Monografias | Interpolación y aproximación de Funciones

Indice
1. Introducción
2. Lenguaje utilizado
3. Polinomio de interpolación dediferencias divididas de Newton
4. Interpolación cuadrática
5. Polinomio de interpolaciónde Lagrange
6. Bibliografía consultada

1. Introducción

La interpolación y la aproximación de funciones se aplican en la informáticaen diversos campos:
Tratamientos de imágenes mediante una animación interpolada:
La animación se crea mediante el cambio del contenido de imágenes sucesivas.Puede hacer que un objeto se desplace, aumente o disminuya de tamaño, gire,cambie de color, aparezca o desaparezca, o cambie de forma. Los cambios puedenocurrir por separado o combinados entre sí.

• Interpolación de movimiento, se definen propiedades como la posición, el tamaño y la rotación de una instancia, un grupo o un bloque de tipos en un punto en el tiempo, y estas propiedades se cambian en otro punto.
• Interpolación de forma: se dibuja una forma en un punto del tiempo y se cambia o se dibuja una nueva en otro punto. Al interpolar formas se crea un efecto similar al de transformación y las formas parecen cambiar en el transcurso del tiempo.

La animación interpolada es una forma eficaz de crear movimiento y cambios alo largo del tiempo y de reducir al mínimo el tamaño del archivo. Al contrariode la animación imagen a imagen, sólo necesita almacenar los valores de loscambios de la imagen, no la imagen completa.

Mediciones de temperaturas y precipitaciones
Los datos iniciales utilizados en este trabajo son las medias mensuales detemperatura (máxima, mínima y media) y precipitaciones. Para realizar lainterpolación de los valores de las estaciones hacia una rejilla de 15 minutoslatitud/longitud (Figura 1), se utilizó un Sistema de Visualización y Análisisen Rejilla (GrADS), un software desarrollado por el Centro para Estudios delsistema Tierra-Océano-Atmósfera de la Universidad de Maryland de los EstadosUnidos. El esquema de interpolación incorporado en GrADS es el método deCressman, el cual ha sido ampliamente utilizado en aplicaciones de la meteorología.

La disminución del número de estaciones reduce la calidad de lasinterpolaciones y esta variación en el número de puntos puede introducirmovimientos irreales en las series temporales de los campos generados, conindependencia del método de interpolación que se utilice; así los camposinterpolados con menos estaciones no serán capaces de captar todas las característicasespaciales del fenómeno. Este inconveniente hizo necesario que se utilizara unaestrategia para garantizar que los campos de temperatura y precipitacióninterpolados, pudieran representar las características espaciales y temporalesde ambas variables durante todo el período considerado. De esta forma lasseries de tiempo en rejilla se estimaron utilizando el método propuesto porWillmott y Robeson (1995). Este método, denominado por esos autores comoInterpolación Climatológicamente Asistida (ICA), parte de la idea de realizarla interpolación, separando las componentes espaciales y temporales.

Tratamiento de imágenes:
La interpolación es el método por el que se calculan más puntos de muestra,de acuerdo con un algoritmo del software de imágenes -programa de escaneado,para compensar las limitaciones de la resolución óptica. Por lo tanto, si laresolución óptica es de 1000 dpi, la interpolación sólo se utilizará siresoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es especialmente útil alescalar imágenes para erradicar trazos que no se quieren y que parecen comoefectos de eslabones en los contornos de la imagen.
Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía y doblar el tamaño desalida de la imagen sin perder detalles, la imagen tiene que contener el mismonivel de detalles que la fotografía original. Si la imagen se aumenta sininterpolación, el espacio entre los puntos o las líneas será doblado. Estosignifica que el mismo números de puntos se tendrán que situar en un área dosveces mayor dando a la imagen una calidad granulada inconsistente. Con lainterpolación, la densidad de la imagen se preservara introduciendo el númerode puntos que se requieran en el espacio abierto, dando así a la imagenresultante una mejor calidad. La interpolación se realiza durante los procesostanto de reducción como de aumento.

