Resumen: Se determino la curva de calibración (Fuerza vs Angulo de torsión del alambre de la balanza de torsión Du Nuoy) usando pesas de masa conocida. Primeramente se midió el cero de la balanza, luego se agregaron pesas en el extremo de la barbilla, se la volvió a llevar a cero para así lograr la comparación de las fuerzas en relación con los correspondientes ángulos girados. Este proceso se repitió varias veces para lograr así una escala de calibración con varios puntos.
Publicación enviada por Juan José Noldin
Indice
1.
Resumen
2. Introducción y
objetivos
3. Ecuaciones de
movimiento
4. Obtención del
error del instrumento de medición (sensor y P.C.)
5. Gráficas y
aproximaciones las ecuaciones teóricas
6. Bibliografía
1. Resumen
El objetivo del practico es
analizar el movimiento de un carro de masa (m) el cual oscila sujeto a un
resorte de constante elástica (k) en un plano inclinado.En el estudio del fenómeno
físico sé a llegado a la obtención de algunas constantes como:
Constante de elasticidad del
resorte(K)
K=3,037(+ -)0,006N/m.
Frecuencia de oscilación(J )
J =0,3921Hz.
Coeficiente de roce dinámico(m )
m =0,05(+ -)0,01
También sé a aproximado una curva teórica X(t) a la obtenida
experimentalmente.
2. Introducción
y objetivos
Se debe analizar el
movimiento oscilatorio de un carro el cual esta sujeto a un resorte en un plano
inclinado(ver figura) y comprobar que el decaimiento de las amplitudes es de
forma lineal si se desprecia la insignificante fuerza de roce viscosa que
proporciona el aire.
Método:
Primeramente se elige un ángulo, luego se aleja el carro de su posición de
equilibrio estableciendo una amplitud y se deja libre, al mismo tiempo que
comienza a oscilar se activa el sensor el cual dispara ondas de sonido con una
frecuencia de 20Hz, recogiendo los datos a estudiar y enviándolos a una P.C. en
la cual podemos, por ejemplo, realizar gráficos de su posición respecto del
tiempo y estudiar diversos datos.
También sé a tomado el periodo de oscilación con un cronometro para comparar
las mediciones de la P.C. con el mismo.
Materiales:
- Cronometro,
sensor Doppler de posición (PASCO) y P.C.
- Plano
de aluminio, soportes y resortes.
- Comparador.
3. Ecuaciones de movimiento
Primeramente veremos que el peso no es una fuerza que
amortigua la oscilación.
m.g.sen(q ) = -KD l
m.dx/dt.dt = -KD l’+ m.g.sen(q ) + Fr =
= -K(D l’+D
l) + Fr ya que m.g.sen(q
) = -KD
l
pero si tomamos la posición de equilibrio Xo’ como nuestro 0 la ecuación
queda:
m.dx/dt.dt = -KD l’+ Fr
De aquí podemos concluir que:
- Las
ecuaciones de movimiento se pueden escribir en forma independiente del
peso.
- El
peso no es una fuerza que amortigua el movimiento.
- El
peso desplaza la posición de equilibrio Xo.
Ecuaciones
Amortiguadas:
Ecuación de posición
X(t) = A(t). Cos(w .t) donde A(t) es la función del decaimiento de las amplitudes respecto
de t.
Frecuencia angular
1/2
w = (K / m) donde
(K) es la constante elástica del resorte y (m) la masa
Amplitud
A’ = A-2.Fr/K esta ecuación es lo que decae la amplitud con respecto a la del
ciclo anterior, donde (Fr) es la fuerza de roce del sistema.
Periodo(T)
T = 2.p /w
Frecuencia de oscilación(J )
J = 1/T
Sin fuerza de roce
X(t) = A. Sen(w .t + j ) donde (A) es contante.
Amplitud(A)
A= cte.
Condición inicial(j )
j = arcsen(Xo/A)
Frecuencia angular(w )
1/2
w = (K/m)
Por lo visto podemos concluir que los parámetros que definen
al sistema son:
K, m, Fr, desde luego, despreciando la fuerza de roce del aire.
Mediciones del periodo de oscilación del sistema (con cronometro)
La mínima apreciación del cronometro es 0,036s
Medición n° 1
Tiempo de 6 oscilaciones = 15,264s Þ que T = 2,54s(+ -)0,04s
Medición n° 2
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Medición n° 3
Tiempo de 6 oscilaciones =15,336s Þ que T = 2,56s(+ -)0,04s
Medición n° 4
Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s
Promedio = (2,54s + 2,57s + 2,56s + 2,57s) / 4 = 2,56s(+ -)0,04s
Mediciones hechas con sensor y P.C. (gráficos de la posición
respecto de t para 3 ángulos diferentes)
4. Obtención del error del instrumento de medición
(sensor y P.C.)
