Monografias | Oscilaciones armónicas amortiguadas

Indice
1. Resumen
2. Introducción y objetivos
3. Ecuaciones de movimiento
4. Obtención del error del instrumento de medición (sensor y P.C.)
5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones teóricas
6. Bibliografía

1. Resumen

El objetivo del practico es analizar el movimiento de un carro de masa (m) el cual oscila sujeto a un resorte de constante elástica (k) en un plano inclinado.En el estudio del fenómeno físico sé a llegado a la obtención de algunas constantes como:

Constante de elasticidad del resorte(K)
K=3,037(+ -)0,006N/m.
Frecuencia de oscilación(J )
J =0,3921Hz.
Coeficiente de roce dinámico(m )
m =0,05(+ -)0,01
También sé a aproximado una curva teórica X(t) a la obtenida experimentalmente.

2. Introducción y objetivos

Se debe analizar el movimiento oscilatorio de un carro el cual esta sujeto a un resorte en un plano inclinado(ver figura) y comprobar que el decaimiento de las amplitudes es de forma lineal si se desprecia la insignificante fuerza de roce viscosa que proporciona el aire.

Método:
Primeramente se elige un ángulo, luego se aleja el carro de su posición de equilibrio estableciendo una amplitud y se deja libre, al mismo tiempo que comienza a oscilar se activa el sensor el cual dispara ondas de sonido con una frecuencia de 20Hz, recogiendo los datos a estudiar y enviándolos a una P.C. en la cual podemos, por ejemplo, realizar gráficos de su posición respecto del tiempo y estudiar diversos datos.
También sé a tomado el periodo de oscilación con un cronometro para comparar las mediciones de la P.C. con el mismo.

Materiales:

• Cronometro, sensor Doppler de posición (PASCO) y P.C.
• Plano de aluminio, soportes y resortes.
• Comparador.

3. Ecuaciones de movimiento

Primeramente veremos que el peso no es una fuerza que amortigua la oscilación.

m.g.sen(q ) = -KD l
m.dx/dt.dt = -KD l’+ m.g.sen(q ) + Fr =
= -K(D l’+D l) + Fr ya que m.g.sen(q ) = -KD l
pero si tomamos la posición de equilibrio Xo’ como nuestro 0 la ecuación queda:
m.dx/dt.dt = -KD l’+ Fr

De aquí podemos concluir que:

1. Las ecuaciones de movimiento se pueden escribir en forma independiente del peso.
2. El peso no es una fuerza que amortigua el movimiento.
3. El peso desplaza la posición de equilibrio Xo.

Ecuaciones
Amortiguadas:
Ecuación de posición
X(t) = A(t). Cos(w .t) donde A(t) es la función del decaimiento de las amplitudes respecto de t.

Frecuencia angular
1/2
w = (K / m) donde (K) es la constante elástica del resorte y (m) la masa

Amplitud
A’ = A-2.Fr/K esta ecuación es lo que decae la amplitud con respecto a la del ciclo anterior, donde (Fr) es la fuerza de roce del sistema.

Periodo(T)
T = 2.p /w

Frecuencia de oscilación(J )
J = 1/T
Sin fuerza de roce
X(t) = A. Sen(w .t + j ) donde (A) es contante.
Amplitud(A)
A= cte.
Condición inicial(j )
j = arcsen(Xo/A)

Frecuencia angular(w )
1/2
w = (K/m)

Por lo visto podemos concluir que los parámetros que definen al sistema son:
K, m, Fr, desde luego, despreciando la fuerza de roce del aire.
Mediciones del periodo de oscilación del sistema (con cronometro)
La mínima apreciación del cronometro es 0,036s
Medición n° 1
Tiempo de 6 oscilaciones = 15,264s Þ que T = 2,54s(+ -)0,04s
Medición n° 2
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Medición n° 3
Tiempo de 6 oscilaciones =15,336s Þ que T = 2,56s(+ -)0,04s
Medición n° 4
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Promedio = (2,54s + 2,57s + 2,56s + 2,57s) / 4 = 2,56s(+ -)0,04s

Mediciones hechas con sensor y P.C. (gráficos de la posición respecto de t para 3 ángulos diferentes)

4. Obtención del error del instrumento de medición (sensor y P.C.)

Adaptamos un comparador al plano de aluminio con un soporte, luego se procedió a mover el carro de a medio milímetro, los cuales mediamos con el comparador, al mismo tiempo que la P.C. procesaba los datos del sensor.
Finalmente maximisamos la gráfica y observamos que la misma tenia un ruido generado por causas externas en el orden de 0,4mm.