Reconstrucción de una señal a partir de sus muestras usando interpolación:
La interpolación es un proceso de empleo común en la reconstrucciónaproximada o exacta de una señal a partir de sus muestras. Para una señal debanda limitada, si los instantes de muestreo están bastante cerca, entonces laseñal puede reconstruirse exactamente, es decir, mediante el empleo de unfiltro se puede efectuar la interpolación exacta entre los puntos de muestreo.La interpretación de la reconstrucción de una señal como un proceso deinterpolación se hace evidente cuando se considera el efecto en el dominio deltiempo del filtro.
La utilización de la interpolación como una técnica tiene un amplio espectrode utilización tanto es así que es reformulada en cada campo que aplica. Lainterpolación también es usada en:
Topografías, tecnologías de comunicación, genética, biotecnologías,reconstrucción tridimensional de imágenes medicas, etc.

Contenido:
Este manual cumple con el objetivo de enseñar la instalación y utilizacióndel lenguaje PDL - Perl data Language - en su versión 2.3.4, utilizando lainterpretación de PERL con el paquete ActivePerl versión 5.8.0.805.
Partiendo desde una base teórica se intenta familiarizar a el usuario con losconceptos fundamentales para su desarrollo. Se hace referencia de como utilizarlos comandos para solucionar un determinado problema, además se incluyenejemplo de su resolución, así como también de la puesta en marcha de losmismos.

Requerimientos Mínimos

Nota:
Los siguientes componentes mencionados deben estar presentes en el equipo:
* Perl versión 5.6.1
* Perl ISAPI: Compatible con
servidores Web IIS 4.0+ o
PWS 4.0+
* PerlScript: ActiveX scripting host
como IE 4.0+, o Windows
Scripting Host
* Windows 95: DCOM para Windows 95
* Windows NT: Service Pack 5+ y Windows Installer
1.1+
* Espacio disponible en disco: aproximadamente 55 Mb para la instalación típica.
En todas las versiones Windows debe estar presente Windows Installer 2.0+

2. Lenguaje utilizado

Conocimientos Básicos
PDL es un lenguaje de programación orientado tratamiento numérico de datos.Sus siglas significan Perl Data Language, y como su nombre indica está basadoen el lenguaje de programación Perl, esto quiere decir que es un modulo delprograma, por lo tanto es necesario tenerlo ya instalado a la hora de colocarPDL. Perl es gratuito y además es Software Libre, esto quiere decir que el códigofuente está disponible para que cualquiera lo pueda ver o modificar.
Perl es la abreviación de Practical Extraction and Report Language. Es lo quese conoce como un lenguaje script, es decir, uno en el que no hace faltacompilar el programa escrito.
El fuerte de PDL es la posibilidad de manipular matrices n-dimensionales y ademásde poder resolver cálculos numéricos matriciales de una forma rápida.
Una de las características centrales de PDL es poder relacionarse fácilmentecon el sistemas.
Tal como hemos mencionado, PDL es un lenguaje de cálculo numérico basado enPerl Está disponible en múltiples plataformas y sistemas operativos. De hechofunciona en diferentes versiones de Unix, Linux y todo tipo de Windows. Unprograma que se escriba teniendo en cuenta la compatibilidad puede ser escritoen una plataforma y ejecutado en otra.
Se pueden conseguir el modulo para cálculo numérico de PDL y otros a travésde el CPAN -Comprehensive Perl Archive Network.
El proyecto PerlDL apunta a convertir Perl en un eficiente lenguaje numéricopara computadoras. El modulo PDL le da al Perl
estándar la habilidad de manipular rápidamente y guardar compactamentematrices de N-dimensiones. Uno puede escribir expresiones simples en PERL ymanipular cadenas numéricas enteras todo de una sola vez.
PDL convierte a PERL en un lenguaje numérico gratuito similar al paquetecomercial MATLAB.
Con el paquete es provisto un SHELL llamado PERLDL el cual se usa en la líneasde comando y un modulo llamado PDL para el uso en los SCRIPT de PERL.
La distribución PDL para PERL es gratuita y proporciona una ampliafuncionalidad numérica con soporte para visualización de dos y tresdimensiones, así también como una gran variedad de rutinas de entrada/salida.El objetivo de PDL es permitir una interactividad con una gran variedad depaquetes numéricos, gráficos y de sistemas de visualización.
A continuación se proporcionará una breve reseña sobre el manejo deoperadores relacionales y lógicos, así como también de las funciones quecompeten al lenguaje.

