Resumen:
Se pretende con la publicación de este artículo mostrar dos talleres, basados en la preparación de la asignatura Matemática, para contribuir a la preparación metodológica de los profesores en formación de la carrera de Ciencias Exactas, en la dirección del aprendizaje de la resolución de problemas matemáticamente modelables. Se comprobó la efectividad de estos talleres concebido con una muestra de seis profesores en formación, en los cuales se produjeron cambios significativos de los indicadores en el nivel de la preparación metodológica estudiada.

Introducción:
El profesor en formación de Ciencias Exactas es el protagonista y responsable de la enseñanza de las asignaturas que componen el área en un grado o año, incluida la dirección del aprendizaje de la resolución de problemas matemáticamente modelables (PMM), identificados, planteados y construidos a partir de situaciones de un contexto significativo para sus alumnos.
El profesor de Matemática debe estimular a sus alumnos para que procuren alcanzar un conocimiento y una comprensión de la asignatura, pues ello influye de manera directa en el desarrollo de su pensamiento lógico, al dotarlos de procedimientos, recursos y vías que les permitan interiorizar sus conocimientos para luego aplicarlos en la práctica.

Por esta razón, la resolución de PMM se ha convertido en el centro de la enseñanza de la Matemática en la época actual, por su influencia en el desarrollo del pensamiento reflexivo y creativo del estudiante. Elementos estos que le sirven al individuo para desempeñarse en cualquier esfera de la vida.

Por tanto los profesores de las asignaturas pertenecientes al área de Ciencias Exactas deben poseer un nivel adecuado de preparación metodológica para la dirección del aprendizaje de la resolución de PMM en correspondencia con los objetivos y contenidos de los programas docentes del Nivel Medio Superior que imparten y partiendo de las necesidades y potencialidades que tienen los alumnos.

Investigaciones en este campo (Labarrere, 1988; Schoenfeld, 1991; Campistrous y Rizo, 1996; Palacio y Sigarreta, 2001) ponen de manifiesto que la dirección del aprendizaje de la resolución de PMM es uno de los aspectos primordiales que enfrenta la didáctica de las ciencias en la actualidad.

Entre las principales dificultades detectadas en la preparación metodológica de profesores en formación en relación con esta temática tenemos:
• Conocimientos acerca de la dirección del aprendizaje de la resolución de PMM, entre los que podemos mencionar: descripción de los objetivos del programa de Matemática que imparte en relación con la resolución de PMM, los tipos de PMM y modelos específicos de resolución de PMM en el PEA de la asignatura de Matemática que se incluyen en el programa que imparte, así como la caracterización de las componentes de los instrumentos evaluativos de la resolución de PMM y el procedimiento para caracterizar el nivel de aprendizaje de la resolución de PMM en los alumnos a partir de la aplicación de instrumentos evaluativos.
A partir de ello se propone elaborar dos talleres, basados en la preparación de la asignatura Matemática, para contribuir a la preparación metodológica de los profesores en formación de la carrera de Ciencias Exactas, en la dirección del aprendizaje de la resolución de problemas matemáticamente modelables.

Desarrollo:
La preparación de la asignatura, como tipo esencial de actividad metodológica a desarrollar, en su concreción práctica, tiene tres fases fundamentales: dosificación del contenido por formas de enseñanza, análisis metodológico del sistema de clases de la unidad o subunidad y la preparación de las clases (Quintana, 2008: 20).

Teniendo en cuenta los criterios de Puig (1997) según los cuales “El análisis didáctico de las matemáticas es el análisis de los contenidos que se realiza al servicio de la organización de su enseñanza en los sistemas educativos”, la autora de este trabajo concibe que en la planificación de las clases donde se resolverán problemas, debe realizarse un análisis didáctico de cada uno estos.

