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Procedimientos para el cálculo de guitarras de ruedas intercambiables de máquina de herramienta

Resumen: En algunos tipos de máquinas herramienta convencionales se utilizan guitarras de ruedas dentadas intercambiables. El cálculo manual de guitarras de ruedas intercambiables puede resultar engorroso, tedioso e inexacto, y por eso, entre otras razones, se trata de evadir. No obstante, en ocasiones resulta totalmente inevitable y el tecnólogo o el ingeniero tiene que enfrentar esa tarea. Palabras clave: Guitarras de ruedas intercambiables; guitarras de ruedas de recambio, guitarras de máquinas herramienta.
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Autor: Dr. Sergio F. Padrón Soroa

RESUMEN
En algunos tipos de máquinas herramienta convencionales se utilizan guitarras de ruedas dentadas intercambiables. El cálculo manual de guitarras de ruedas intercambiables puede resultar engorroso, tedioso e inexacto, y por eso, entre otras razones, se trata de evadir. No obstante, en ocasiones resulta totalmente inevitable y el tecnólogo o el ingeniero tiene que enfrentar esa tarea. 

En este trabajo se presentan los siguientes procedimientos para hacer estos cálculos: simplificación de fracciones, fracción reducida, conversión de decimales en fracciones y tanteo. Se muestran además algunos ejemplos de cálculos. 

Palabras clave: Guitarras de ruedas intercambiables; guitarras de ruedas de recambio, guitarras de máquinas herramienta.

I. Introducción 
En algunos tipos de máquinas herramienta convencionales se utilizan guitarras de ruedas dentadas intercambiables (o de recambio, como también se les llama). Entre ellas se encuentran:
· La guitarra de roscar del torno universal, que se calcula excepcionalmente cuando es necesario tallar una rosca de paso no normalizado.
· La guitarra diferencial del cabezal divisor de la fresadora, que es necesaria para hacer divisiones diferenciales (cuando la cantidad de divisiones a obtener no tiene solución con la división simple).
· La guitarra entre la mesa de la fresadora universal y el cabezal divisor para tallar ranuras helicoidales.
· La guitarra del movimiento axial del husillo de la mandrinadora horizontal, para tallar roscas a punta de cuchilla.
· Las guitarras del torno destalonador (son varias).
· Las guitarras de las talladoras de engranajes (son varias, según el tipo de máquina y el tipo de rueda a tallar).

Algunas de estas guitarras, como la del torno, se calculan excepcionalmente; otras se calculan con cierta frecuencia, como las del cabezal divisor; y hay otras, como las de las talladoras de dientes, que se calculan cada vez que se va a elaborar una nueva pieza.

Con la irrupción en los talleres de maquinado de las máquinas CNC ha ido disminuyendo la necesidad de calcular las guitarras de ruedas intercambiables, que son propias de las máquinas convencionales. No obstante, las guitarras de este tipo siguen existiendo, y cada vez son menos los tecnólogos e ingenieros que saben calcularlas. Algunas veces ese cálculo es sencillo, pero otras veces resulta complejo si se pretende hacerlo a mano.

La tarea de calcular una guitarra se le puede dejar a una computadora también, pero previamente hay que elaborar el programa que, en general, no resulta muy complicado. Existe la opción de hacer programas para el cálculo de guitarras específicas de un modelo de máquina herramienta en particular, o hacer un programa más general, y por tanto más complicado, para calcular cualquier tipo de guitarra.

En este documento se hace referencia especialmente al cálculo manual de guitarras, que es el que se hace a pie de máquina.