Instalación en Linux / Unix
Puedes utilizar el modulo CPAN de Andreas König para que automáticamenteejecute los procesos de descompresión y instalación.
Instalación de archivos comprimidos
tar.gz
A)- Descompresión
Descomprimir el archivo con gzip -d moduloPDL.tar.gz
Puedes obtener el descompresor gzip de ftp://prep.ai.mit.edu/pub/gnu.
O puedes combinar este paso con el siguiente para guardar en disco
gzip -dc moduloPDL.tar.gz | tar -xof
B)- DESEMPAQUETANDO
Desempaquetar el resultado con tar -xof moduloPDL.tar
C)- COMPILANDO
Entrar en el directorio nuevo y escribir:
perl Makefile.Plmake
make test
D)- INSTALANDO
Sin salir del directorio, escribimos:
make install

Asegurese de tener los permisos apropiados para instalar en el directorio dela librería de PERL. Después necesitara ser el root.
Esto es todo lo que necesitas hacer con las conexiones dinámicas.
Muchos sistemas Unix tienen conexiones dinámicas, si usted no las tiene o sipor cualquier razón tiene conexiones estáticas en PERL, y el modulo requiereser compilado, usted necesitara una versión binaria que incluya el modulo. Denuevo usted necesitara ser el root
Instalando los paquetes RPM

• Instalación del paquete Perl
• rpm --install -nodeps ActivePerl-5.8.0.805-i686-linux.rpm
• Instalación del paquete MESA
• rpm --install -nodeps Mesa-3.4-13.i386.rpm
• Instalación dl paquete PGPLOT
• rpm --install -nodeps pgplot-5.2.0-2.i386.rpm
• Instalación del paquete OPENGL
• rpm --install -nodeps oss-opengl-glu-20000925-1.i386.rpm
• Instalación del paquete PDL
• rpm --install -nodeps pdl-2.2.3-1.i386.rpm

Compilación / instalación de PDL
Utilizar los pasos de compilación e instalación anteriormente ya descriptos(sección 1.2 Instalación de archivos comprimidos tar.gz)
Instalación en Windows

1. Descomprimir el archivo
2. Usar el manejador de paquetes para instalar PDL:

ppm install --localización=. PDL
Los documentación de PDL en HTML son instalados en el directorio html. Casisiempre debido a un defecto del la versión actual del manejador de paquetes(ppm), no son reflejados en el índice de la documentación de perl. Por favorcopia en el directorio html/lib/pdl los archivos. Las referencias cruzadas en ellos archivos html son actualmente borradas. El script de post instalación esnecesario par corregir esto en el futuro.
Ante cualquier consulta dirigirse a:
pdl-porters@jach.hawaii.edu

Interpolación de funciones
Los valores de las funciones polinomiales se pueden determinar efectuando unnumero finito de sumas y multiplicaciones. Sin embargo, existen otras funciones,tales como la logarítmica, la exponencial y las funciones trigonométricas ,que no se pueden evaluar tan fácilmente. En esta sección demostraremos quemuchas funciones se pueden calcular en forma aproximada por polinomios y quepuede usarse el polinomio en vez de la función original, para los cálculos,cuando la diferencia entre los valores de la función y la aproximaciónpolinomial es suficiente pequeña.
Interpolación