Adaptamos un comparador al plano de aluminio con un soporte,
luego se procedió a mover el carro de a medio milímetro, los cuales mediamos
con el comparador, al mismo tiempo que la P.C. procesaba los datos del sensor.
Finalmente maximisamos la gráfica y observamos que la misma tenia un ruido
generado por causas externas en el orden de 0,4mm.
Conclusiones:
El error del instrumento (D d = 0,4mm).
5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones teóricas
Aproximación de A(t)
Forma exponencial:
Se pude suponer que la oscilación es en un medio viscoso(aire) esto implicaría
que los decaimientos de las amplitudes respecto del tiempo es de forma
exponencial (A(t) = Ao.e^-a t).
Gráfico de A(t) con aproximación exponencial
Parámetros Valor Error
a -0.0092 (+
-)2.1369E-4
Forma lineal:
También podemos suponer que el roce con el medio viscoso(aire) es despreciable,
de este modo los decaimientos de amplitudes serian de forma lineal(A = D-b
t). Esta será la aproximación que usaremos para la determinación de algunas
constantes por la simplificación que esto provoca a nuestros problemas, y ya
que entre la aproximación lineal y la exponencial existe una mínima diferencia
a causa de que la constante de roce viscoso a es muy pequeña.
Gráfico de A(t) con aproximación lineal.
Ecuación:
A = D + b t
Parámetros Valor Error
D 0.56379 (+ -)0.00535
b -0.00981 (+
-)4.22202E-4
Nota: Las aproximaciones por mínimos cuadrados se realizaron con Origin 5.0
Por lo visto usaremos la ecuación de movimiento X(t) producto de la forma
lineal A(t) con Cos(w t).
X(t)=A(t)Cos(w t)+D l donde, D
l=m.g.sen(q
)/-K, es el desplazamiento de Xo que produce el peso del carro. Pero para mayor
comodidad tomaremos Xo=0, entonces la ecuación queda: X(t)=A(t)Cos(w t).
\ X(t)=(Ao-b
t)Cos(w
t) donde Ao = D - Xo = 0,203m
Gráfico de la ecuación teórica X(t)
Decaimiento lineal:
X(t)= -(0.203-0.008.t)Cos(2.464.t)
Nota N°1: A la función se la multiplico por –1 solo para
una mejor comparación con las experimentales.
Nota N°2: los gráficos fueron realizados con Maple V.
Determinación de algunas constantes
Coeficiente elástico del resorte(K):
K= w ^2.m siendo w
=2,46399423 y m=500g (+-)1g
K=6,0712676/S2(500g(+-)1g)
K=3035,6338 g/S² (+-) 6,07120g/S²
K=3,037Kg/S² (+-) 0,006Kg/S²
Frecuencia de oscilación(J ):
J = w
/2p
= 2,46399423/2p
= 0,39Hz
Coeficiente de roce dinámico(m
d):
Si se parte de la ecuación A’=Ao-2Fr/K donde Fr = m
d.mgCos(q
) y A’ es la máxima amplitud subsiguiente a Ao, podemos llegar a:
m d=A.K/2mgCos(q
) donde A=Ao-A’
D d =0.0004m este
es el error o ruido de la P.C. al mostrar la posición determinado
anteriormente.
D A = D
d + D
d =0,0008m
D K = 0,006N/m
D m = 0,001Kg
D q
= 1°
D g = 0,05
(determinado en el practico de caída libre)
g = 9.82 (determinado en el practico de caída libre)
\ m
d = [0,177m.3.037N/m]/2.0.5Kg.9.82m/s2.Cos(12°)=0,0535
Determinación del error D m d:
m =m
(A,k,m,q
)
\ D
m =[(¶
m /¶
A)D
A+(¶ m
/¶ K)D
K+(¶ m
/¶ m)D
m+(¶ m
/¶ q
)D
q +(¶
m /¶
g)D
g]
\ D
m =(0,0002+0,0001+0,0002+0,01+0.0001)=0,01
\ m
=0,05(+ -)0,01
6. Bibliografía
Apuntes tomados en la cátedra de física 1.
Resnick.
Sears Mecánica.
Apuntes de estadística
y error.
Trabajo enviado por:
Juan José Noldin
noldinjj@hotmail.com
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