Monografias | Teorema de Steiner

Indice
1. Péndulo Físico
2. Centro de Oscilación
3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

1. Péndulo Físico

Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no tiene toda la masa concentrada en un punto.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un eje de rotación en P y se separa un ángulo j de su posición de equilibrio.
En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo j de la posición de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese punto.
La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de rotación
es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento angular j es:

M = -m g d sen j

Y se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen j y no a j , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen j º j es, como anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que pequeñas amplitudes,

M = -m g d j

O sea M = -Kj

Siendo K = m g d

Pero M

De manera que

Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.

2. Centro de Oscilación

Es siempre posible encontrar un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.

;

o bien,

Así en lo que concierne al periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se denomina centro de oscilación del péndulo.
La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C, su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.
El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le denomina centro de percusión.

3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

Se sabe que un cuerpo rígido, está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la suma.

I = m₁R²₁ + m₂R₂² + m₃R²₃ + ......... = å _im_iR²_i

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo") 

Debe reemplazarse por un integral I = å _im_iR²_i = ò R²dm, o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv

I = ò PR²dv ............. (1)

Si el cuerpo es homogéneo, su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ò PR²dv. La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño. Notamos que en la figura R2 = X² + Y², el momento de inercia con respecto a Z.

I_Z = ò P)x2 + y2=dv ................... (2)

Si el cuerpo es una placa delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto al eje x e y puede escribirse como:

lx = ò Py²dv e Iy = ò Px²dv

Ya que la coordenada Z es esencialmente cero.

La comparación con la ecuación (2) muestra este caso:

Iz = Ix = Iy

Resultado que es válido solamente para placas delgadas.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados una fórmula muy simple.
Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo.
Si "a" es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada TEOREMA DE STEINER, tiene lugar:
I = Ic + Ma² ............. (3)

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

Donde I e Ic son los momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el plano determinado por Z y con Yc. El punto P es un punto arbitrario del cuerpo M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a, tenemos:

R²C = X² + Y²

R² = X² + (Y + a)²

= X² + Y² + 2Ya + a²

= R²c + 2Ya + a²

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

I = å mR² = å m(R²c + Zya + a²)

= å mR²c + 2a (å my) + a^2å m

El primer término es justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.

I = Ic + 2ªå my + Ma² …………… (4)

Para evaluar el término central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm = å my/å m.
Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema XcYcZc.
Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.

Cálculos Y Resultados
Llene la tabla 1 con las siguientes características

A partir de la ecuación (1), con I_l dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el período es mínimo.

La ecuación (1) es

T = 2P

Y la ecuación (2) es

I_l = I_G + Ml²

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

T = 2P = 2P

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,

Þ

Þ

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1

Entonces al reemplazar obtendremos que :

¿ Cúal es el período para esta distancia?
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio (I) , el valor I_l y llene la siguiente tabla;

Haga el grafico I_l vs l ² y ajustar dicha grafica
Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine I_G y M .
Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación de la gráfica es
Y = 2,0241X + 0,166
Comparando esta ecuación con la ecuación 2 I_l = Ml² + I_G
Notamos que el valor de I_G = 0,166 y el valor de M es 2,0241.
Compare el valor de I_G obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud l y ancho b,

¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa?
Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de I_G.
I_G =0.166
Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio

para M= 1.886 Kg L= 1.1 m b=0.037
reemplazando tenemos:
I_G =0.19038
Calculando el error de medicion:
%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%
0.19038
La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241
La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886
Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :
%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227
2.0241

Halle la longitud del péndulo simple equivalente.

Como Sabemos el período del péndulo simple es

Pero para el péndulo físico el período es

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Donde M es la masa de la barra y es 1,886kg

Reemplazando I_l con los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:

Para el primer agujero I_l = 0,6655 Þ l = 0,5940
Para el segundo agujero I_l = 0,5729 Þ l = 0,5511
Para el tercer agujero I_l = 0,4915 Þ l = 0,5104
Para el cuarto agujero I_l = 0,.4174 Þ l = 0,4704
Para el quinto agujero I_l = 0,3520 Þ l = 0,4320
Para el sexto agujero I_l = 0,3068 Þ l = 0,4033
Para el séptimo agujero I_l = 0,2593 Þ l = 0,3707
Para el octavo agujero I_l = 0,2141 Þ l = 0,3369
Para el noveno agujero I_l = 0,1930 Þ l = 0,3198
Para el décimo agujero I_l = 0,1656 Þ l = 0,2963
Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

relación (1) nos indica que T = 2P

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución t = - (mg)(dsenq )
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es pequeño podemos aproximar senq por q en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S
t = -(mgd)q

La Ecuación del movimiento es å t = I.a

-(mgd)q = I.a =

Þ

De la ecuación del M.A.S

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de en el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad así que la frecuencia angular está dada por:

W = ( Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f = l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: I_l = I_G + Ml²

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el otro por un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy. Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de masa es d, donde d² = a² + b². Podemos escribir una expresión para el momento de inercia I_p alrededor del eje que pasa por P. Sea m_i un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas (x_i, y_i, z_i). El momento de Inercia I_CM de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es

I_CM =

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa por P es

En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas z_i, medidas perpendicularmente a las rodajas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y reagrupando,

La primera sumatoria es I_{CM .}Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son proporcionales a x_cm, y_cm que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El término final es d² multiplicada por la masa total o sea, Md^2.
Entonces queda demostrado que I_{p =} I_cm + Md²

Trabajo enviado por:
arturo lizana
arturoelbarrunto2000@hotmail.com

Indice
1. Péndulo Físico
2. Centro de Oscilación
3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

1. Péndulo Físico

Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no tiene toda la masa concentrada en un punto.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un eje de rotación en P y se separa un ángulo j de su posición de equilibrio.
En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo j de la posición de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese punto.
La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de rotación
es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento angular j es:

M = -m g d sen j

Y se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen j y no a j , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen j º j es, como anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que pequeñas amplitudes,

M = -m g d j

O sea M = -Kj

Siendo K = m g d

Pero M

De manera que

Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.