3. Polinomio de interpolación de diferencias divididas deNewton

Interpolación lineal:
Enunciado Teórico:
Teniendo dos puntos como datos X₀ ^ X₁ la interpolaciónlineal consiste en conectarlos con un polinomio de primer orden (una recta)

f₁ (x) = f(x₀) + f(x₁) - f(x₀) *(x - x₀)

x₁ - x₀

f₁ (x) = b₀ + b₁ (x - x₀)

Antes de explicar la interpretación geométrica, comenzaremos resolviendo unejemplo:
Ejemplo1:
Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0,∏], con:

Calcule s en 1 con cada una de las curvas encontradas y compare con el valor verdadero.

Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Newton

.

Figura 3: Interpretación grafica de la función a evaluar ( f(x)=sen x ).

Código Fuente

• # EJEMPLO 1 - INTERPOLACION LINEAL DE NEWTON
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "\n\n Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";
• $coeficiente = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1= sin $x0 + ((sin $x1-sin $x0)/($x1-$x0))*($coeficiente-$x0);
• $f2= sin $x1 + ((sin $x2-sin $x1)/($x2-$x1))*($coeficiente-$x1);
• $f3= sin $x2 + ((sin $x3-sin $x2)/($x3-$x2))*($coeficiente-$x2);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3] ]);
• print "\n\n";
• print "La matriz resultante es: \n";
• print $resultado;
• print "\n \n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente \n\n";
• print " 1 - Resultado del intervalo \n";
• print " 2 - Resultado Aproximado del intervalo\n";
• print " 3 - Función Original \n";
• print " \n";
• print "Presione ENTER para continuar ...";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

4. Interpolación cuadrática
Enunciado Teórico:
Teniendo tres puntos como datos X₀, X₁ ^ X₂. Lainterpolación cuadrática consiste en conectarlo con en polinomio de segundoorden (una parábola) de la siguiente manera:
f₂ (x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂(x - x₁)
b₀ = f(x₀) b₁ = f(x₁) - f(x₀)
x₁ - x₀
f(x₂) - f(x₁) - f(x₁) - f(x₀)
b₂ = x₂ - x₁ x₁ - x₀
x₂ - x₀

Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación cuadrática de Newton entonceslas figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 4: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática de Newton

Código Fuente

• # EJEMPLO 2 - INTERPOLACION CUADRATICA DE NEWTON
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "\n\n Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• #calculo f0(x)
• $b0 = sin $x0;
• $b1 = (sin $x1 - sin $x0) / ($x1-$x0);
• $b2 = ((sin $x2 - sin $x1) - (sin $x1 - sin $x0))/($x2-$x0);
• $f0 = $b0 + ($b1*($x - $x0)) + ($b2 * ($x - $x0) * ($x - $x1));
• #calculo f1(x)
• $b0 = sin $x1;
• $b1 = (sin $x2 - sin $x1) / ($x2-$x1);
• $b2 = ((sin $x3 - sin $x2) - (sin $x2 - sin $x1))/($x3-$x1);
• $f1 = $b0 + ($b1*($x - $x1)) + ($b2 * ($x - $x1) * ($x - $x2));
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f0,$f1] ]);
• print "\n\n";
• print "La matriz resultante es: \n";
• print $resultado;
• print "\n \n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente \n\n";
• print " 1 - Resultado del intervalo \n";
• print " 2 - Resultado Aproximado del intervalo\n";
• print " 3 - Función Original \n";
• print " \n";
• print "Presione ENTER para continuar ...";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

5. Polinomio de interpolación de Lagrange

Es una reformulación del polinomio de Newton, este polinomio de interpolaciónevita el cálculo de las diferencias divididas y vine dado por:

Forma general:
Este es el único polinomio de n-esimo orden que pasa exactamente por los n + 1puntos.
Si tenemos n=1 2 puntos
Forma lineal:
Enunciado Teórico:

f₁ (x) = x - x₁ f (x₀) + x - x₀ f(x₁)

x₀ - x₁ x₁ - x₀

l₀ (x) = x - x₁ l₁ (x) = x - x₀

x₀ - x₁ x₁ - x₀

Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación lineal de lagrange entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 5: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Lagrange.

