Resumen: En el trabajo se plantean y resuelven dos problemas: el primero consiste en expresar el siglo al que pertenece un año de una forma distinta a la usual. El segundo se trata de dado un ángulo en minutos, encontrar todas las horas en que las manecillas del reloj forman esa amplitud. Sea A un año perteneciente al siglo k. Hállese k en función de A. Hallar todas las posiciones en que las manecillas de un reloj que funciona correctamente, forman un ángulo α, dado en minutos (El minuto de que estamos hablando equivale a 6º, una de las 60 partes en que se divide la esfera del reloj.
Publicación enviada por Irvin Pérez Morales
Indice
1.
Problema 1.
2.
Problema 2.
3.
Bibliografía
1. Problema 1.
Sea A un año perteneciente
al siglo k. Hállese k en función de A.
Solución:
Suponiendo condiciones ideales, el primer siglo de nuestra era transcurrió
desde el año 1 hasta el año 100, el segundo, desde el 101 hasta el 200 y así
sucesivamente. Por tanto,
el siglo k va desde el año 100k-99 hasta el año 100k. Por la afirmación
anterior tenemos las relaciones siguientes:
100k-99 <= A <= 100k
100k-100 <= A-1 <= 100k-1
k-1 <= (A-1)/100 <= k-1/100
[k-1] <= [(A-1)/100] <= [k-1/100] (por ser creciente la función parte
entera)
k-1 <= [(A-1)/100] <= k-1, lo cual implica que
k-1 = [(A-1)/100]
k = [(A-1)/100] + 1
2. Problema 2.
Hallar todas las
posiciones en que las manecillas de un reloj que funciona correctamente, forman
un ángulo α, dado en minutos (El minuto de que estamos hablando equivale a
6º, una de las 60 partes en que se divide la esfera del reloj. En este artículo
usaremos la palabra minuto referida a amplitud o a tiempo según la situación
lo requiera.), medido del horario al minutero en el sentido del movimiento de
las manecillas, tal que 0<= α < 60.
Solución:
Todos los recorridos de las manecillas serán dados en minutos de 6º.
Llamaremos hr al horario y mt al minutero.
Lema 1
En un mismo intervalo de tiempo, mientras el hr recorre una amplitud x, el mt
recorre una amplitud 12x.
Demostración:
Sabemos que las manecillas se mueven a velocidades uniformes iguales a 5min/h y
60min/h correspondientes al hr y al mt respectivamente, por lo cual podemos
plantear:
,
donde
y
son
las amplitudes recorridas por el hr y el mt en el tiempo t y
y
son
sus respectivas velocidades. Por tanto,
.
Lema 2
Las manecillas coinciden exactamente una vez entre las horas k y (k mod 12)+1,
donde
Demostración:
Sea I el arco que va desde la hora k hasta la hora (k mod 12)+1. Mientras el hr
se mueve en I, el mt da una vuelta completa, por lo que se tienen que encontrar
en algún punto de I. Demostremos ahora que este punto es único.
Sea p1 el primer punto donde
las manecillas se encuentran en I. Supongamos que existe otro punto del mismo
intervalo, al cual denotamos por p2, tal que las manecillas vuelven a coincidir
en él. Después de coincidir en p1, el mt debe dar una vuelta completa para
llegar a p1, pero como mientras lo hacía el hr también se estaba moviendo, no
podrán coincidir otra vez en p1, sino un poco más adelante, por lo que desde
que se encuentran en p1 hasta que se encuentran en p2 el mt recorre una amplitud
de 12x minutos, donde 12x > 60.
Por el Lema 1, en este mismo tiempo, el hr recorrió x min, donde x > 5 por
la última desigualdad, lo cual es absurdo porque I tiene una amplitud de 5 min.
Lema 3
En la primera mitad del día, incluyendo las 12:00PM y excluyendo las 12:00M,
las manecillas coinciden exactamente 11 veces.
Demostración:
Por el Lema 2, a cada intervalo que va desde la hora k hasta la (k mod 12)+1,
,
le corresponde un punto de coincidencia. Como la única hora en punto en que
coinciden es a las 12, solamente hay un punto de coincidencia perteneciente a
dos intervalos I.
Luego, la cantidad de intervalos I disminuída en 1 es la cantidad de puntos en
que el hr y el mt coinciden.
Por lo tanto, hay 11 puntos de coincidencia.
Corolario 3.1
Las manecillas forman un ángulo α en exactamente 11 posiciones distintas,
teniιndose que α cumple las condiciones especificadas en las
condiciones del problema.
Demostración:
Cada vez que las manecillas coinciden, el mt se sigue moviendo hasta formar el
ángulo α con el hr. Después de coincidir, el ángulo entre ellas va
aumentando, acercándose a 60, hasta que coinciden otra vez. De acuerdo con
esto, existe una correspondencia biunívoca entre las veces que las manecillas
coinciden y las veces que forman un ángulo α, por lo que por el Corolario
2.1 podemos afirmar que las manecillas forman un ángulo α en exactamente
11 posiciones.
