Monografias | Cuaterniones de Hamilton

Indice
1. Historia del surgimiento de los Cuaterniones.
2. Trabajos de William Rowan Hamilton.
3. Definición de Cuaternión.
4. Funciones de una variable hipercompleja.

1. Historia del surgimiento de los Cuaterniones.

William Rowan Hamilton
William Rowan Hamilton nació repentinamente en la noche del 3 al 4 de agosto de1805 en la capital de Irlanda, en Dublín. Como sus contemporáneos Thomas Babington Macaulay y John Stuart Mill, Hamilton demostró una inteligencia sorprendente desde muy pequeño. Con tres años fue enviado con un tío suyo por parte de padre, llamado James, que era sacerdote y maestro en la escuela Anglicana de Trim, un pueblecito cerca de Dublín. Su tío James tenía fama de excéntrico, por ejemplo, el ataba una cadena al dedo gordo del joven William por la noche y la pasaba a través de un agujero hasta la suya propia. A la mañana siguiente, cuando era la hora de comenzar los estudios, tiraba fuertemente de la cadena para despertarlo. Sin embargo, con su tío continuo hasta 1923 cuando entró en el Trinity College de Dublín. A los pocos meses de estar con su tío James, con tan solo tres años, ya escribía y leía perfectamente el inglés y dominaba la aritmética avanzada. Con cinco años recién cumplidos, ya traducía el latín, el griego y el hebreo y recitaba a Homer, Milton y Dryden. Antes de cumplir los 12 años, ya había escrito un manual de gramática Siria y a los 13 dominaba tan bien el árabe que fue el encargado de escribir el discurso de bienvenida al embajador de Persia en su visita a Dublín. En resumen, se dice que a la edad de 13 años dominaba otros tantos idiomas.
Hamilton se comenzó a interesar por las matemáticas y la física después de1920, cuando conoció a un americano, Zerah Colburn, que podía hacer grandes cálculos mentales a velocidades increíbles. Cuando tenía 16 años, y habiendo leído el Eléments d’algèbre de Alexis-Claude Clairaut y la Principia de NeQton,Hamilton se introdujo en la lectura de los 5 volúmenes del Traité de mécanique céleste de Pierre-Simone Laplace. La detección de un error en el razonamiento de Laplace hizó que el joven Hamilton llamase la atención de John Brinkley, profesor de astronomía en el Trinity College. Con 17 años, Hamilton envió a Brinkley, por aquel entonces ya presidente de la Royal Irish Academy una original memoria sobre óptica geométrica y, cuando éste la presentó ante la Academia, se dice que remarcó "Este joven, no voy a decir que será, sino es el primer matemático de su edad"

En 1823 Hamilton ingresa en el Trinity College, donde obtuvo los máximos honores, tanto en lenguas clásicas, como en matemáticas. Mientras tanto, él continuó con sus investigaciones en óptica y en abril de 1927 presentó su Theory of Sistems of Rays a la Academia. Éste tratado transformaba la óptica geométrica en una ciencia dotada de métodos matemáticos estableciendo un método uniforme aplicable a la resolución de cualquier problema en este campo. Hamilton comenzó desde el principio que Pierre de Fermat había establecido en el siglo XVII, conocido como Principio de Fermat, que establece que la luz recorre el camino que requiera menor tiempo al propagarse de un punto a otro, tanto si el camino es recto o alterado por la refracción. La idea básica de Hamilton fue considerar que el tiempo (o una cantidad parecida denominada acción)como una función de los puntos finales entre los cuales la luz pasa y demostrando que esa cantidad varía cuando las coordenadas de los puntos finales varían, de acuerdo con una ley que él denominó ley de acción covariacional. Además, demostró que toda la teoría es reductible al estudio de esa función característica.
Poco después de la presentación de su trabajo, y siendo todavía un estudiante sin graduar, el Trinity College le eligió para los puestos de Andrews profesor of astronomy y para el de Astrónomo Real de Irlanda, sucediendo a Brinkley, a quien le habían hecho obispo. Siendo aún un estudiante sin graduar (no teníani 22 años) se convirtió en examinador ex oficio de los graduados que se presentaban al Bishop Law Prize de matemáticas. Sus electores objetaron que se estaba otorgando a Hamilton un puesto de investigación libre de las pesadas responsabilidades de la enseñanza. Por consiguiente, en octubre de 1927, 5meses después de la publicación de su tratado de óptica, Hamilton fija su residencia cerca del Observatorio Dunsink, a 8 km de Dublín, donde vivió el resto de su vida. Demostró ser un observador sin éxito, sin embargo, grandes audiencias acudían a sus lecciones de astronomía, que gozaban de un inconfundible sabor literario. Y es que, a lo largo de su vida, Hamilton se sintió muy atraído por la literatura, y consideraba al poeta William Wordsworth entre sus amigos, aunque Wordsworth le recomendó que escribiera matemáticas antes que poesía.
Seis años después de trasladarse a Dunsink, Hamilton se casó con Maria Bayley, hija del rector del County Tipperary. Del matrimonio nacieron dos niños y una niña, pero su mujer no era muy buena en los quehaceres domésticos; como resultado, Hamilton nunca tuvo comidas regulares y terminó confiando excesivamente en el alcohol. Solía trabajar en el comedor y la cocinera le solía traer chuletas de cordero de vez en cuando. Después de su muerte, se encontraron restos de huesos en platos entre sus papeles.
En 1835, Hamilton fue el encargado de la organización de la British Association for the Advancement of Science reunida en Dublín, y al finalizar la cena de despedida, fue nombrado caballero. Dos años después fue nombrado presidente dela Royal Irish Academy. En 1843, le fue otorgada una pensión de 200 libras anuales por el gobierno británico.
Mientras padecía la que sería su última enfermedad, un ataque de gota, Hamilton recibió una gran satisfacción al saberse como un nombre seguro paraformar parte de la Foreign Associates de la recién formada National Academy of the United States.

