Resumen: Definición de número complejo. ¿Cómo determinar la forma polar de Z?. Parte Práctica.
Publicación enviada por Carlos Veliz
Índice
1.
Defina número complejo.
2.
¿Cómo determinar la forma polar de Z?
3.
Parte Práctica
4.
Bibliografía
1. Defina número
complejo.
A toda expresión en la
forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria(
)
recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los números complejos con
la letra Z ; así
Z = a + bi (a Î Â )
Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta
forma :
Re(z) = a
Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE
IMAGINARIA.
Im(z) = b
ż cuando un número complejo se dice imaginario puro?
Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un
Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su
parte real vale 0. Ejemplo :
x2 + 16 = 0
x2 = - 16
x= ±
x= ± 4i
x1= 4i X2 = - 4i
Sean Z1 y Z2
números complejos. defina:
- Z1 + Z2 (adición de
complejos)
La
adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par
de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4)
le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de
las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.
O sea: (x1, x2) + (x3 , x4) = (x1
+ x3 , x2 + x4).
*
En Forma Binómica :
Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y
sus partes imaginarias.
Ejemplo :
* Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2
+ b2i
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1
+ b2)i
- Z1 - Z2 (sustracción de
complejos):
Sean
Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación
sustracción así :
Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)
Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1
el opuesto de Z2.
Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
Entonces :
Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) +
(-a , -b) = (x - a, y - b).
*
En forma Binómica :
Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las
partes imaginarias entre sí. Entonces :
Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.
-
(conjugado
de un complejo):
Llamaremos
conjugados a dos complejos Z y
que
tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real .
Si se cumple, por tanto, que
Z = a + bi y
=
a - bi
diremos
que
es
el conjugado del complejo Z. En la práctica, para determinar el conjugado de un
complejo basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.
*
En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a , b) Entonces :
=
(a , -b)
- Z1 × Z2 (
multiplicación de complejos ) :
Se
multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en
cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen términos semejantes.
La multiplicación puede hacerse más directamente observando que :
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
ac + (ad + bc)i + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
*
En forma de pares ordenados :
Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos números
complejos, entonces, por definición : Z1 × Z2 = (a
, b) × (x , y) = (a× x - b× y , a× y+b× x).
- (Z1)-1 ( Inverso De Un
Complejo )
Llamaremos
el inverso de Z1 = a1 + b1 es :
=
,
tal que Z× Z1 =(1 , 0).
Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico : Z1 = (x , y).
Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
Es decir ; ( ax - by, ay + by) = (1 , 0)
y
también
Al
resolver el sistema obtenemos:
-
(división
de complejos):
Para
dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se
racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de
la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por
-1.
- ½ Z1½ ( módulo de un complejo
):
Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que
lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor
se obtiene por la conocida relación :
½ Z1½ = r =
que es la relación que nos permite determinar la longitud de
un vector.
Sea Z un número complejo. explique como determinar
Sea Z= a +bi.
La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi :
= x
+ yi
= x + yi (])
Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos :
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
a + bi = x2 + 2xyi + y2 (-1)
a + bi = (x2 - y2) + 2xyi
Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el
siguiente sistema :
Despejando "y" en (]]]) :
Sustituyendo este valor en(]]) :
Expresando en términos de X2 :
Tomamos únicamente el valor positivo, pues
es
mayor que "a" y x2 no puede ser negativo. Además
=
S.
Por lo tanto :
Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (])
se obtiene lo siguiente :
- La ecuación (]) queda, así :
En la ecuación (]]]) podemos observar que
"b" tiene el mismo signo que el producto "xy". Por lo tanto,
si "b" es positivo "x" e "y" serán de igual signo
y tendremos que :
Para b > 0 Para b < 0
Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer
la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones :
Para b > 0 : Las raíces deben ser ; ambas del mismo signo :
positivas o negativas( + ,+), ( - , - )
Para b < 0 : Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-,
+)
Sea Z un número complejo. explique como graficar z y como determinar su forma
polar.
Sea el complejo Z= a + bi = (a,b).
Representación Gráfica de Z :
Se conviene en representar los números complejos mediante puntos en el plano.
La abscisa del punto es igual a la parte real "a" del número que
representa. La ordenada es igual a la parte imaginaria "b". De esta
forma, la representación del complejo Z= a + bi es el punto M del plano
adjunto.
Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.
Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a,0) (en forma de par ordenado) tiene su
afijo sobre el eje horizontal. Por esta razón, en la representación de los números
complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre de EJE REAL.
En cambio los complejos en la forma Z=bi ó Z=(0,b) tienen su afijo en el eje
vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas recibe el nombre de EJE
IMAGINARIO.
