rapidez de Fick para la difusión molecular
Considerando una mezcla binaria A y B, y si el número de moléculas de A en un
volúmen dado en una región , es mayor que en otra región vecina, entonces de
acuerdo con la ecuación (1) tendrá lugar la migración de moléculas de A a
través de B, desde la zona de mayor concentración hacia la de menor
concentración
Por lo tanto, la ecuación de la ley de Fick para una mezcla
de dos componentes A y B es:
=
- C DAB
donde c es la concentración de A y B en mol Kg de (A + B) /
m3
xA es la fracción mol de A en la mezcla de A y B
JAZ es el flujo de masa en molKg/(seg m2)
Sí c es constante, tenemos que cA = cxA
cdxA = d ( cxA ) = dcA
Entonces, para una concentración total constante
=
- C DAB
(2)
De acuerdo con la ecuación de transporte molecular(1) DAB
= 1/6 I
por
lo que sus unidades son m2 / seg
Por lo tanto, la difusividad, o coeficiente de difusión, DAB de un
componente A en una solución B, es una constante de proporcionalidad entre el
flujo de masa y el gradiente de concentración. El gradiente de concentración
puede considerarse por consiguiente como una fuerza impulsora. La magnitud numérica
de la difusividad indica la facilidad con que el componente A se transfiere en
la mezcla. Si la difusividad tiene un valor elevado, entonces hay mucha
facilidad para el transporte de masa.. El flujo del componente A se mide con
relación a la velocidad molar promedio de todos los componentes.
El signo negativo hace hincapié que la difusión ocurre en el sentido del
decremento en concentración, y el gradiente es negativo, pero el flujo de masa
debe ser positivo. La difusividad es una característica de un componente y su
entorno (temperatura, presión, concentración; ya sea en solución líquida,
gaseosa o sólida y la naturaleza de los otros componentes)
Ecuación general de Fick expresada para un sistema con flujo
Hasta ahora se ha considerado la ley de Fick para la difusión en un fluido
estacionario; es decir , no ha habido un movimiento neto ( o flujo convectivo )
de la totalidad de la mezcla A y B. El flujo específico de difusión JAZ
se debe en este caso al gradiente de concentración. La velocidad a la cual los
moles de A pasan por un punto fijo hacia la derecha, lo cual se tomará como
flujo positivo. Este flujo puede transformarse en una velocidad de difusión de
A hacia la derecha por medio de la expresión.3
JAZ = n AdcA (3)
Donde n Ad es la velocidad de difusión de A en m/seg
Considerando ahora lo que sucede cuando la totalidad del fluido se mueve con un
flujo general o convectivo hacia la derecha. La velocidad molar promedio de la
totalidad del fluido con respecto a un punto estacionario es n
M m/seg. El componente A sigue difundiéndose hacia la derecha, pero
ahora su velocidad de difusión n
Ad se mide con respecto al fluido en movimiento. Para un observador
estacionario, A se desplaza con mayor rapidez que la fase total, pues su
velocidad de difusión n
Ad se añade a la fase total n M.
Expresada matemáticamente, la velocidad de A con respecto al punto estacionario
es la suma de la velocidad de difusión y de la velocidad convectiva o promedio2.
n A = n
Ad + n
M (4)
Donden A es la velocidad de A con respecto al punto estacionario.
Expresándolo esquemáticamente:
n A
n Ad n
M
Multiplicando la ecuación (4) por cA
cAn A = cAn Ad + cAn
M (5)
Cada uno de estos 3 componentes es un flujo específico. El
primer término cAn
A puede
representarse con el flujo NA en mol kg A / seg. m2. Este
es el flujo total de A con respecto al punto estacionario. El segundo término
es JAZ ,esto es, el flujo específico de difusión con respecto al
fluido en movimiento. El tercer término es el flujo convectivo de A con
respecto al punto estacionario. Por consiguiente , la ecuación (5) se
transforma en:
NA = JAZ + cAn
M (6)
Sea N el flujo convectivo total de la corriente general con
respecto al punto estacionario. Entonces:
NA = cn M = NA + NB (7)
Despejando n M
n M =
NA + NB / c (8)
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (6)
NA = JAZ +
(
NA + NB ) (9)
Puesto que JAZ es la ley de Fick, por lo tanto la
ecuación (9) se transforma en la expresión general para difusión mas convección2.