Lema 4
Sean a
R,
b
R*.
Entonces a mod b = a – b[a/b].
Demostración:
Efectuando la división con resto de a por b nos queda:
a = bq + r
a/b = q + r/b [a/b] = q
r
= a mod b = a – b[a/b].
Estrictamente hablando, la
información que brinda el mt es redundante. Recordemos que en los relojes
despertadores una manecilla basta para establecer la hora a la que sonará la
alarma.
La hora está unívocamente determinada por la distancia x que ha recorrido el
hr a partir del minuto cero (o a las 12 horas). Por el Lema 1 el mt habrá
recorrido 12x min y su posición será el minuto 12x mod 60 (se obtiene restándole
a lo que ha recorrido el número de vueltas completas que ha realizado0). Por
ejemplo, cuando el hr haya llegado al minuto 17,5, el mt habrá recorrido 210
min (3 vueltas y media) y su posición estará en el minuto 30. Una posición
inadmisible de las manecillas sería si por ejemplo, el hr estuviera en un
minuto múltiplo de 5 y el mt en un minuto distinto del cero.
Tratemos de dar la hora en la forma exp1(x):exp(x), donde exp1 y exp2 indican la
hora y los minutos respectivamente en función de x, siendo esta última la
distancia recorrida por el hr a partir del número 12.
Veamos cómo deducir exp1:
Para 0 <= x < 5, la hora es 12
" 5 <= x < 10, " " " 1
" 55 <= x < 60
" " " 11.
Luego, para obtener la hora
en función de x casi basta poner [x/5], solo que para 0 <= x < 5 se tiene
que [x/5]=0 y lo que necesitamos es un 12, lo cual se logra escribiendo
finalmente exp1(x) = 12(1 - sg[x/5]) - [x/5].
Por el Lema1, la amplitud
recorrida por el minutero es 12x y la posición de este será 12x mod 60, por lo
cual exp2(x) = 12x mod 60
= 12x – 60[12x/60] (por el
Lema 4)
= 60(x/5 – [x/5])
Por el momento, la hora nos
viene quedando de la forma
12(1 - sg[x/5]) - [x/5] : 60(x/5 – [x/5]) (I).
Notemos que el símbolo ":" aquí es solo un separador.
Ya estamos en condiciones de expresar x en función del ángulo α que
forman las manecillas.
Para formar el ángulo α con el hr, el mt debe recorrer lo que recorrió el
hr (es decir, x) más un número entero de vueltas (60t) más α. Esta
amplitud, como ya dijimos, es también igual a 12x. Esto es en símbolos así:
x + 60t + α = 12x, donde
por
el Corolario 3.1
x = (α + 60t)/11,
(II)
(despejando x)
Ponemos 11 valores distintos de t para, de acuerdo con el Corolario 3.1, hallar
todas las posiciones en que se obtiene un ángulo α.
Comprobemos ahora que los valores de x son los correctos. Es evidente que para
valores distintos de t obtenemos valores distintos de x. Comprobaremos ahora que
para
se
tiene que 0 <= x < 60:
0 <= α < 60, 0 <= t <= 10
0
<= 60t/11 <= 600/11
0 <= α/11 < 60/11
Sumando las dos últimas desigualdades obtenemos:
0 <= (α +60t)/11 < 660/11=60
0 <= x < 60 (por la igualdad (II)).
Finalmente, sustituyendo el valor de x en (I) obtenemos la expresión buscada:
12(1 - sg[(α +60t)/55]) - [(α +60t)/55] : 60((α +60t)/55 – [(α
+60t)/55]).
La fórmula anterior es
efectiva para resolver problemas tales como ¿a qué hora, entre las 2 y las 3,
las manecillas estarán en línea recta? No he podido mediante ella resolver el
siguiente problema:
¿A qué horas se pueden
intercambiar las manecillas obteniéndose posiciones admisibles de estas?
Por último, también podemos decir que la expresión hallada es fácilmente
programable.
3. Bibliografía
- Mario 0. González, J. D. Mancill. Álgebra
elemental moderna, volumen I, tercera edición. La Habana, Editora Pedagógica,
1967.
- Yákov Perelman. Álgebra recreativa. Editorial
Mir. Moscú.
Categoría: Matemática
Resumen
En el trabajo se plantean y resuelven dos problemas: el primero consiste en
expresar el siglo al que pertenece un año de una forma distinta a la usual. El
segundo se trata de dado un ángulo en minutos, encontrar todas las horas en que
las manecillas del reloj forman esa amplitud.
Autor:
Irvin Pérez Morales
ipm@mfc.uclv.edu.cu
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