Teniendo en cuenta criterios aportados por Gómez sobre el análisis didáctico (Gómez, 2006) y otros referentes teóricos acerca de la resolución de problemas, la autora de este trabajo considera que el análisis didáctico de un problema deberá incluir:
1. Una modelación de las etapas de su resolución.
2. La determinación de la relación del problema con los objetivos y contenidos del programa y las unidades que lo componen.
3. La determinación de la relación del problema con las líneas directrices, competencias del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
4. La determinación de la relación del problema con los objetivos y contenidos de otras disciplinas del currículo.
5. La determinación de la relación del problema con los programas directores y ejes transversales del currículo.
6. La precisión de los factores que pueden influir en su resolución por los alumnos.
7. La elaboración de hipótesis sobre el comportamiento de los alumnos en la resolución del problema, incluidos los posibles errores a cometer.
8. La descripción de los métodos, procedimientos, medios y formas de organización a utilizar en la dirección del aprendizaje de la resolución del problema por funciones didácticas.
9. El tiempo a utilizar en la enseñanza-aprendizaje de la resolución del problema.

La modelación de las etapas de resolución, consiste en una representación del contenido de estas etapas según el modelo utilizado.

En la determinación de la relación del problema con los objetivos y contenidos del programa y sus unidades, se deben precisar los objetivos del programa y de las unidades a cuyo cumplimiento contribuye la resolución del problema, así como los contenidos con los cuales el problema se relaciona, teniendo en cuenta las diferentes vías que existen para resolverlo.

Además de la determinación de la relación del problema con los objetivos y contenidos del programa, es importante que se analice su relación con las directrices y competencias a lograr en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, establecidas por la Comisión Nacional de Matemática (MINED, 2007b).

La determinación de la relación de un PMM con los objetivos y contenidos de los programas de otras disciplinas del currículo, se enmarca en una de las acciones de la interdisciplinariedad escolar (Ruiz y otros, 2006). En el caso de la relación con los contenidos, además de la precisión de los que se aplican, se deben determinar las relaciones de precedencia, es decir, si estos contenidos han sido enseñados y aprendidos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la disciplina en cuestión en el momento en que se propondrá el problema a los alumnos.

La determinación de la relación del problema con los programas directores y ejes transversales del currículo también se enmarca en la interdisciplinariedad escolar. Específicamente se debe precisar si el contexto del problema tiene alguna relación con algunos de estos programas y ejes transversales y qué contribución puede aportar su resolución a ellos.

En la precisión de los factores que pueden influir en la resolución se deben seguir las ideas de Schoenfeld, determinando los recursos necesarios para resolver el problema, incluidas las habilidades requeridas, las heurísticas posibles a utilizar, las posibles creencias de los alumnos en relación con el problema, así como los recursos disponibles para realizar el control del proceso de manera que los alumnos puedan identificar, valorar y corregir los errores cometidos (Mora, 2008).

Después de la precisión de los factores que pueden influir en la resolución del problema, su análisis didáctico exige que el profesor, basándose en esta determinación y a partir del conocimiento de sus alumnos, elabore hipótesis acerca del comportamiento de estos ante el problema. Ello le permitirá proyectar las direcciones hacia las cuales enfocar el aseguramiento del nivel de partida necesario para resolver el problema.

En la descripción de los métodos, procedimientos, medios y formas de organización a utilizar se deben precisar, por funciones didácticas, cómo se va a llevar a cabo el proceso de enseñaza-aprendizaje de la resolución del problema, siempre teniendo en cuenta que el aseguramiento del nivel de partida no solo corresponde al momento en el cual se propone el problema a los alumnos.

En la literatura consultada se concibe el taller como un modo de proceder en la organización de una actividad colectiva y participativa con un trabajo activo, creativo, concreto, puntual y sistemático de sus participantes, mediante el aporte e intercambio de experiencias, discusiones, consensos y demás aportaciones creativas, que ayudan a generar puntos de vista, soluciones nuevas y alternativas a problemas dados.