2. Trabajos de William Rowan Hamilton.

En 1832 Hamilton publicó un artículo complementario a su teoría derayos en el que predecía que, como resultado de su teoría, un fenómenocompletamente inesperado debería ser encontrado en la refracción de la luz enlos cristales biaxiales. Éste consistiría en un espectro de interferencia quedaría como resultado dos grupos de anillos concéntricos. Se conocía tiempoatrás que ciertos cristales de este tipo, como el topacio, daban origen a dosrayos refractados por cada rayo incidente. La teoría de la doble refracciónhabía sido estudiada antes por el físico Agustin Fresnel. Hamilton descubrióaplicando su método que, bajo ciertas condiciones, un rayo incidente podía darorigen a infinitos rayos refractados en un cristal biaxial, y que formarían uncono. La predicción hamiltoniana de la refracción cónica se guarda en losanales de la historia como uno de los mayores descubrimientos en óptica, y fueconfirmada experimentalmente en apenas dos meses por un colega, Humphrey Lloyd.
Hoy por hoy, su trabajo en la unificación de la óptica y la dinámica seconsidera mucho más importante que su predicción de la refracción cónica. En1835 fue publicada su memoria On a General Method in Dynamics. En ella,siguiendo la idea de Lagrange de reformular las leyes de NeQton, aplicaba suidea de función característica a los sistemas de cuerpos en movimiento yexpresaba las ecuaciones del movimiento de una forma que revelaba la dualidadexistente entre las componentes del momento de un sistema dinámico y lascoordenadas que determinan su posición, y demostraba la equivalencia de lastres formulaciones. Aunque las ecuaciones canónicas de Hamilton expresaban estadualidad y reducía toda la dinámica a un problema de cálculo variacional muyfamiliar para los estudiantes de dinámica, el profundo significado de ladualidad que él descubrió no fue apreciado hasta casi 100 años después,hasta la aparición de la mecánica cuántica y el desarrollo de la ecuación deonda de Schrödinger. Para sostener toda la teoría introdujo una nueva función,conocida como hamiltoniano que une las energías potencial y cinética y delcual derivan las ecuaciones del movimiento.
Ese mismo año, Hamilton descubrió los cuaterniones; estos son conjuntos decuatro números que, satisfaciendo ciertas reglas de igualdad, adición ymultiplicación, son de gran utilidad en el estudio de cantidades en el espaciotridimensional que requieren conocer magnitud y dirección. Este descubrimientomarcó un hito en la historia, ya que liberaba al álgebra del postulado deconmutabilidad de la multiplicación (el orden de los factores no altera elresultado). Sus investigaciones en este campo habían comenzado 10 años antescon un innovador documento sobre parejas algebraicas de números, en el cual laentidad básica ya no era números simples, sino parejas ordenadas de números.Hamilton empleó esta idea para desarrollar una rigurosa teoría sobre los númeroscomplejos. Este trabajo fue considerado un intento pionero de dotar al álgebrade una base axiomática parecida a la de la geometría. La geometría de númeroscomplejos se basa en vectores bidimensionales sobre un plano. En su intento porllevar a cabo una generalización de su trabajo en el espacio tridimensional,los fracasos se sucedieron durante años al no poder resolver problemasfundamentales cuando intentaba aplicar "tripletes" análogos a lasparejas en un espacio bidimensional. Repentinamente, el 16 de octubre de 1943,mientras caminaba hacia Dublín por el Royal Canal, la solución se le apareciórepentinamente: las operaciones geométricas en el espacio tridimensional norequiere "tripletes", sino "cuadripletes". La razón esaparentemente sencilla, mientras que en un plano parejas algebraicas bastan, yaque son equivalentes a un multiplicador y un ángulo, en el espaciotridimensional la orientación del plano sobre si mismo es variable, lo cualnecesita dos números más para ser descrito. Hamilton estaba tan excitado porsu descubrimiento que al pasar por el Brougham Bridge de camino, grabó las fórmulasfundamentales de los cuaterniones en la piedra: i² = j² =k² = ijk = -1.

