Monografias | Redes De Petri

Las redes de Petri representan una alternativa para modelar sistemas, sus características hacen que, para algunos problemas las redes de Petri funcionen de una manera natural.
Las PN como ahora conoceremos a las redes de Petri (Petri Net) fueron inventadas por el alemán Karl Adam Petri en 1962. En su tesis doctoral "kommunikation mit automaten" (Comunicación con autómatas), establece los fundamentos para el desarrollo teórico de los conceptos básicos de las PN.
Las PN son consideradas una herramienta para el estudio de los sistemas. Con su ayuda podemos modelar el comportamiento y la estructura de un sistema, y llevar el modelo a condiciones límite, que en un sistema real son difíciles de lograr o muy costosas.
La teoría de PN ha llegado a ser reconocida como una metodología establecida en la literatura de la robótica para modelar los sistemas de manufactura flexibles.
Comparada con otros modelos de comportamiento dinámico gráficos, como los diagramas de las máquinas de estados finitos, las PN ofrecen una forma de expresar procesos que requieren sincronía. Y quizás lo más importante es que las PN pueden ser analizadas de manera formal y obtener información del comportamiento dinámico del sistema modelado.
Para modelar un sistema se usan representaciones matemáticas logrando una abstracción del sistema, esto es logrado con las PN, que además pueden ser estudiadas como autómatas e investigar sus propiedades matemáticas.
¿Qué tipo de sistemas podemos modelar con las PN? Y ¿Cómo logramos la analogía entre el sistema real y el modelo usando una PN? son dos de las preguntas a las que debemos atender. Para esto pongamos atención a los sistemas: una idea fundamental en un sistema es que se compone de módulos que interactúan entre sí, los cuales pueden ser considerados por si mismos un sistema, y podríamos estudiar su comportamiento por separado y de esta manera aislarlos, pero siempre teniendo en cuenta la interacción que guardan con los otros módulos.
Ahora deseamos conocer en que condiciones se encuentran los módulos, es como si detuviéramos al sistema en el tiempo, las condiciones internas de los módulos determinarían el estado en el que se encuentran, para esto entendemos que un sistema es un arreglo dinámico que en el transcurso del tiempo tiene variaciones y no permanece estático. El estado de un módulo con frecuencia depende de su historia, es decir de las acciones dadas en un tiempo anterior.
Hablemos de dos conceptos importantes: acciones y estados, las acciones nos conducen a un estado determinado del módulo en el tiempo, las acciones de un módulo en un sistema pueden ocurrir simultáneamente con las acciones de otros módulos, dado que ellos interacúan entre sí, es necesario sincronizar los eventos. Esto puede resultar en que las condiciones de un módulo en el tiempo necesitan como entradas las salidas de otro, él cual necesita más tiempo para generar las salidas, es entonces cuando pensamos en paralelismo y concurrencia. Las PN fueron diseñadas específicamente para modelar este tipo de sistemas.
Tomemos dos conceptos más: eventos y condiciones, los eventos son las acciones que se dan en el sistema y nos llevan a un estado, podemos describir un estado como un conjunto de condiciones. Es útil, para nuestro caso, representar dichas condiciones por medio de predicados.
Para que cierto evento ocurra es necesario que ciertas condiciones se cumplan, estas son llamadas pre-condiciones del evento, la ocurrencia del evento nos puede llevar a otras condiciones y es entonces cuando se dan las post-condiciones.
Para modelar un sistema en una PN debemos reconocer las condiciones y los eventos que se dan en él, de esta manera podemos hacer la analogía entre el sistema y el modelo, al conocer las condiciones que se necesitan para dar cierto evento podemos diseñar los módulos y relacionarlos con otras condiciones, y para esto necesitamos saber la estructura de una PN para saber que corresponde a una condición y un evento en la red.

Las PN se componen de cuatro partes:

• Un conjunto de nodos.
• Un conjunto de transiciones.
• Una función de entrada y
• Una función de salida.