Con estas dos afirmaciones se puede establecer una biyección entre el conjunto
de los números complejos y los puntos del plano : "a todo número
complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto del plano es
representación de un número complejo determinado".
2. ¿Cómo determinar la forma polar de Z?
Un Complejo Z= a + bi tiene su representación geométrica
como un punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de
coordenadas polares de la siguiente forma :
b (a,b)
ó
b Z= a + bi
Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las coordenadas
a y b (rectangulares) son sustituidas por las coordenadas r y j (polares). Donde
j es el ángulo medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el
origen de coordenadas hasta el punto (a , b) ó Z.
Los números complejos pueden representarse, por lo tanto, con un vector que
sale del origen del sistema de coordenadas rectangulares y llega al punto Z. Las
componentes del vector son las mismas que las coordenadas del punto.
a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y
Las coordenadas polares se representan en un círculo,
considerando que 0 es el origen y el eje X+ es el eje polar.
Del triángulo rectángulo formado, se obtiene :
a = r cos j y b=r senj
Z= a + bi = r cos j + i sen j = r (cosj + isenj ) = r cisj = rej i
Donde :
es
el módulo del número Complejo.
es
el ARGUMENTO del número complejo.
Z=a + bi = r cis j
En forma desarrollada :
Z= a + bi = r (cosj + isenj )
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2=
r2 (Cosq 2 + iSenq 2)
Definir :
- Z1 × Z2 :
Z1
= r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cisq 1
y
Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cisq
2
Se efectúa el producto de Z1 × Z2
Z1 × Z2 = r1 Cisq 1 × r2
Cisq 2
En Forma desarrollada : = r1(Cosq 1 + iSenq 1)×
r2(Cosq 2 + iSenq 2)
Ordenando : = r1× r2(Cosq 1 + iSenq 1)×
(Cosq 2 + iSenq 2)
Efectuando
el producto de los factores que están entre paréntesis :
Ordenando
y sustituyendo i2 por (-1) :
Sacando
factor común "i" en los últimos términos :
Por
lo tanto, sustituyendo :
y,
en la forma abreviada :
En
resumen :
En
palabras :
"El producto de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como
módulo el producto de los módulos y como argumento, la suma de los
argumentos."
-
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq
1) = r1 Cis q 1 y
Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2
Cis q 2
Se efectúa el cociente Z1
Z2
Descomponemos así el segundo miembro :
Expresión equivalente a la que sigue :
Aplicando la fórmula de Moivre :
Y por último, multiplicando :
En definitiva :
En palabras : " El cociente de dos números
complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el cociente de los módulos
y como argumento, la diferencia de los argumentos."
C) Z1n (formula
de moivre)
Z1n = (r1 Cis q 1)n
= (r Cis q )(r Cis q )(r Cis q
)..................... (r Cis q )
=
Z1n = (r1 Cis q 1)n
= r n Cis(q 1 × n)
O sea :
El módulo de la potencia n-sima de un complejo z es la potencia n-sima del módulo
y el argumento es el de Z multiplicado por n.
LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número complejo en forma trigonométrica
a un exponente entero cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se
multiplica el argumento por n.
3. Parte Práctica
- Efectuar :
- resolver :
Z2 = 21 - 6i
- Sean
Z1 = -2 + 3i ; Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i .
calcular
- calcular :
;
;
- Expresar Z1 , Z2 y Z3
en forma polar y calcular :
;
- resolver
en
:
( Z - 1 - i) ( Z - 1 + i) ( Z
+ 1 + i) ( Z + 1 - i ) = 5
4. Bibliografía
- Mendiola, Esteban. " MATEMÁTICAS 4to. Año."
. Editorial Biosfera S.R.L. Página 287. Capítulo VII
- Guía de Números complejos para Cálculo 10.
Universidad de los Andes.
- Baldor, A. "ÁLGEBRA ".Distribuidora
Cultural Venezolana S.A. Página. 435.
- "MATEMÁTICAS 1er. AÑO". Editorial
Natura, S.R.L. Sociedad De Ciencias Naturales, La Salle. Página 180. Capítulo
IV.
- Jiménez, Jofre y Salazar, Jorge. " MATEMÁTICAS
PRIMER AÑO, CICLO DIVERSIFICADO.". Ediciones CO-BO . Caracas.
- Jiménez Romero, J. " MATEMÁTICA 1er. AÑO.
CICLO DIVERSIFICADO.". Ediciones ENEVA. Caracas. Página 261.
Autor:
Carlos Véliz
activo52@hotmail.com
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