El descubrimiento de Hamilton fue una ruptura con la tradición, porqueabandonaba la ley conmutativa propia de la multiplicación ( ab = ba ). Lossiguientes 22 años los dedicaría al desarrollo del álgebra de cuaterniones ysus aplicaciones. Su trabajo fue publicado a título póstumo en 1866 bajo elnombre de The Elements of Quaternions. Desafortunadamente, Hamilton creyó quelos cuaterniones serían adaptados para la resolución de física aplicada, noobstante, fue la versión más simplificada de J. Willard Gibbs, conocida comoanálisis vectorial, la que fue eventualmente adoptada por los matemáticos y físicos.Sin embargo, el valor del descubrimiento de Hamilton descansa en las matemáticaspuras, donde permitió el desarrollo del álgebra abstracta moderna.

3. Definición de Cuaternión.

Llamaremos cuaternión o simplemente hipercomplejos de Hamilton a una expresiónde la forma: Q = a b i c j d k con:

a, b, c, d Î Â . Además i, j, k unidades imaginarias, soluciones dos a dosde la ecuación x² = -1.
i j = k = - j i ;
j k = i = - k j;
k i = j = - i k;
i² = j² = k² = -1

Diremos que un cuaternión es imaginario puro si el elemento primer elementode la expresión es igual a cero (a = 0).
Decimos que Q = Q^/, con Q, Q^{/ Î} Q; es decir doscuaterniones son iguales, si, y sólo si, son equivalentes las componentes de suparte real e imaginarias:
a = a^/
b = b^/
c = c^/
d = d^/

Operaciones Fundamentales.
La suma y la sustracción está definida componente a componente; es decir:
Q Q^/ = (a a^/) (b b^/) i (c c^/) j (d d^/) k
Q - Q^/ = (a - a^/) (b - b^/) i (c- c^/) j (d - d^/) k con Q^/ = a^/ b^/ i c^/ j d^/ k
(a b i c j d k) (a – b i – c j – d k) = 2 a
Y el producto está definido de la siguiente forma:
Q^// = (a b i c j d k) (a^/ b^/ i c^/j d^/ k) = a a^/ - b b^/ - c c^/ - d d^/ (a b^/ a^/ b c d^/ - c^/ d) i (a c^/ a^/ c – b d^/ - b^/ d) j (a d^/ a^/ d b c^/ - b^/ c) k.
a^// = a a^/ – b b^/ – c c^/ – d d^/
b^// = a b^/ a^/ b c d^/ - c^/d
c^// = a c^/ a^/ c – b d^/ - b^/d
d^// = a d^/ a^/ d b c^/ -b^/c
Q^// = a^// b^// i c^// j d^//k

Producto por la conjugada:

• (a b i c j d k) (a – b i – c j – d k) = a² b² c² d².

A este cuaternión Q₁ = a – b i – c j – d k se va a llamar cuaternión conjugado del cuaternión a b i c j d k.
Todo lo anterior con 1 = (1, 0, 0, 0) ; i = (0, 1, 0, 0) ; j = (0, 0, 1, 0) ; k= (0, 0, 0, 1).
I) Conmutatividad de la suma Q₁ Q₂ = Q₂ Q₁.
II) Conmutatividad del producto Q₁ * Q₂ = Q₂ *Q_1.
III) Asociatividad de la suma (Q₁ Q₂) Q₃= Q₁ ( Q₂ Q₃).
IV) Asociatividad del producto (Q₁ * Q₂) * Q₃ =Q₁ * (Q₂ * Q₃).
V) Distributividad (Q₁ Q₂) * Q₃ = (Q₁ Q₃) ( Q₂ Q₃ ).