Ejemplo:
P=(P,T,I,O)
P={p₁,p₂,p_3, p_4, p₅} T={t₁,t₂,t_3, t_4, t₅}
I(t₁) ={p₁} O(t₁)={p_2, p_3, p₅}
I(t₂) ={p_2, p_3, p₅} O(t₂)={p₅}
I(t₃) ={p₃} O(t₃)={p₄}
I(t₄) ={} O(t₄)={p_2, p₃}
I(t₅) ={p₄} O(t₅)={p_2, p₃}
Donde:
#(p₃,I(t₂))=1 #(p₅,O(t₁))=1

Ahora consideremos la PN vista anteriormente:
P=(P,T,I,O)
P={p₁,p₂,p_3, p_4, p₅} T={t₁,t₂,t_3, t_4, t₅}
I(t₁) ={p₁} O(t₁)={p_2, p_3, p₅}
I(t₂) ={p_2, p_3, p₅} O(t₂)={p₅}
I(t₃) ={p₃} O(t₃)={p₄}
I(t₄) ={} O(t₄)={p_2, p₃}
I(t₅) ={p₄} O(t₅)={p_2, p₃}
Donde:
#(p₃,I(t₂))=1 #(p₅,O(t₁))=1

Consideremos la siguiente PN:
Sólo 3 transiciones están en un estado ENABLED t₁, t₃, t₄. La transición t₂ no puede ser disparada porque no hay tokens en el nodo p₂, el cual es entrada de ella. Dado que t₁, t₃ y t₄ son ENABLED cualquiera de ellas puede ser disparada. Podemos asociar de manera natural un vector u enlistando los valores de U. Así para la PN mostrada tenemos u=(1,0,2,1,0). Sí la transición t₄ es disparada, remueve tokens de cada entrada y los deposita en cada salida, entonces remueve un token de p₄ y deposita un token en p₂ e incrementa el número de tokens en p₃ de dos a tres; el vector u sería (1,1,3,0,0) y el estado de la red se mueve a como se muestra en la siguiente figura.
Las transiciones pueden seguir disparándose indefinidamente hasta llegar a un estado deseado o hasta que ninguna pueda ser disparada.

De lo anterior surgen dos preguntas:
¿Cómo decidimos que transición debe dispararse?
¿Porqué no podemos disparar dos transiciones al mismo tiempo?
Decidir que transición debe dispararse depende de nuestro modelo y sí podemos disparar más de una transición en un mismo instante entonces estamos hablando de paralelismo.
Pensemos en un ejemplo concreto: queremos sumar cuatro números cualesquiera por medio de una PN. Dependiendo de cada número se ponen tantos tokens en los nodos correspondientes p₁, p₂, p₃ y p₄. Los primeros resultados parciales se almacenan en p₅, y los últimos en p₆, una transición para cada nodo es la que se encarga de quitar unidades en los sumandos y poner unidades en el resultado, cuando se efectúan las dos sumas, se realiza una tercera suma, la realizan t₅ y t₆, su resultado se pone en p₇. El orden en el que se realizan las operaciones no es un orden secuencial ya que la primer suma puede ocurrir indistintamente de las sumas anteriores.

Las redes de Petri coloreadas (CPN) pertenecen a la familia de las PN, la diferencia viene marcada por las consideraciones en CPN de colores y de funciones lineales asociadas a sus arcos. Los tokens de color pueden representar un atributo o distintivo, si es necesario definir dos atributos entonces surge la idea de colores compuestos. Una transición en CPN está en estado ENABLED si todos sus nodos de entrada contienen un número de colores igual o mayor que los definidos por f_i<c> donde f_i es una función lineal asociada al nodo p_i con la transición t_j. Entonces además del concepto de color, estas redes manejan una función asociada para los elementos de las funciones I,O de la PN.
Es fácil ver en una Red las transiciones que están ENABLED y observar que a veces son más de dos transiciones las que se pueden disparar, en la siguiente figura notamos que t₁ y t₂ pueden dispararse, pero si t₁ es disparada, t₂ dejará de ser ENABLED y si disparamos t₂, no podremos disparar t₁. Esto es conocido como un conflicto y nos ayuda a modelar problemas de sincronización.

