Indice
1. Duración
2. Convexidad
3. Uso de la Duración y Convexidad para determinar la sensibilidad del Bono
4. Apéndice #1
5. Apéndice #2
6. Apéndice #3
7. Apéndice #4

1. Duración

La Duración es un indicador desarrollado por Frederick Macaulay en 1938 pero que a partir de la década de los años '70 cobró gran importancia en las Finanzas Internacionales manteniendo su vigencia hoy en día. Se la utiliza en la valoración de Bonos de dos maneras:

• Para determinar el plazo promedio del bono, y,
• Para determinar la sensibilidad del bono

En el primer caso el valor de la Duración, expresada en años, indica el plazo por vencer promedio del papel. Hablamos de promedio porque los bonos poseen algunos flujos de pago, cada uno con un plazo de vencimiento distinto, en este caso la Duración arrojará los años (o días) por vencer que en promedio presenta el bono en mención. Cabe indicar que no es un promedio simple sino un promedio ponderado, usando como ponderador al Valor Actual de cada flujo.

Lógicamente, si tenemos un papel con un solo flujo por vencer el promedio sería su mismo plazo por lo cual no es necesario hacer ningún cálculo, sino que su Duración será el mismo plazo por vencer.

La Duración, también llamada Duración de Macaulay nos servirá, entonces, como un criterio adicional al momento de elegir entre distintos bonos, ya que nos dará una idea de cuán cercana está la recuperación de lo invertido en ellos. Normalmente se preferirá un bono con menor Duración.

La Fórmula de la Duración de Macaulay es:

donde:
d = duración de Macaulay medida en años
VA_t = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucio
VA_i = Valor Actual del flujo i
pv_i = plazo por vencer en días del flujo i

Otro indicador es la Duración Modificada, conocida en algunos textos como Volatilidad del Bono. Ésta realmente no es sino un paso previo para llegar a la Duración en Dólares, su fórmula es:

donde:
dm = duración modificada
R = Rendimiento Efectivo Anual
Finalmente la Duración en Dólares, que se usa para medir la sensibilidad del bono, será:

d$

donde:
d$ = duración en dólares
dm = duración modificada
VA_t = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucio

La Duración en Dólares es la Primera Derivada de la Función de Precio.
Adicionalmente la Duración servirá para determinar cuán sensible es el bono, es decir, cuánto puede variar el Precio ante un cambio en el Rendimiento deseado. Sin embargo hay que realizar unos pequeños ajustes en el indicador (tal como se ha mostrado previamente) hasta llegar a la Duración en Dólares que es la que se usará para este propósito, además de que necesitaremos adicionalmente calcular la Convexidad.

2. Convexidad

Se mencionó que una utilidad de la Duración era poder determinar la sensibilidad del bono, utilizando específicamente la Duración en Dólares. Sin embargo el cambio en el Precio ante una modificación en el Rendimiento, calculado a partir de la Duración, no coincidirá con el cambio real en el Precio del Bono. Existirá una pequeña diferencia cuya explicación es matemática: la primera derivada no es suficiente para medir el cambio por lo que a medida que se usen más derivadas se irá corrigiendo esa diferencia.

Por este motivo, se acostumbra a usar además la segunda derivada para ganar exactitud y ésta precisamente es la Convexidad.
Este indicador, expresado en años al cuadrado, es el otro elemento a tomar en cuenta para medir la sensibilidad del Bono, aunque realmente se usará en última instancia la Convexidad expresada en Dólares.

La fórmula de la Convexidad es:

donde:
c = Convexidad
VA_i = Valor Actual del flujo i
pv_i = plazo por vencer en días del flujo i
R = Rendimiento Efectivo Anual
VA_t = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucio
y la Convexidad en Dólares será:

c$

donde:
c$ = Convexidad en Dólares
c = Convexidad
VA_t = Valor Actual Total del Bono, es decir, el Precio Sucio
La Convexidad en Dólares es la segunda derivada de la función de Precio.

3. Uso de la Duración y Convexidad para determinar la sensibilidad del Bono

Supongamos que ha invertido dinero en un bono, el cual lo compró a un Rendimiento X, puede ser que no se lo quede hasta el vencimiento sino que en algún momento lo quiera vender. Claro, el problema será a cómo lo venderá, lo cual dependerá de cómo estén las tasas de interés (rendimiento) del mercado en ese momento.
Entonces surge una pregunta ¿cuánto variará el Precio del bono ante algún cambio en el Rendimiento? en ese caso, realmente se está preguntando ¿cuán sensible es su bono? para medir la sensibilidad del bono usamos precisamente la Duración y la Convexidad
Conocemos ante todo que el Precio de un bono está en función de su Rendimiento:

Para ser más específicos hablaremos del Precio Sucio en Dólares, lo que es igual al Valor Presente del papel, y del Rendimiento Efectivo Anual.
Tenemos que tomar en cuenta, además, que en una función cualquiera:

la variación que sufrirá y cuando ocurre un cambio en x estará dada por lo que se conoce como Aproximación de Taylor:

Es decir, que multiplicaremos la variación en x por la primera derivada, más la misma variación en x elevada al cuadrado multiplicada por la segunda derivada y por 1/2, más un término de error (este último se omite en la práctica). Por tanto, si usamos ese mismo criterio para la función de Precio, reemplazando Rendimiento en x y Precio en y , tendríamos que el cambio en el Precio (Valor Actual) ante un cambio en el Rendimiento estará dado por la siguiente expresión:

Así que lo que tenemos que calcular es la primera y segunda derivada de la función de Precio, las cuales se presentan a continuación:

donde:
R = Rendimiento Efectivo Anual
VA_i = Valor Actual del flujo i
pv_i = plazo por vencer en días del flujo i

Si reemplazamos esas derivadas en la expresión anterior, la de la Aproximación de Taylor, el cambio en el Precio quedaría expresado entonces de la siguiente manera:

Con esta nueva expresión, entonces, podemos estimar cuánto variará el Precio de un Bono cuando ocurra algún cambio en el Rendimiento.