El cuaternión (0, 0, 0, 0) es el cuaternión neutro para la suma.
Es evidente que con la suma como esta definida: (a, b, c, d) (0, 0, 0, 0) =(a, b, c, d).
Análogamente el neutro para el producto es (1, 0, 0, 0) puesto que:
(a, b, c, d)(1, 0, 0, 0) = (a, b, c, d) en la forma es que esta definido el producto.
k (a, b, c, d) = (ka, kb, kc, kd)
(0, 1, 0, 0)(0, 1, 0, 0) = (-1, 0, 0, 0) como podemos ver este número cuaternión se identifica por i².
Es posible establecer reciproco para la suma y la multiplicación
De Q₁ Q₂ = 0 se infiere que:
a a^/ = 0 ; b b^/ = 0 ; c c^/ = 0; d d^/= 0.
Esto implica que a^/ = - a; b^/ = - b; c^/ = - c;d^/ = - d .Por tanto Q₂ = -a – b i – c j –d k .

Q₂ = -Q₁

Análogamente, si Q₁ * Q₂ = 1. Con Q₁ ¹(0, 0, 0, 0) .
Es decir que Q₂ va a ser el inverso multiplicativo para Q₁.

Q₂ = si Q₁ = a + b i + c j + d k.

Otras propiedades:
Nota: El significado del la línea encima de los cuaternion es es el conjugado de Q.

1. Idempotencia:
2. Aditividad:
3. Multiplicidad:
4. Divisibilidad:

El cuadrado de un cuaternión va ha ser Q² = (a + b i + c j + d k) (a + b i + c j + d k) =
= a² – b² – c² – d² + 2 a b i + 2 a c j + 2 a d k.

Valor Absoluto.
Llamamos valor absoluto o módulo del cuaternión al número real no negativo siendo a, b, c, d XÂ .Es decir por definición:

| Q | = | a + b i + c j + d k | =

Es evidente que si le queremos hallar el valor absoluto a cualquier cuaternión:
Q + Q^/, Q^//, Q - Q^/ ect; va a ser igual a la raíz cuadrada del cuadrado de los elementos reales de cada unidad imaginaria.
Así el | Q |² = a² + b² + c² + d².
Ahora con Q = a + b i + c j + d k y Q₁ = a – b i – c j – d k (conjugado del primero):

| | = | Q |

| Q₁ Q₂ | = | Q₁ | | Q₂ |

| Q₁ Q₂ |² = | Q₁ |² | Q₂ |²

Formas distintas de definir un cuaternión.

Y : Q ® Â ⁴
a + b i + c j + d k ® (a, b, c, d) a, b, c, d Î Â .
El cuádruplo (a, b, c, d) va a definir uno y solo un cuaternión (ordenado).
- Por tanto es inyectiva.
" a, b, c, d Î Â cada cuádruplo (a, b , c, d) va a tener a + b i + c j + d k (cuaternión) único y definido.
- Por tanto es sobreyectiva.
\ Esa una función biyectiva.
Ahora nos preguntamos ¿Será esta función un isomorfismo? Investiguemos:
Para ello solo faltaría probar que se cumple lo siguiente:
Y [( a + b i + c j + d k)( s + r i + t j + h k)] = Y [a + b i + c j + d k] Y [ s + r i + tj + h k].
Con lo que se prueba, que esta función es un isomorfismo.
Puesto que (Q , +) es un grupo abeliano, con la suma como esta definida; que
el producto es distributivo con respecto a la suma Q₁ (Q₂ + Q₃) = Q₁ Q₂ + Q₁ Q₃
y el producto es asociativo Q₁ (Q₂ Q₃) = (Q₁ Q₂ ) Q₃ .Entonces los cuaterniones con las operaciones de suma y producto son un anillo.
\ (Q, +, *) es un anillo.
La forma matricial de definir a un cuaternión es:
W : Q ® M

a + b i + c j + d k ® ( )

Para aclarar esta notación es conveniente desarrollar la siguiente forma, si tomamos 1 = ( ) i = ( ) j = ( ) k = ( ).