Conclusiones:
El error del instrumento (D d = 0,4mm).

5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones teóricas

Aproximación de A(t)
Forma exponencial:
Se pude suponer que la oscilación es en un medio viscoso(aire) esto implicaría que los decaimientos de las amplitudes respecto del tiempo es de forma exponencial (A(t) = Ao.e^-a t).

Gráfico de A(t) con aproximación exponencial
Parámetros Valor Error
a -0.0092 (+ -)2.1369E-4

Forma lineal:
También podemos suponer que el roce con el medio viscoso(aire) es despreciable, de este modo los decaimientos de amplitudes serian de forma lineal(A = D-b t). Esta será la aproximación que usaremos para la determinación de algunas constantes por la simplificación que esto provoca a nuestros problemas, y ya que entre la aproximación lineal y la exponencial existe una mínima diferencia a causa de que la constante de roce viscoso a es muy pequeña.

Gráfico de A(t) con aproximación lineal.

Ecuación:
A = D + b t
Parámetros Valor Error
D 0.56379 (+ -)0.00535
b -0.00981 (+ -)4.22202E-4
Nota: Las aproximaciones por mínimos cuadrados se realizaron con Origin 5.0
Por lo visto usaremos la ecuación de movimiento X(t) producto de la forma lineal A(t) con Cos(w t).
X(t)=A(t)Cos(w t)+D l donde, D l=m.g.sen(q )/-K, es el desplazamiento de Xo que produce el peso del carro. Pero para mayor comodidad tomaremos Xo=0, entonces la ecuación queda: X(t)=A(t)Cos(w t).
\ X(t)=(Ao-b t)Cos(w t) donde Ao = D - Xo = 0,203m

Gráfico de la ecuación teórica X(t)
Decaimiento lineal:
X(t)= -(0.203-0.008.t)Cos(2.464.t)

Nota N°1: A la función se la multiplico por –1 solo para una mejor comparación con las experimentales.
Nota N°2: los gráficos fueron realizados con Maple V.

Determinación de algunas constantes
Coeficiente elástico del resorte(K):
K= w ^2.m siendo w =2,46399423 y m=500g (+-)1g
K=6,0712676/S2(500g(+-)1g)
K=3035,6338 g/S² (+-) 6,07120g/S²
K=3,037Kg/S² (+-) 0,006Kg/S²

Frecuencia de oscilación(J ):
J = w /2p = 2,46399423/2p = 0,39Hz

Coeficiente de roce dinámico(m d):
Si se parte de la ecuación A’=Ao-2Fr/K donde Fr = m d.mgCos(q ) y A’ es la máxima amplitud subsiguiente a Ao, podemos llegar a:
m d=A.K/2mgCos(q ) donde A=Ao-A’
D d =0.0004m este es el error o ruido de la P.C. al mostrar la posición determinado anteriormente.
D A = D d + D d =0,0008m
D K = 0,006N/m
D m = 0,001Kg
D q = 1°
D g = 0,05 (determinado en el practico de caída libre)
g = 9.82 (determinado en el practico de caída libre)
\ m d = [0,177m.3.037N/m]/2.0.5Kg.9.82m/s2.Cos(12°)=0,0535

Determinación del error D m d:
m =m (A,k,m,q )
\ D m =[(¶ m /¶ A)D A+(¶ m /¶ K)D K+(¶ m /¶ m)D m+(¶ m /¶ q )D q +(¶ m /¶ g)D g]
\ D m =(0,0002+0,0001+0,0002+0,01+0.0001)=0,01
\ m =0,05(+ -)0,01
 

6. Bibliografía

Apuntes tomados en la cátedra de física 1.
Resnick.
Sears Mecánica.
Apuntes de estadística y error.  

Trabajo enviado por:
Juan José Noldin
noldinjj@hotmail.com

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