Extensiones al Modelo de Redes de Petri
Un arco inhibidor es otro componente de una PN, éste va de un nodo a una transición y es representado con un pequeño circulo al final del arco. La transición que tiene arcos inhibidores no puede dispararse si el nodo de entrada contiene por lo menos tantos tokens como la multiplicidad del arco inhibidor. Así por ejemplo la siguiente figura disparará cuando p₁ tenga un token, y p₂ no tenga tokens.
En general las extensiones a la teoría de PN dependen del modelo o la aplicación donde se estén usando.

Redes de Petri Temporales.
Este tipo de redes son las que consideran el tiempo en el modelo. Es una consideración importante ya que los sistemas reales casi siempre es indispensable considerarlo en la sincronización de los procesos.
El modelo más simple es el que asigna duración a:

1. Los nodos, en el sentido de que una condición es verdadera para una cierta cantidad de tiempo.
2. La transición, en el sentido de que un evento toma una cierta cantidad de tiempo en ocurrir.

Cuando la duración de los eventos no son fijos, o no pueden ser expresados con valores nominales, simplemente se estiman límites dentro de los cuales el evento puede ocurrir.

Eventos y condiciones.
Podemos modelar sistemas complejos con PN, dividiendo el sistema en eventos y condiciones y de esta manera encontrar la analogía con la PN. Se toma como referencia que las condiciones que se dan en un sistema, son representadas por los nodos, ya que los tokens indican si esta condición se cumple o no, y los eventos con las transiciones, que necesitan de condiciones para poder ser disparadas.

Consideremos el siguiente sistema: Un taller que tiene tres máquinas, M1,M2 y M3, y dos operadores O1 y O2. El operador O1 puede trabajar las máquinas M1 y M2 y el operador O2 las máquinas M1 y M3. Las ordenes requieren de dos procesos, el primer proceso debe ser hecho por la máquina M1 y el segundo proceso puede ser hecho con la máquina M2 o la M3. Enlistemos las condiciones y los eventos:

La PN se muestra a continuación:

El problema de los cinco filósofos.
Este problema puede dar una idea clara del potencial de una PN, el problema consiste de cinco filósofos que en forma alternada piensan y comen.
Están sentados en una mesa circular donde ha sido depositada comida china, cada filósofo tiene frente a él un plato donde servirse y entre cada uno de ellos un palillo chino. Como sabemos, para comer comida china necesitamos dos palillos, entonces cada filósofo para comer debe tener dos palillos en su poder.
El problema está en que si cada filósofo tiene un sólo palillo en su poder todos los filósofos entrarán en una espera eterna para comer, otro problema puede surgir y es el que un filósofo obtenga siempre los dos palillos y se mantenga comiendo, lo que producirá que los otros filósofos no puedan comer (cayendo en un estado de inanición). Analicemos los eventos y condiciones de este problema así como las precondiciones y postcondiciones para un sólo filósofo y luego para más.

Sí ahora se trata de dos filósofos se obtendrá lo siguiente:

Como sabemos las condiciones corresponden a nodos y los eventos a transiciones, las condiciones 1 y 3, 2 y 4 pueden modelarse con un sólo nodo. El problema para cinco filósofos es modelado como se muestra en la siguiente figura. Los nodos P1,.,P5 representan los palillos, al inicio cuando todos los filósofos piensan, cada nodo tiene un token. Cada filósofo es representado por dos nodos M y C representan los estados meditando y comiendo respectivamente. Para que un filósofo coma es necesario que tenga los dos palillos en sus manos, entonces sus dos nodos deben tener un token y de esta manera poder comer.