II. Procedimientos para calcular guitarras
Para calcular la cantidad de dientes que debe tener cada una de las ruedas dentadas que forman una guitarra en una máquina herramienta hay que conocer primero la expresión de cálculo de la guitarra, la cual depende de la cadena cinemática en la que esté enclavada (la deducción de las expresiones de cálculo de las guitarras no es objetivo de este trabajo). También se requiere saber si la guitarra debe cumplir determinada condición de engrane. Pero el asunto esencial consiste en cómo determinar el número de dientes de cada engranaje. Para ello se pueden seguir algunos procedimientos:
· Simplificación de fracciones
· Fracción reducida
· Conversión de decimales en fracciones
· Tanteo

Primero se debe de intentar solucionar el problema de cálculo por el procedimiento de simplificación de fracciones, que es el único que da un resultado con error cero, además de ser el más sencillo. Hay guitarras que no admiten otro procedimiento, porque no admiten error, como las guitarras de división y rodamiento de las talladoras de engranajes. 

Si el primer procedimiento no resulta y la guitarra calculada puede admitir un determinado error o diferencia entre la relación de transmisión que se desea obtener (teórica) y la relación de transmisión posible (real), puede utilizarse alguno de los otros tres procedimientos, o la combinación de estos.

III. Procedimiento de simplificación de fracciones
Este procedimiento consiste en simplificar la fracción resultante de la expresión de cálculo de la guitarra, hasta llegar a un quebrado lo más simple posible. Después, por tanteo, se han de multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, en busca de ruedas dentadas que estén entre las disponibles. A continuación se ve un ejemplo.

Hacer el cálculo necesario para elaborar con el cabezal divisor una rueda de 53 dientes. El cabezal es de característica 40 (su husillo da una vuelta cuando la manivela se hace girar 40 vueltas), y su disco divisor tiene los siguientes círculos de agujeros: 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, y 47. Además, se cuenta con las siguientes ruedas intercambiables: 20, 24, 28, 30, 34, 36, 40, 45, 50, 55, 58, 60, 65, 70, 76, 80, 90 y 100 dientes.

El que estudie este problema podrá comprobar que no tiene solución mediante la división simple, por lo tanto, se acude a la división diferencial. Si se asume que la cantidad de dientes a obtener es Zo=54 (pudiera asumirse otra cualquiera), entonces:

Lo anterior significa que se afinará el cabezal divisor de modo que para cada división (o diente en este caso particular) la manivela de división sea movida por el operario 20 agujeros en el círculo de 27 agujeros del plato divisor. Pero como no se necesitan Zo = 54 dientes, sino Z = 53, a continuación se calcula la guitarra del movimiento diferencial:


Hay que destacar que no se admiten aproximaciones en el resultado de esta guitarra.

Nótese que la respuesta es positiva, de modo que el operario debe colocar las ruedas de la guitarra y lograr que al girar la manivela el disco divisor gire en el mismo sentido en que gire la manivela. 

Este procedimiento exige habilidades en la simplificación de fracciones, en la descomposición de una fracción en el producto equivalente de dos fracciones, y dominio del principio siguiente: cuando en una fracción se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la fracción no cambia su valor.

IV. Procedimiento de Fracción Reducida
Una fracción o quebrado ordinario se puede descomponer en forma de “fracción continua”. Para explicar el procedimiento, a continuación se plantea un ejemplo. Supóngase que la fracción a procesar es: 

Se hacen divisiones sucesivas. Primero se divide el denominador entre el numerador. El resto de esta división, se convierte en un divisor, y el divisor de la división realizada se convierte en el dividendo de la siguiente división. El proceso se repite hasta que el resto dé cero, tal como se muestra a continuación:


Si se quiere recuperar la fracción original, el procedimiento es el siguiente (con el mismo ejemplo):
=

Nótese que los cocientes obtenidos anteriormente pasan a formar los denominadores de esta expresión, pero sumándole siempre el inverso del siguiente cociente.
Si en la expresión anterior se desprecia el último término, que es en este ejemplo , se obtiene la fracción reducida, que es la fracción más aproximada a la original:


Como se puede ver, la cercanía es grande, y esto puede resultar muy útil para calcular con la mayor aproximación posible una relación de transmisión de una guitarra de ruedas intercambiables, cuando no resulta posible obtener la relación de transmisión exacta, y siempre que se trate de una guitarra que admite un mínimo de error. Resulta que la fracción original no es posible descomponerla en dos fracciones para formar una guitarra de cuatro ruedas, ni da solución para una guitarra de solo dos ruedas. Sin embargo, la fracción reducida puede ser ya una solución para una guitarra de dos ruedas (en este ejemplo sería una solución si hay disponibles una rueda con 24 dientes y otra con 55), pero también permite obtener cuatro ruedas si se descompone como sigue:


Cuando la primera fracción reducida no resulta útil, se puede hallar la segunda reducida. Esto es, en vez de despreciar el último término, que en el ejemplo anterior fue , se desprecian los dos últimos términos, lo que significaría en este mismo ejemplo desarrollado hasta ahora lo siguiente:



Tal como es de esperar, el resultado será una fracción aproximada a la original pero con un error mayor que si fuera la primera reducida.

Es importante comentar que este procedimiento en raras ocasiones resulta útil para calcular guitarras cuando en el numerador y el denominador aparece un número de más de tres cifras.


V. Conversión de un número decimal en su equivalente en forma de fracción o quebrado
Los números decimales se pueden convertir en fracciones o quebrados, generalmente con bastante exactitud. Pudiera pensarse que esto no tiene nada que ver con el cálculo de guitarras, pero una vez que el decimal haya sido convertido en una fracción se le puede aplicar el procedimiento de la fracción reducida y así calcular la guitarra. 

Resulta que se pueden presentar los siguientes casos:
1. Decimal exacto, por ejemplo: 0.18
2. Periódica pura, por ejemplo: 0.626262… (el 62 se repite infinitamente)
3. Periódica mixta: 0.3626262…. (el 62 se repite infinitamente, pero primero aparece una cifra que no se repite)

El decimal exacto se convierte en quebrado poniéndole como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras haya a la izquierda del punto decimal. Así:


En la periódica pura se forma una fracción cuyo denominador tiene tantos 9 como cifras se repiten en el decimal:

En la periódica mixta se hace una combinación de las dos anteriores:

Como se puede observar, se toma la cifra que no se repite (3) y se multiplica por 99; al resultado se le suma el número que se repite (62), y así se obtiene el numerador. El denominador tiene tantos 9 como cifras se repiten y tantos ceros como cifras que no se repiten.

Otro ejemplo de periódica mixta:

Por lo general, la fracción resultante no resulta muy útil para calcular una guitarra, pero a partir de ahí se le puede aplicar el procedimiento de fracción reducida. Sin embargo, tal como se dijo anteriormente, una fracción con números de más de tres cifras tiene altas posibilidades de no ser útil para calcular guitarras, como es este último ejemplo que acaba de presentarse.

Con frecuencia un decimal no cae dentro de ninguno de los tres casos anteriores.
Por ejemplo:

Cuando esto ocurre hay que estudiar bien el decimal y ver si puede aproximarse a uno de los casos explicados anteriormente. La propia palabra “aproximación” ya da la idea de que se está introduciendo un error, el cual solo al finalizar el cálculo se conocerá con exactitud, y se podrá decidir si es admisible o no.

El número que se pone como ejemplo puede aproximarse así:

Ahora, en busca de dos o cuatro ruedas dentadas para la supuesta relación de transmisión de esta guitarra que se ha tomado como ejemplo, se puede simplificar esta fracción ( ) y multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número convenientemente seleccionado de modo que se obtengan dos ruedas dentadas de entre las disponibles para esta guitarra. Si no se halla solución por esta vía, se le puede aplicar a este cálculo el procedimiento de fracción reducida.