NAZ = xA( NAZ + NBZ
) – DAB C
(10)
NAZ = densidad de flujo con respecto a ejes fijos
-DAB C
=
densidad de flujo que resulta de la difusión
xA ( NAZ + NBZ ) = densidad
de flujo que resulta del flujo global
La cual describe la difusión a través de una superficie
fija en el espacio; en esta ecuación, los efectos del flujo global y el de la
difusión molecular están representados por el primer y segundo término
respectivamente.
Desde el punto de vista matemático, esta ecuación posee una estructura
vectorial, y la dirección del flujo global por unidad de área, o sea, el
primer término coincide con la dirección del gradiente . El signo negativo del
segundo término solo indica una disminución de la concentración, dada por xA
en la dirección del gradiente.
4. Determinación de coeficientes de difusión
Una vez analizada la ley de Fick, se observa la necesidad de
disponer de valores numéricos del parámetro difusividad. En las siguientes
secciones se discutirán sus diversos métodos de cálculo.
Difusividad de gases
La difusividad, o coeficiente de difusión es una propiedad del sistema que
depende de la temperatura , presión y de la naturaleza de los componentes. Las
expresiones para calcular la difusividad cuando no se cuenta con datos
experimentales, están basadas en la teoría cinética de los gases.
Hirschfelder, Bird y Spotz, utilizando el potencial de Lennard Jones para
evaluar la influencia de las fuerzas intermoleculares, encontraron una ecuación
adecuada al coeficiente de difusión correspondiente a parejas gaseosas de moléculas
no polares, no reactivas a temperaturas y presiones moderadas. Conocida como la
ecuación de Chapman-Enskog1,2,5
DAB = difusividad de la masa A, que se difunde a
través de B en cm2/seg
T = temperatura absoluta en grados kelvin
MA, MB = son los pesos moleculares de A y B
P = Presión Absoluta en atmósferas
s AB =
Es el "diámetro de colisión" en Angstroms ( constante de la función
de Lennard-
Jones de energía potencial para el par de moléculas AB )
W D =
Es la integral de colisión correspondiente a la difusión molecular , que es
función
una función adimensional de la temperatura y el campo potencial intermolecular
correspondiente a una molécula A Y B
Puesto que se usa la función de Lennard-Jones de energía potencial , la ecuación
es estrictamente válida para gases no polares. La constante para el par de
molecular desigual AB puede estimarse a partir de los valores para los pares
iguales AA y BB
s AB = 1/2 ( s
A + s
B ) (12)
e AB = ( e
Ae
B )1/2
(13)
W D se calcula en función de KT/e
AB donde K es la constante de Boltzmann y e AB es la energía de interacción molecular correspondiente
al sistema binario AB
Hay tablas y apéndices que tabulan estos valores. En ausencia de datos
experimentales, los valores de los componentes puros se pueden calcular a partir
de las siguientes relaciones empíricas.
s = 1.18 Vb1/3
(14)
s = 0.841 VC1/3
(15)
s = 2.44
1/3 (16)
Donde:
Vb = volúmen molecular en el punto normal de ebullición, en cm3
/ g mol
Vc = volúmen molecular crítico, en cm3 / g mol
Tc = temperatura crítica en grados kelvin
Pc = presión crítica en atmósferas
Para presiones superiores a 10 atmósferas, esta ecuación ya
no es apropiada y es necesario usar las graficas obtenidas de la ley de estados
correspondientes.
A presiones elevadas, la difusividad DAB puede determinarse por medio
de la figura 2 En realidad , este gráfico ha sido construido con datos de
coeficientes de difusividad para el caso de la autodifusión, donde (PDAA)0
de la ordenada corresponde a valores para la temperatura de trabajo y presión
atmosférica. Esta relación fue obtenida por Slattery y propuesta por Bird
Fig. 2 Relación generalizada de la difusividad en función
de las temperaturas y presiones reducidas en procesos de autodifusión de gases
a altas presiones
En el libro de Bird se sugiere que, en ausencia de datos experimentales o
información de la literatura, la figura 2 puede emplearse para predecir DAB
utilizando propiedades seudocríticas, pero se advierte que el procedimiento
debe considerarse como provisional, ya que existen pocos datos experimentales
para comprobarlo.1
Difusividades en líquidos
La velocidad de difusión molecular en líquidos es mucho menor que en gases.