En un taller intervienen como participantes: un coordinador, cuya función es la conducción de la concepción de las ideas individuales y colectivas del grupo y los miembros del grupo hacia los cuales está dirigida la preparación (asistentes). En cada taller se elige un asistente para que registre la información fundamental que se genera en situación de colaboración, el cual recibe el nombre de registrador del taller (Pérez, 2008: 49).

Las etapas para la ejecución de los dos talleres fueron diseñadas para cinco sesiones de trabajo como se describe a continuación:
1. La sesión de inicio:
Moviliza a los asistentes para promover ideas nuevas y variadas, así lograr la originalidad posible en estos talleres.
La discusión:
Tiene como finalidad valorar los juicios, potencialidades y limitaciones que poseen los asistentes sobre sí mismos y a través de la comunicación con otros, mediante el empleo de técnicas creativas. Aplicar procedimientos y técnicas para resolver problemas didácticos creativos desde las actividades que encierra la función docente – metodológica del profesor.

2. La sesión de evaluación:
Tiene como finalidad la emisión de juicios de valor por parte de los asistentes sobre el desempeño de los protagonistas del taller.
Preparación para el próximo taller:
Se orientan las tareas a ejecutar por los asistentes (profesores en formación) dirigidos al aseguramiento del nivel de partida para el próximo taller.
Cierre del taller:

Se formulan interrogantes dirigidas a medir el estado de satisfacción que sienten los profesores en formación como resultado de la realización de éste.

Taller 1:

Título: Resolución de problemas matemáticamente modelables que responden a los objetivos de los programas de Matemática del Nivel Medio Superior.

Objetivo: Debatir vías de resolución de problemas matemáticos que responden a los objetivos de los programas de Matemática del Nivel Medio Superior.

Sesión de inicio.
La coordinadora comprueba la ejecución de la tarea orientada previa a este taller, que consistió en resolver problemas que se encuentran en los programas de Matemática del Nivel Medio Superior y les pregunta a los asistentes las dudas que se les presentaron al resolverlas.

Discusión.
Para iniciar la sesión la coordinadora propone a los asistentes:
1) Debatir los procedimientos utilizado por ellos en la resolución de los problemas propuestos.
2) Valorar la relación entre las tareas resueltas y los objetivos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el Nivel Medio Superior en relación con la resolución de problemas.
Se selecciona un registrador para asentar por escrito las vías y respuestas más originales.

Sesión de evaluación.
Los profesores en formación evalúan su participación y valoran los diferentes procedimientos de resolución aplicados, así como las vías de resolución más racionales empleadas. La coordinadora valora el trabajo realizado por los asistentes y se refiere a los errores cometidos por ellos en la resolución de los problemas.
Preparación para el próximo taller.
Tarea para el trabajo independiente:

Elabora o selecciona un problema que pueda proponer a sus alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
a) Resuelva el problema representando los resultados fundamentales de cada uno de las etapas del proceso.
b) Determine la relación del problema con los objetivos y contenidos del programa y las unidades que lo componen.
c) Determine la relación del problema con las líneas directrices y competencias del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Si resulta necesario consulte el documento “Proyecto de documento sobre las líneas directrices y competencias en la asignatura Matemática”.
d) ¿Qué relación tiene el problema con los programas de otras disciplinas del currículo?
e) ¿Qué relación tiene el problema con los programas directores y los ejes transversales?
f) Determine los conceptos, proposiciones, procedimientos, habilidades y heurísticas que como condiciones previas debe dominar el alumno para resolver el problema.
g) ¿Qué comportamientos espera de sus alumnos si se les propone resolver este problema? ¿Cuáles son los posibles errores que pueden cometer y con cuáles recursos cree cuentan para identificarlos, valorarlos y corregirlos?
h) ¿Qué métodos, procedimientos, medios y formas de organización cree se pueden utilizar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución del problema?
i) ¿Qué tiempo estima necesario utilizar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución del problema?
Cierre del taller.
Se les pide a los asistentes que expresen su opinión acerca de la satisfacción de sus intereses durante el taller y que ofrezcan recomendaciones para próximos talleres.