A continuación se explica un ejemplo de aplicación de este procedimiento:
Calcular la guitarra del movimiento diferencial de la talladora de dientes modelo 5D32 para tallar una rueda de módulo m=5, con una fresa sinfín de una sola entrada (k=1). Los dientes a tallar tienen un ángulo de inclinación de la hélice de β= 27º11´28’’. Se dispone de las siguientes ruedas intercambiables: 20, 20, 23, 24, 25, 25, 30, 33, 34, 35, 37, 40, 41, 43, 45, 47, 48, 50, 53, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 67, 70, 71, 73, 75, 79, 80, 83, 85, 89, 90, 92, 95, 97, 98, 100 dientes. 

Para calcular la mencionada guitarra para esta máquina herramienta se emplea la siguiente expresión:

La necesidad de una computadora es ahora evidente, no obstante, se trata de hacerlo manualmente. Y se puede probar con cualquiera de los procedimientos explicados.

Es evidente que primero hay que convertir este decimal en una fracción, tal como se explicó anteriormente.


Ahora se puede hallar la solución:

Así que la diferencia entre la relación de transmisión teórica y la real es de:


El resultado es satisfactorio.

VI. Procedimiento de tanteo
Este procedimiento puede resultar tedioso y siempre queda la duda de si se ha hallado la guitarra con la relación de transmisión real más cercana a la teórica. Sin embargo, es la base del algoritmo que debe seguirse si se desea hacer un programa para ejecutar el cálculo de guitarras en una computadora. La versión manual del proceso de tanteo se puede entender mejor con un ejemplo.

Se va a tallar en un torno una rosca de módulo 9, pero entre los pasos de rosca que brinda esta máquina no aparece ése, por tanto, se recurre al cálculo de su guitarra. Las ruedas de recambio disponibles son las siguientes: 40, 86, 64, 36, 48, 57, 73, 66, 93, 127, 80, 60, 90, 120 y 54 dientes. Los pasos de rosca modular que aparecen en la tabla de la caja de avances son: 0,5 - 0,75 - 1 - 1,25 - 1,5 - 1,75 - 2 - 2,5 - 3 - 3,5 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 -10 -12 -14 -16 - 20 - 24 - 28 – 32 -40 – 48 - 56. Las ruedas que normalmente tiene la guitarra para tallar roscas de paso modular o diametral son:


La expresión que se emplea para este cálculo es la siguiente:


Donde,
i´g –es la relación de transmisión que normalmente tiene puesta la guitarra de roscar del torno.
Pr –es el paso de rosca que se desea obtener
Pt –es un paso de rosca escogido arbitrariamente en la caja de avances, y que es el que determina la posición en que deben colocarse las manivelas de dicha caja para obtener el paso Pr con la guitarra calculada.

Como ya se ha dicho, se puede escoger cualquier Pt de la tabla de la caja de avances. En este ejemplo se escoge módulo 8:

=
El procedimiento de simplificar estas fracciones no lleva a ninguna parte, de modo que se opta por el procedimiento de tanteo. Para ello primero se convierte todo en un decimal:

= 2,20890411…

Ahora se pueden buscar dos ruedas dentadas entre las disponibles que brinden una relación de transmisión muy cercana a ésta (se trata de buscar una guitarra de un solo par de ruedas). Por lo general no resulta, como en este ejemplo. Entonces el tanteo se torna tedioso, largo e inexacto, justo para una computadora. No obstante, si se insiste en el cálculo manual, el paso siguiente es escoger arbitrariamente dos ruedas y calcular las otras dos. Supóngase que se escoge arbitrariamente como primer par de ruedas 57/40.




A partir de aquí, se sustituye D por cada una de las ruedas disponibles (ya no están disponibles ni 57 ni 40), en busca de C: 
C = (1.550108147)(86) = 133,3 
C = (1.550108147)(64) = 99,2 
C = (1.550108147)(36) = 55,8 

Estos son resultados muy lejanos a un número entero, pero si se continúa el tanteo se descubre que:

Este es un valor bastante cercano a un número entero y, además, hay una rueda cuyo número de dientes es 93, así que:


Una relación de transmisión exactamente igual a la que se busca casi nunca se encuentra, de modo que es necesario aceptar un error (excepto en las cadenas de división de las talladoras y otras máquinas en las que no se admite error alguno). El error entre la relación de transmisión teórica (a alcanzar) y la real se puede calcular así:

La magnitud admisible del error es otro tema, pero en este ejemplo ese error se puede aceptar. 