Las moléculas de un líquido están muy cercanas entre sí en comparación con
las de un gas; la densidad y la resistencia a la difusión de un líquido son
mucho mayores, por tanto, las moléculas de A que se difunde chocarán con las
moléculas de B con más frecuencia y se difundiran con mayor lentitud que en
los gases. Debido a esta proximidad de las moléculas las fuerzas de atracción
entre ellas tiene un efecto importante sobre la difusión. En general, el
coeficiente de difusión de un gas es de un orden de magnitud de unas 10 veces
mayor que un líquido.2
Ecuaciones para la difusión en líquidos
La teoría cinético-molecular de los líquidos está mucho menos desarrollada
que la de los gases. Por esta razón , la mayor parte de los conocimientos
referente a las propiedades de transporte se han obtenido experimentalmente. Se
han elaborado varias teorías y modelos , pero los resultados de las ecuaciones
obtenidas aún presentan desviaciones notables con respecto a los datos
experimentales.
En la difusión de líquidos, una de las diferencias mas notorias con la difusión
en gases es que las difusividades suelen ser bastante dependientes de la
concentración de los componentes que se difunden.2,6
Predicción de las difusividades en líquidos
Las ecuaciones para predecir difusividades de solutos diluidos en líquidos son
semiempìricas por necesidad, pues la teoría de la difusión en líquidos todavía
no esta completamente explicada. Una de las primeras teorías es la ecuación de
Stokes-Einstein que se obtuvo para una molécula esférica muy grande de ( A )
difundiéndose en un disolvente lìquido ( B ) de moléculas pequeñas.
Se uso esta ecuación para describir el retardo en la molécula mòvil del
soluto. Después se modificò al suponer que todas las moléculas son iguales,
que estàn distribuidas en un retículo cúbico y expresando el radio molecular
en términos de volumen molar.
9.96 x 10 – 12 T
DAB = (17)
V
m 1/3ª
donde:
DAB = es la difusividad en m2 / seg.
T = es la temperatura en ºK
= es la viscosidad de
m la solución en cp
VA = es el volumen molar del soluto a su punto de ebullición normal
en
cm3/mol g
La ecuación es bastante exacta para moléculas de solutos muy grandes y sin
hidratación, de peso molecular 1000 o más o para los casos en los que VA
está por encima de unos 500 cm3 / mol en solución acuosa.
Esta ecuación no es válida para solutos de volúmenes molares pequeños. Se
han intentado obtener otras deducciones teóricas, pero las fórmulas obtenidas
no predicen difusividades con precisión razonable. Debido a esto, se han
desarrollado diversas expresiones semiteóricas.
La correlación de Wilke-Chang puede usarse para la mayoría de los propósitos
generales cuando el soluto (A) está diluido con respecto al disolvente (B).
T
DAB = 7.4 x 10-12 ( j MB)1 / 2 (18)
m B VA0.6
DAB = coeficiente de difusión mutua del soluto A a muy baja
concentración
en el solvente B en m2/seg
j = Parámetro de
asociación del solvente B
MB = masa molecular de B
T = Temperatura en grados Kelvin
m B =
viscosidad dinámica de B en cp
VA = volumen molar del soluto en su punto normal de ebullición, m3/
mol kg
Volúmenes moleculares a la temperatura del punto normal de
ebullición de algunos compuestos comunes
Difusión molecular en sólidos
La difusión es el movimiento de los átomos en un material. Los átomos se
mueven de manera ordenada, tendiendo a eliminar las diferencias de concentración
y producir una composición homogénea del material.7
En cualquier estudio del movimiento molecular en el estado sólido, la
explicación de la transferencia de masa se divide automáticamente en 2 campos
mayores de interés:
- La
difusión de gases o líquidos en los poros del sólido
- La
autodifusión de los constituyentes de los sólidos por medio del
movimiento atómico.
La difusión en los poros se puede llevar a cabo por medio de
tres o más mecanismos:
- Difusión de Fick: si los poros son grandes y el
gas relativamente denso, la transferencia de masa se llevará a cabo por
medio de la difusión de Fick.
- Difusión Knudsen: Ocurre cuando el tamaño de
los poros es de el orden de la trayectoria media libre de la molécula en
difusión; es decir si el radio del poro es muy pequeño, las colisiones
ocurrirán principalmente entre las moléculas del gas y las paredes del
poro y no entre las propias moléculas. La difusividad Knudsen depende de la
velocidad molecular y del radio del poro7,8
Expresión para evaluar la difusividad knudsen en un poro
circular con un radio a
=
9.70
x 103 a
(19)
Donde
esta en cm2/seg, a esta en cm. y T en grados kelvin
- Difusión superficial: Esta tiene lugar cuando
las moléculas que se han absorbido son transportadas a lo largo de la
superficie como resultado de un gradiente bidimensional de concentración
superficial.
