Monografias | Historia del cálculoHistoria del cálculoResumen: Civilizaciones antiguas. Las matemáticas en Grecia. Matemáticas en la cultura árabe. Renacimiento y Matemáticas modernas. Índice
OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que
significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad
de contar, comienza la historia del calculo, o de las matemáticas.
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más
útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre
vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de
sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de
los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la
implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría
de los problemas que se presentaban con continuidad.
CIVILIZACIONES ANTIGUAS
En este momento de la historia, la Civilización Egipcia,
llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios
papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de
numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de
numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...),
con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran
escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este
sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano.
Otras civilizaciones importantes en la historia, como la
babilónica, crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la
solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación
de un método sexagesimal. Este método tenia la particularidad de escribir un
mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el
enunciado del problema.
Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua,
utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas
implementaron el número cero.
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su
sistema numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los
egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo
En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número
inverso, a demás de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e
incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma
China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático.
Su aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento
celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la
resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales
para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.
MATEMÁTICAS EN GRECIA
Sin embargo las matemáticas obtuvieron su mayor aporte de la
cultura Greco Romana. Fue en Grecia, don de se hizo popular la creación de
escuelas, en donde los grandes pensadores de la época daban resolución a los
problemas más populares de geometría, álgebra, y trigonometría.
Los aportes de esta cultura a las matemáticas son de enorme
magnitud. Por ejemplo en el campo de la geometría, se dio la demostración del
teorema de Pitágoras, a demás que fue hallado el método para conseguir la
serie indefinida de ternas de números pitagóricos, que satisfacen la ecuación
El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y
la geometría, los llevó a la constricción de una nueva rama de las matemáticas,
llamada, álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el
método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que
interpretaban las cantidades algebraicas, y la expresión de la arista de un
poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita.
En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que
implicaban la construcción de límites, por lo que en su época, Demócrito y
otros grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificación de las
matemáticas y la teoría filosófica atomicista. Considerando de esta forma la
primera concepción del método del límite.
El interés que produjeron las matemáticas en Grecia, hace
que se considere como la cuna de esta ciencia. Por lo cual se bautizó a la época
comprendida de los años 300 a.c y 200 a.c, como la edad de oro de las matemáticas.
Después de esta época, Grecia deja de ser el centro
evolutivo de las matemáticas, conflictos sociales y políticos que se vivían
en esa época alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta situación otro imperio
toma las riendas de los avances matemáticos.
MATEMÁTICAS EN LA CULTURA ÁRABE
Los Árabes, que en esos momentos vivían un momento de
expansión, no sólo territorial sino intelectual, en poco tiempo logran
descifrar más conocimientos de esta materia. La historia de las matemáticas en
Los pueblos árabes comienza a partir del siglo VIII.
El imperio musulmán fue el primero en comenzar este
desarrollo, intentando traducir todos los textos Griegos al árabe. Por lo que
se crean gran cantidad de escuelas de gran importancia, en donde se traducen
libros como el Brahmagupta, en donde se explicaba de forma detallada el sistema
de numeración hindú, sistema que luego fue conocido como "el de
Al-Khowarizmi", que por deformaciones lingüísticas terminó como
"algoritmo".
Los avances obtenidos en esta época, enmarcan al concepto
del límite, la introducción de los números racionales e irracionales,
especialmente los reales positivos, y el desarrollo en la trigonometría, en
donde se construyeron tablas trigonométricas de alta exactitud.
RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS
La siguiente época importante en la historia de las matemáticas
esta comprendida en la época del renacimiento. En este momento de la historia
es cuando aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. Aunque
la historia de las matemáticas en el cercano oriente, no es tan antigua como en
el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud, especialmente con la aparición
de gran cantidad de obras escritas por los grandes matemáticos de la época.
Es de destacar la obra de Leonardo de Pissa, titulada Liber
Abaci, en donde se explicaba de una forma clara el uso del ábaco y el
sistema de numeración posicional. Igualmente entre otras obras importantes, se
puede mencionar Él practica Geometrie, en donde se resolvían problemas
geométricos, especialmente los de calculo de áreas de polígonos.
Uno de los grandes aportes de esta cultura se obtuvo en la
introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números
radicales, a demás se estableció un sistema único de números algebraicos,
con lo que se izo posible expresar ecuaciones en forma general.
Después de esta larga evolución, las matemáticas entraron
en el siglo XIX, en donde se postularon los fundamentos de las matemáticas
modernas.
Avances en la resolución de ecuaciones y en lo que hoy se
conoce como calculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para esta
ciencia.
Entre los grandes desarrollos de esta época se puede
mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del
concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometría hiperbólica no
euclidiana, a demás de la realización una muy profunda reconstrucción sobre
la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real.
Se separaron crearon varias ramas de las matemáticas en ecuaciones
diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría
de funciones de variable compleja.
En el ámbito de la teoria de los conjuntos, se compuso una
serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos
discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie.
Durante los años 1879 a 1884 se elaboraron de forma sistemática la teoría de
conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de
punto límite, de conjunto derivado. La teoría general de las potencias de
conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades
de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta
de conjuntos
En relación con el análisis matemático en este siglo, se
fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos
problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse
en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo
integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó
a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema
central en este siglo.
Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones,
en sus trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una
definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las
propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una
serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una
función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método
de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la
función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como
función de Bolzano
Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la
introducción de la variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos
de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de
la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace
acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue
desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales diferenciales.
Ya e el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción
de academias reconocidas en ámbito de las matemáticas, como la Academia de
Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas
matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales
e infinitesimales, y el cálculo de probabilidades.
Alrededor del año 1636 Apolonio comienza sus estudios en
geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría
analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas,
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea,
recta o curva".
Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2;
a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2;
a2-x2=ky2 como la hipérbola, parábola,
circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas
más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicaron
rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores.
A nivel de los métodos integrales, la mayor fama la adquirió
la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método
universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de
las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como
elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan
de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo,
este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los
correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la
integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la
primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían
resolver.
En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales,
aun se resolvían por los métodos más diversos, Hacia mediados del siglo XVII
se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de
estos problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación.
La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación
de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación
y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y
la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el
álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables;
el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de
Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes... Las causas que
motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica,
la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en
la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis
infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri,
Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz,
y Euler.
El concepto de Calculo y sus ramificaciones se introdujo en
el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático,
creando ramas como el calculo diferencial, integral y de variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de
Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula
de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula
extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones,
utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en
diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el
desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del
teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los
matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de
la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos
residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen
convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de
desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas
introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo
diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que
caracterizan su estructura actual
Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de
J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral
en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas
consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida
alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos
especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de
resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y
beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que
el hombre vió la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran
cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas
matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor
parte de las ciencias actuales.
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
Autor:
Diego Camilo Rojas
Compartir Publicación enviada por DIEGO CAMILO ROJAS Contactar mailto:dkmilko@hotmail.com Código ISPN de la Publicación EpyAlpApElQcKRfvJE Publicado Tuesday 25 de November de 2003 Ultimas Publicaciones en ilustrados.com
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La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de
los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los números
irracionales, a demás que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de
la forma
.
,
y
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Su avance fue tal que crearon algoritmos para el calculo de sumas de
progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras,
aunque no como un teorema general.
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Incluso se trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos
problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas
acotadas por una curva. Esto conllevó a al avance en él calculo del número pi
y a la creación del método de exaución (predecesor del cálculo de limites),
creado por Euxodo.
