Resumen: Poliedro. Prisma. Poliedros Regulares. Buckminsterfullereno o Fullereno C60. Pirámide. Triángulo. Teorema de Euler. Teorema de Pitágoras. Formula de Herón.
Publicación enviada por Frank Alejandro Zapata Mesa
Índice
1.
Poliedro
2.
Prisma
3.
Poliedros Regulares
4.
Buckminsterfullereno o Fullereno C60
5.
Pirámide
6.
Triángulo
7.
Teorema De Euler
8.
Teorema de Pitágoras
9.
Formula De Herón
1. Poliedro
Porción de espacio limitada
por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas
y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren
tres o más caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto
al plano de cada una de sus caras.
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro
simple se cumple el teorema de Euler
2. Prisma
Poliedro limitado por dos
polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios
paralelogramos, llamados caras laterales.
Se llama altura del prisma a
la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases
sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:
En el prisma recto, las
caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos
regulares, el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de
las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un
paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.
Se llama área lateral de un
prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma
recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por
un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.
3. Poliedros Regulares
Un poliedro regular es aquel
cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices
concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros
regulares:
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice.
Tiene 4 vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices
y 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices
y 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12
vértices y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del
otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas.
Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del
icosaedro y el cubo lo es del octaedro:
Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por
tanto, una pirámide triangular:
Si las cuatro caras de un
tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es
uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se
hace referencia al tetraedro regular.
El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
A= a2 Ö 3
Su volumen es:
/12ÃV = a3
Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
El cubo es un ortoedro (sus
caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro
regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:
El área de las caras de un
octaedro en función de su arista, a, es:
A= 2a2 Ö 3
Su volumen es:
/3ÃV
= a3
Dodecaedro
Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:
El área de un dodecaedro de
arista a es:
Su volumen es:
)/4ÄV
= a3(15 + 7
Icosaedro
Poliedro regular formado por veinte caras triangulares:
El área de un icosaedro es:
Su volumen es:
)/12ÄV
= 5a3(3 +
4. Buckminsterfullereno o
Fullereno C60
Una forma natural o alotrópica
del carbono. Durante muchos años se pensó que el elemento carbono existía en
dos formas alotrópicas (o distribuciones distintas de los átomos), el diamante
y el grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de carbono se une
a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el cristal dando lugar
a un sólido rígido y duro. En el grafito, los átomos de carbono se unen
formando anillos hexagonales en láminas planas superpuestas, y el resultado es
un sólido escurridizo. El carbono es uno de los elementos más investigados,
por lo que fue una gran sorpresa el descubrimiento en 1985 de una familia entera
de formas alotrópicas distintas, los fullereros. Este descubrimiento fue el
resultado de las investigaciones sobre la formación de compuestos de carbono en
el interior de las estrellas realizadas por el británico Harold W. Kroto, en
colaboración con los estadounidenses Robert F. Curl y Richard E. Smalley; por
ello, los tres científicos recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.
El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más conocida del grupo de los
fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para formar una molécula
C60 de hexágonos y pentágonos dispuestos en forma casi esférica, como la
envoltura de una pelota de fútbol. La molécula recibe ese nombre porque su
estructura se parece a las elaboradas estructuras geométricas inventadas por el
arquitecto estadounidense Richard Buckminster Fuller. Existen otros fullerenos
que poseen más átomos de carbono y sus formas son versiones alargadas del
buckminsterfullereno inicial (en forma de pelota). Con el aumento en la producción
de buckminsterfullereno, se llegó a obtener una forma sólida, la fullerita. En
este sólido amarillo transparente, las moléculas forman una especie de
conjunto de balas de cañón en una distribución compacta. Ahora existen también
versiones tubulares de fullerenos en forma sólida.
Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz molecular y sólo
podían conseguirse pequeñas cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían
obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco eléctrico entre dos
electrodos de carbono en atmósfera de helio. Actualmente se sabe que es
probable que el buckminsterfullereno se forme en llamas tiznadas, y existe
incluso la posibilidad de que abunde en el Universo, particularmente cerca de
las estrellas rojas gigantes.
Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los químicos comenzaron a
investigar sus propiedades. Se piensa que los fullerenos podrían dar origen a
un nuevo campo de la química, del mismo modo que la química orgánica aromática
surgió a raíz del descubrimiento del benceno 150 años atrás. Una de las
propiedades más sorprendentes de los fullerenos es que se pueden introducir átomos
de elementos en el hueco existente en la 'jaula' de átomos de carbono; así se
puede obtener una versión de 'envoltura contraída' de cada elemento del
sistema periódico. Cuando se introducen átomos de metal en los tubos tipo
fullereno mencionados anteriormente, el material resultante es como un alambre
aislado unidimensional. Otra propiedad importante es que ciertos compuestos de
buckminsterfullereno (en especial el K3C60) son superconductores a bajas
temperaturas. Se ha averiguado que los derivados del buckminsterfullereno son
biológicamente activos y se están utilizando para atacar el cáncer: se cree
que las moléculas en forma de pelota de fútbol pueden introducirse en los
emplazamientos activos de las enzimas y bloquear su acción.
5. Pirámide
Poliedro limitado por una
base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos
con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
La altura de la pirámide es
la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular,
cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero,
un pentágono…
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se
proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide
regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman
apotemas de la pirámide.
El área lateral de una pirámide
regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la
base por la altura:
Tronco De Pirámide
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide
y un plano que corta a todas las aristas laterales.
Si el plano es paralelo al
plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre
las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide
regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias
caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se
llaman apotemas de estos troncos.
El área lateral de un
tronco de pirámide de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen
superficies B y B’, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula
siguiente:
6. Triángulo
Polígono de tres lados. Según
la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si
sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos,
si los tres lados son distintos.
La suma de los tres ángulos
de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El
tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos
son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo
y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.
Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas
importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se
llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos:
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el
teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la
hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m, b2 = a · n
Alturas De Un Triángulo
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento
perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama
altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas
correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es
igual al producto de los dos segmentos en que la divide:
h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto
llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior
al triángulo.
En un triángulo rectángulo,
cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por
tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el
ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.
Medianas De Un Triángulo
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen
un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo
se cortan en un punto que se llama baricentro.
El baricentro corta a cada
mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:
Circunferencia Inscrita
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto
que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es
tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia
contenida en el triángulo.
Circunferencias Exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores
de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una
circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros
dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.
Circunferencia Circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado
circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los
tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al
triángulo.
Área De Un Triángulo
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y
hc es:
A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede
calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:
en donde p = (a + b + c)/2
es el semiperímetro del triángulo.
7. Teorema De Euler
Teorema que relaciona el número
de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número
de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
C + V = A + 2
8. Teorema de Pitágoras
Teorema que relaciona los
tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del
lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados (catetos).
El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo
si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de
los dos catetos:
o bien, calcular un cateto
conocidos la hipotenusa y el otro cateto:
9. Formula De Herón
Fórmula que sirve para
calcular el área, A, de un triángulo en función de sus lados, a, b, c:
siendo p el semiperímetro:
p = (a + b + c)/2.
Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden a = 7 cm, b = 11 cm,
c = 8 cm, entonces el semiperímetro es p = (7 + 11 + 8)/2 =
13 cm y su área es:
Autor:
Frank Alejandro Zapata Mesa
zfrankalejandro@hotmail.com
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