Es evidente que en el proceso de tanteo se puede perder mucho tiempo, porque frecuentemente no se obtiene respuesta en el primer intento. 

A veces resulta útil obtener la raíz cuadrada de la relación de transmisión teórica y considerar que el primer par de ruedas de la guitarra es cercana a esa raíz cuadrada, y a partir de ahí comenzar el tanteo para obtener las otras dos ruedas. Eso es lo que se hizo precisamente en este ejemplo, aunque no se detalla: 


En este ejemplo resuelto falta por comentar que la guitarra de roscar del torno debe cumplir determinadas condiciones de engrane, lo que obliga en esta respuesta a intercambiar los numeradores. 

Si la guitarra es:

Entonces las condiciones de engrane son:

Para cumplir estos requisitos, la respuesta anterior debe transformarse en:

Vale esta aclaración para recordar que el orden de los factores no altera el producto, que aquí es la relación de transmisión.

VII. Otro ejemplo
En este ejemplo se combina la transformación de un decimal en quebrado y la fracción reducida. 

Calcular las guitarra del movimiento diferencial de la talladora de dientes modelo 5D32 para tallar una rueda de módulo m = 4, con una fresa sinfín de una sola entrada (k=1). Los dientes a tallar tienen un ángulo de inclinación de la hélice de β= 9º17´41’’. Se dispone de las siguientes ruedas intercambiables: 20, 20, 23, 24, 25, 25, 30, 33, 34, 35, 37, 40, 41, 43, 45, 47, 48, 50, 53, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 67, 70, 71, 73, 75, 79, 80, 83, 85, 89, 90, 92, 95, 97, 98, 100 dientes. La expresión a emplear para este cálculo es:

Si se estudia bien este número se descubre que puede aproximarse como sigue:



Ahora se puede hallar la fracción reducida:

La fracción reducida, despreciando la última cifra que sería , se obtiene así:


Como se puede ver el error alcanza un valor de: . Es totalmente aceptable.

VIII. Conclusiones
Como se puede apreciar, son varias las herramientas que se pueden emplear para el cálculo manual del número de dientes de cada una de las ruedas de una guitarra de una máquina herramienta convencional, pero con cualquiera de ellas se requiere de determinadas habilidades de cálculo. 

No existe una regla única, un procedimiento infalible, ni nada parecido. Los ejemplos anteriormente expuestos, como son ejemplos resueltos, pueden dar la impresión de que se trata de algo fácil, pero en general no lo es, no se encuentra la respuesta normalmente en el primer intento. Es por ello conveniente tener a mano siempre los procedimientos explicados aquí y los ejemplos, de modo que al presentarse la necesidad de este cálculo se pueda contar con este material de consulta.

BIBLIOGRAFIA
· Nikiláev, A., Máquinas Herramienta, Tomos I, II y III, editorial Pueblo y Educación, 1991, La Habana, Cuba.
· Archinov, N., Machine Tools Design, Vol. I, editorial MIR, 1989, Moscú.
· Padrón, S., Máquinas Herramienta y Datos de Corte, UCLV, 2007, Santa Clara, Cuba.
· Padrón, S., Curso de Máquinas Herramienta, http://pedu.fim.uclv.edu.cu/course/view.php?id=31 

AUTOR
Dr. Sergio F. Padrón Soroa
sergiops@uclv.edu.cu 
Departamento de Procesos Tecnológicos, 
Facultad de Ingeniería Mecánica, 
Universidad Central de Las Villas, Cuba.

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