Código Fuente

• # EJEMPLO 3 - INTERPOLACION LINEAL DE LAGRANGE
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "\n\n Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1 = (($x - $x1)/($x0 - $x1) * sin $x0) + (($x - $x0)/($x1 - $x0) * sin $x1);
• $f2 = (($x - $x2)/($x1 - $x2) * sin $x1) + (($x - $x1)/($x2 - $x1) * sin $x2);
• $f3 = (($x - $x3)/($x2 - $x3) * sin $x2) + (($x - $x2)/($x3 - $x2) * sin $x3);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3] ]);
• print "\n\n";
• print "La matriz resultante es: \n";
• print $resultado;
• print "\n \n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente \n\n";
• print " 1 - Resultado del intervalo \n";
• print " 2 - Resultado Aproximado del intervalo\n";
• print " 3 - Función Original \n";
• print " \n";
• print "Presione ENTER para continuar ...";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

Forma cuadrática:
Enunciado Teórico:
Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación cuadrática de Lagrange entonceslas figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 6: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática deLagrange

Código Fuente

• # EJEMPLO 4 - INTERPOLACION CUADRATICA DE LAGRANGE
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "\n\n Inserte un numero perteneciente al intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "\n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calcuo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original = zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1 = (((($x - $x1)*($x - $x2)) / (($x0 - $x1) * ($x0-$x2))) * sin $x0) + (( (($x - $x0)*($x - $x2)) / (($x1 - $x0) * ($x1-$x2)) ) * sin $x1) + (( (($x - $x0)*($x - $x1)) / (($x2 - $x0) * ($x2-$x1)) ) * sin $x2);
• $f2 = (((($x - $x2)*($x - $x3)) / (($x1 - $x2) * ($x1-$x3))) * sin $x1) + (( (($x - $x1)*($x - $x3)) / (($x2 - $x1) * ($x2-$x3)) ) * sin $x2) + (( (($x - $x1)*($x - $x2)) / (($x3 - $x1) * ($x3-$x2)) ) * sin $x3);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2] ]);
• print "\n\n";
• print "La matriz resultante es: \n";
• print $resultado;
• print "\n \n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente \n\n";
• print " 1 - Resultado del intervalo \n";
• print " 2 - Resultado Aproximado del intervalo\n";
• print " 3 - Función Original \n";
• print " \n";
• print "Presione ENTER para continuar ...";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

6. Bibliografía consultada

"El calculo con geometría Analítica" - Luis Leithold -Sexta edición

Paginas Web Consultadas:

Pagina Oficial:

o        http://pdl.perl.org/

Lista de Archivos para descargar:

o        http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=612

Paquete para la versión de Linux Debian:

o        http://packages.debian.org/pdl

o        http://fink.sourceforge.net/pdb/package.php/pdl

Servidor CVS (cvsweb):

o        http://cvs.sourceforge.net/cgi-bin/viewcvs.cgi/pdl/

Paginas relacionadas:

o        http://glub.ehu.es/recursos-castellano/ Linux_en_castellano-6.html

o        http://www.perl.com

o        http://aspn.activestate.com/ASPN/CodeDoc/PDL/Basic/Pod/Tips.html

o        http://www.met.inf.cu/sometcuba/Boletin/v07_n01/art_abel04.htm

o        http://www.servicios-graficos.com/home/Usuarios/Tutoriales/TeoCol/interpol/body_interpol.html

o        http://www.mappinginteractivo.com/plantilla-ante.asp?id_articulo=128

o        http://itzamna.uam.mx/pilar/rec_3d.html

Autor:
Petersen Alberto M.
matiaspetersen@yahoo.com.ar

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