En la difusión superficial las moléculas una vez absorbidas
pueden transportarse por desorción en el espacio poroso o por migración a un
punto adyacente en la superficie8
Hay varios mecanismos de autodifusión por los cuales se difunden los átomos
( fig. 3 ) :
- Difusión por vacantes: que implica la sustitución
de átomos , un átomo deja su lugar en la red para ocupar una vacante
cercana (creando un nuevo sitio vacío en su posición original en la red).
Se presenta un reflujo de átomos y vacantes.
- Difusión intersticial: Un átomo se mueve de un
intersticio a otro. Este mecanismo no requiere de vacantes para llevarse
acabo. En ocasiones un átomo sustitucional deja su lugar en la red normal y
se traslada a un intersticio muy reducido.
- Difusión intersticial desajustada: Es poco común,
debido a que el átomo no se ajusta o acomoda fácilmente en el intersticio,
que es más pequeño.
- Intercambio simple: Puede darse el intercambio
simple entre átomos o por medio del mecanismo cíclico( desplazamiento
circular ). 7
Fig. 3 .- Movimiento de los átomos en los materiales
Difusividades binarias de los sólidos
5. Conclusiones
El estudio de la transferencia de masa es importante en la
mayoría de los procesos químicos que requieren de la purificación inicial de
materias primas y la separación de productos y subproductos, así como para
determinar los costos, el análisis y diseño del equipo industrial para los
procesos de separación
El transporte molecular de momentum, calor y masa es descrito por la ley general
del transporte molecular, deducida a partir de la teoría cinética de los gases
y están caracterizados por el mismo tipo general de ecuación
La velocidad de rapidez de Fick es el modelo matemático que describe el
transporte molecular de masa en procesos o sistemas donde ocurre la difusión
ordinaria, convectiva o ambas
La difusividad de masa es un parámetro que indica la facilidad con que un
compuesto se transporta en el interior de una mezcla, ya en gases, líquidos y sólidos
El transporte molecular de masa ocurre usualmente debido a un gradiente de
concentración, pero en algunas ocasiones es debido a un gradiente de
temperatura, presión o por la acción de una fuerza impulsora
El mecanismo real de transporte difiere en gran medida entre gases, líquidos y
sólidos debido a las diferencias sustanciales en la estructura molecular de los
3 estados físicos
Las moléculas gaseosas se difunden con mayor facilidad que las moléculas de líquido
debido a que las moléculas de gas tienen pocas moléculas vecinas con las que
pueda interactuar y las fuerzas son relativamente débiles; en los sólidos las
fuerzas intermoleculares son suficientemente grandes para mantener a las moléculas
en una distribución fija.
Por lo tanto los gases se difunden con mayor facilidad que los líquidos y los sólidos
Los mecanismos de difusión en sólidos se dividen en dos grandes campos: la
difusión de líquidos y gases en los poros de un sólido y la autodifusión de
los constituyentes de los sólidos por movimiento atómico
6. Bibliografía
Transferencia de cantidad de movimento calor y masa.
L. Garcell Puyans, Díaz García, G. Surís Conde
Capítulo 5 Editorial pueblo y educción Habana Cuba 1988
Procesos de transporte y operaciones unitarias.
Christie J. Geankoplis
Capítulo 5 Editorial continental Primera edición en español 1982
Fundamentos de transferencia de momento calor y masa.
James R. Welty, Charles E. Wicks, Robert E. Wilson
Capítulo 24 Editorial Limusa 1988
Mass Transfer
Thomas K. Sherwood, Robert E. Pigford, Charles R. Wilke
Chapter 2
McGraw-Hill chemical engineering series International student edition 1975
Analysis of Transport Phenomena
William M. Deen
Chapter 2 Oxford University Press 1998
Operaciones de transferencia de masa
Robert E. Treybal
Capítulo 2 Editorial McGrill-Hill Segunda edición 1991
La ciencia e ingeniería de los materiales
Donald R. Askeland
Capítulo 5 Grupo editorial Iberoamérica 1987
Ingeniería de la cinética química
Capítulo 11
Compañía editorial continental Décima segunda reimpresión 1999
Trabajo enviado por:
Nestor Mendoza Cabral
cabral2001@hotmail.com
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