Taller 2:
Título: Análisis didáctico de problemas matemáticamente modelables posibles a resolver en el Nivel Medio Superior.
Objetivo: Valorar el análisis didáctico de PMM que se corresponden con objetivos de los programas del Nivel Medio Superior.

Sesión de Inicio.
La coordinadora comprueba si los asistentes resolvieron la tarea orientada en el taller anterior y pregunta las dudas existentes al resolverla.

Discusión.
Se inicia la sesión conformando tres dúos de profesores en formación, cada dúo realiza el análisis didáctico, teniendo en cuenta la modelación de las etapas de su resolución de los problemas resueltos por ellos en el taller anterior.
Se selecciona un registrador para anotar los aspectos más significativos del debate.

Sesión de Evaluación.
Cada profesor en formación evalúa su participación y la de sus compañeros en el taller, destacando el dúo que realizó la mejor exposición, y valora lo aprendido sobre el tema durante el taller.
Cierre del taller.
La coordinadora les pide a los asistentes que realicen una valoración de la contribución del taller a su nivel de preparación metodológica en la dirección del aprendizaje de la resolución de PMM.

Conclusiones:
Se pudo confirmar, que existían limitaciones en el nivel de preparación metodológica de los profesores en formación de la carrera de Ciencias Exactas en la dirección del aprendizaje de la resolución de problemas matemáticamente modelables.
Para contribuir a elevar este nivel de preparación, de acuerdo con el estudio realizado, se considera necesario realizar dos talleres que abordan el contenido de esta preparación. El desarrollo de cada taller transita por las etapas: sesión de inicio, sesión de discusión, sesión de evaluación, preparación para el próximo taller y cierre.
Mediante las mediciones realizadas durante la investigación se constató que los talleres concebidos, favorece la ampliación del nivel de preparación metodológica de los profesores en formación de la carrera de Ciencias Exactas en la dirección del aprendizaje de la resolución de problemas matemáticamente modelables en los docentes con los cuales se implementó.

Bibliografía:
* Campistrous, L. & Rizo, C. (1996). Aprende a resolver problemas aritméticos. La Habana: Pueblo y Educación.
* Gómez, P. (2006). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Granada. España.
* Labarrere, A. (1987). Bases psicológicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la Escuela Primaria. La Habana: Pueblo y Educación.
* Palacio, J. (2001): Contextualización de problemas matemáticos. Congreso Internacional de Pedagogía. La Habana.
* Pérez, A. (2008). La preparación de los Jefes de Departamentos de Ciencias en el tratamiento de la resolución de problemas. Tesis en opción al título académico de Máster en Ciencias de la Educación. ISP Capitán Silverio Blanco. Sancti Spíritus.
* Sigarreta, J. M. (2001). Incidencia del tratamiento de los problemas matemáticos en la formación de valores. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. No publicada. ISP “José de la Luz y Caballero”. Holguín.
* Schoenfeld, A. H. (2000). Propósitos y métodos de investigación en Educación Matemática (J. D. Godino, trad.). Universidad de Granada. España. Recuperado de http://www.ugr.es/~jgodino. (Trabajo original publicado en Notices of the AMS, 47 (6), en el año 2000).
* Puig, L. (1997). Análisis fenomenológico. En, Luis Rico (Coord.). La educación matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori.
* Quintana, H. (2008). Estrategia metodológica dirigida a la preparación de los maestros del 1er ciclo para el tratamiento de problemas aritméticos no publicada. Tesis en opción al título de Máster en Ciencias Pedagógicas. Sancti Spíritus. Cuba.
* Ruiz, A. y otros (2006). Concepciones didácticas sobre la interdisciplinariedad escolar en el área de Ciencias Exactas de la Educación Preuniversitaria. Resultado del proyecto de investigación “La preparación del jefe de departamento de preuniversitario para el tratamiento de la interdisciplinariedad desde el trabajo metodológico”. ISP Silverio Blanco. Sancti Spíritus. Cuba.