Seria entonces el cuaternión:

a + b i + c j + d k = a ( ) +b ( ) +c ( ) +d ( )

Si sumamos las matrices de la derecha daría la matriz definida en la función W .

Y solo quedaría preguntarse ¿Será esta función un isomorfismo? Sí lo es, y la demostración es equivalente a la de la función anterior (Y ).Si calculamos el determinante a la matriz ( ) y calcula el módulo al cuaternión a + b i + c j + d k veríamos que dan el mismo resultado, por tanto se ve claramente que esta función es un isomorfismo.

Forma trigonometría de definir un cuaternión:

P : Q ® T T: Formas trigonometrías.

a + b i + c j + d k ® r ₀cisq + (r ₁cisb ) j

Ahora si a + b i = r ₀ cisq ; c + d i = r ₁ cisb ; - c + d I = - r ₁cis(-b ) ; a – bi=r ₀cis(-q ).

a + b i, c + d i, - c + d i, a – b i Î C. Si calculamos el módulo de los números complejos anteriores serian: r ₀ = | a + b i | = | a – b i | = ; r ₁ = | c +di | = | -c + di | = .

Entonces basándonos en la forma matricial quedaría la matriz ( ).Entonces quedaría otra función definida que le llamaremos (J ) y seria :

J : Q ® M_T

a + bi+ cj + dk ® ( ) veamos que:

( ) = ( ) + ( ).

( ) = ( )+( )

+ ( ) + ( ).

( )

4. Funciones de una variable hipercompleja.

Si una variable w está relacionada con z que a cada valor de z en R corresponde un valor o conjunto de valores definidos de w, entonces w es una función de la variable hipercompleja z,

w = f ( z )
Si z = a + b i + c j + d k y w = u + v i + s j + t k con los valores de a, b, c, d, u, v, s, t Î Â
u + v i + s j + t k = f (a + b i + c j + d k), y cada una de las variables reales u, v, s, t XÂ están determinadas por el cuádruple real a, b, c, d Î Â .Es decir,
u = u( a, b, c, d ), v = v( a, b, c, d ), s = s( a, b, c, d ), t = t( a, b, c, d ).
Ejemplo: w = z ² + 5
u + v i + s j + t k = (a + b i + c j + d k)² + 5
u + v i + s j + t k = a² – b² – c² – d² + 2 a b i + 2 a c j + 2 a d k + 5
Entonces: u(a, b, c, d) = a² – b² – c² – d²
v (a, b, c, d) = 2 a b
s (a, b, c, d) = 2 a c
t (a, b, c, d) = 2 a d.

Definición de Límite.
Sea f ( z ) una función, definida en todos los puntos en algún entorno de z₀.Decimos que w₀ es el limite de f ( z ), cuando z tiene a z₀ ,

Es decir que para todo epsilon positivo existe un número positivo landa tal que:

| f ( z ) – w₀ | < e cuando | z – z₀ | < d ( z ≠ z₀ ).

Supongamos que, donde f ( z ) = u + v i + s j + t k ,

z = a + b i + c j + d k z₀ = a₀ + b₀ i + c₀ j + d₀ k .Entonces por la desigualdad se convierte en :
| u + v i + s j + t k – (u₀ + v₀ i + s₀ j + t₀ k) | < e
cuando: | a + b i + c j + d k – (a₀ + b₀ i + c₀ j + d₀ k) | < d .
| (u – u₀) + (v – v₀) i + (s – s₀) j + (t – t₀) k | < e
cuando: | (a – a₀) + (b – b₀) i + (c – c₀) j + (d – d₀) k | < d
De modo que hay un entorno del punto (a₀, b₀, c₀, d₀) en el cual | a – a₀ | < e para todo punto que pertenece a él.

Definamos una función f ( z ) = w = u + v i + s j + t k tal que:

f^/( z ) = + i + j + k

f^/( z ) = + i + j + k

f^/( z ) = + i + j + k

f^/( z ) = + i + j + k

Entonces:

f^/ ( z ) = + i + j + k

f^/ ( z ) = - i + - k + j

f^/ ( z ) = - j + k + - i

f^/ ( z ) = - k - j + i +

De las igualdades anteriores se concluye que una función hipercompleja es Analítica o entera si:

= = =

= - = - =

= = - = -

= - = = -

Lo anterior expuesto es teorema generalizado de Cauchy-Riemann.

Autor:
Mijail Andrés Saralain Figueredo
mijailsf48@yahoo.es

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