2. Centro de Oscilación

Es siempre posible encontrar un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.

;

o bien,

Así en lo que concierne al periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se denomina centro de oscilación del péndulo.
La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C, su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.
El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le denomina centro de percusión.

3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

Se sabe que un cuerpo rígido, está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la suma.

I = m₁R²₁ + m₂R₂² + m₃R²₃ + ......... = å _im_iR²_i

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo") 

Debe reemplazarse por un integral I = å _im_iR²_i = ò R²dm, o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv

I = ò PR²dv ............. (1)

Si el cuerpo es homogéneo, su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ò PR²dv. La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño. Notamos que en la figura R2 = X² + Y², el momento de inercia con respecto a Z.

I_Z = ò P)x2 + y2=dv ................... (2)

Si el cuerpo es una placa delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto al eje x e y puede escribirse como:

lx = ò Py²dv e Iy = ò Px²dv

Ya que la coordenada Z es esencialmente cero.

La comparación con la ecuación (2) muestra este caso:

Iz = Ix = Iy

Resultado que es válido solamente para placas delgadas.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados una fórmula muy simple.
Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo.
Si "a" es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada TEOREMA DE STEINER, tiene lugar:
I = Ic + Ma² ............. (3)

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

Donde I e Ic son los momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el plano determinado por Z y con Yc. El punto P es un punto arbitrario del cuerpo M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a, tenemos:

R²C = X² + Y²

R² = X² + (Y + a)²

= X² + Y² + 2Ya + a²

= R²c + 2Ya + a²

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

I = å mR² = å m(R²c + Zya + a²)

= å mR²c + 2a (å my) + a^2å m

El primer término es justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.

I = Ic + 2ªå my + Ma² …………… (4)

Para evaluar el término central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm = å my/å m.
Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema XcYcZc.
Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.

Cálculos Y Resultados
Llene la tabla 1 con las siguientes características

A partir de la ecuación (1), con I_l dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el período es mínimo.

La ecuación (1) es

T = 2P

Y la ecuación (2) es

I_l = I_G + Ml²

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

T = 2P = 2P

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,

Þ

Þ

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1

Entonces al reemplazar obtendremos que :

¿ Cúal es el período para esta distancia?
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio (I) , el valor I_l y llene la siguiente tabla;

Haga el grafico I_l vs l ² y ajustar dicha grafica
Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine I_G y M .
Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación de la gráfica es
Y = 2,0241X + 0,166
Comparando esta ecuación con la ecuación 2 I_l = Ml² + I_G
Notamos que el valor de I_G = 0,166 y el valor de M es 2,0241.
Compare el valor de I_G obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud l y ancho b,

¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa?
Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de I_G.
I_G =0.166
Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio

para M= 1.886 Kg L= 1.1 m b=0.037
reemplazando tenemos:
I_G =0.19038
Calculando el error de medicion:
%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%
0.19038
La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241
La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886
Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :
%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227
2.0241

Halle la longitud del péndulo simple equivalente.

Como Sabemos el período del péndulo simple es

Pero para el péndulo físico el período es

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Donde M es la masa de la barra y es 1,886kg

Reemplazando I_l con los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:

Para el primer agujero I_l = 0,6655 Þ l = 0,5940
Para el segundo agujero I_l = 0,5729 Þ l = 0,5511
Para el tercer agujero I_l = 0,4915 Þ l = 0,5104
Para el cuarto agujero I_l = 0,.4174 Þ l = 0,4704
Para el quinto agujero I_l = 0,3520 Þ l = 0,4320
Para el sexto agujero I_l = 0,3068 Þ l = 0,4033
Para el séptimo agujero I_l = 0,2593 Þ l = 0,3707
Para el octavo agujero I_l = 0,2141 Þ l = 0,3369
Para el noveno agujero I_l = 0,1930 Þ l = 0,3198
Para el décimo agujero I_l = 0,1656 Þ l = 0,2963
Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

relación (1) nos indica que T = 2P

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución t = - (mg)(dsenq )
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es pequeño podemos aproximar senq por q en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S
t = -(mgd)q

La Ecuación del movimiento es å t = I.a

-(mgd)q = I.a =

Þ

De la ecuación del M.A.S

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de en el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad así que la frecuencia angular está dada por:

W = ( Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f = l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: I_l = I_G + Ml²

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el otro por un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy. Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de masa es d, donde d² = a² + b². Podemos escribir una expresión para el momento de inercia I_p alrededor del eje que pasa por P. Sea m_i un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas (x_i, y_i, z_i). El momento de Inercia I_CM de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es

I_CM =

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa por P es

En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas z_i, medidas perpendicularmente a las rodajas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y reagrupando,

La primera sumatoria es I_{CM .}Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son proporcionales a x_cm, y_cm que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El término final es d² multiplicada por la masa total o sea, Md^2.
Entonces queda demostrado que I_{p =} I_cm + Md²

Trabajo enviado por:
arturo lizana
arturoelbarrunto2000@hotmail.com

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