Ahora bien, al primer término entre paréntesis (la primera derivada) se lo conoce como Duración en Dólares y al segundo término entre paréntesis (la segunda derivada) se lo conoce como Convexidad en Dólares, cuyas fórmulas ya se presentaron previamente.

Esos dos indicadores son los que comúnmente se presentan en la información referente a cada Bono en diversas publicaciones y vendors como Reuters o Bloomberg, porque con ellos fácilmente se puede estimar cuál será el cambio en el Precio ante un cambio en el Rendimiento, es decir, su sensibilidad.
Vale indicar que algunos textos incluyen dentro de la fórmula de la Convexidad el factor 1/2, sin embargo esto no debería ser así ya que esa fracción proviene realmente de la aproximación de Taylor y no de la Convexidad en si.
Otro error común es que muchas veces se menciona al resultado de la Duración en Dólares, tal cual, como el cambio en el Precio cuando el Rendimiento Efectivo cambia en un punto porcentual. Primeramente faltaría la Convexidad para obtener un resultado más exacto, pero por sobre todo, no sería cuando el cambio en el rendimiento es de un punto porcentual sino de 100 puntos porcentuales (recordemos que en la Aproximación de Taylor reemplazamos los cambios en el rendimiento en tanto por uno).

Ejemplo práctico de aplicación de Duración y Convexidad
Supongamos que nos ofrecen un Bono del Estado con un Plazo total de 10 años y amortización al vencimiento. Se lo emitió el 15 de febrero del 2002 y vence el 15 de febrero del 2012. El interés que paga el Bono es 6% anual fijo y se lo paga cada semestre. Lo compramos el 15 de junio del 2003 con un Rendimiento Efectivo del 9%.
El Precio Sucio del Bono es US$ 8,521.94, expresado en porcentaje es 85.2194%.
Nos interesa saber cuánto cambiará ese precio si aumentamos el Rendimiento Efectivo del 9% al 9.3%, en este caso, al hacer la nueva valoración el nuevo Precio Sucio sería US$ 8,370.74, porcentualmente 83.7074%.
Si utilizamos la Duración y Convexidad llegamos a ese resultado sin necesidad de valorar nuevamente el Bono:
La Duración en Dólares y la Convexidad en Dólares iniciales son: US$ -51,013.48 y US$ 414,180.36 respectivamente.
Aplicamos esos valores en la expresión proveniente de la Aproximación de Taylor:

Con esa variación estimada llegamos a un Precio Sucio de US$ 8,370.76, porcentualmente 83.7076% muy cercano al valor real (83.7074%).
En la práctica esa diferencia con el valor real es aceptada, si se quisiera llegar a un valor mucho más exacto, es decir, sin el término de error , se debería utilizar la Aproximación de Taylor por completo, la cual es:

Lo cual implica calcular la cuarta, quinta, sexta derivada y así sucesivamente, agregando más derivadas según se quiera ganar más exactitud.

4. Apéndice #1

Cálculo de la Primera Derivada a partir de la Función de Precio
Partimos inicialmente del concepto de que se paga por un Bono siempre su Valor Actual. El Rendimiento que desee ganar el comprador del papel será la tasa utilizada para traer a valor presente los flujos de pago del Bono.
Teniendo claro este principio podemos afirmar que el Precio está en función (depende) del Rendimiento:

A continuación presentamos dicha función:

transformamos primeramente los denominadores a numeradores ajustando el exponente con signo negativo:

la primera derivada de esa función sería:

Esta primera expresión la llamaremos Expresión A pues la volveremos a usar más adelante. A continuación mostramos como vamos a simplificar dicha expresión para obtener una versión más resumida:

Cuando se presenta el resultado de la Duración en Dólares generalmente se omite el signo menos, pero siempre hay que tenerlo en cuenta al momento de reemplazar el valor en la Aproximación de Taylor.
Calculemos ahora la primera derivada en un caso numérico concreto: compramos un Bono cuyo Valor Nominal es US$ 3.000, su tasa de interés es del 10% anual, el plazo es de 3 años, se paga el interés al final de cada año y el capital al vencimiento.
Compramos el Bono con un Rendimiento Efectivo Anual del 14%, 180 días después de transcurrida la fecha de emisión.
El Valor Actual del Bono, entonces, resultará de:

Calculemos ahora la derivada de esa función

Nótese que en la última expresión hemos separado cada numerador en dos factores: el flujo original correspondiente y el factor de tiempo i. Esto únicamente para que podamos comparar fácilmente la expresión con la fórmula de Duración, en donde el valor actual de cada flujo se multiplica por el plazo por vencer. Resolviendo los cálculos respectivos tenemos:

¬ este resultado será la Duración en Dólares

5. Apéndice #2

Cálculo de la Segunda Derivada a partir de la Función de Precio
Partiremos ahora de la primera derivada que fue calculada previamente en el Anexo #1 (expresión A) la cual se presenta a continuación:.

efectuamos la segunda derivación:

Ahora calculemos, al igual que hicimos en el Anexo #2, esta segunda derivada a partir de un ejemplo numérico. Con los mismos datos de la compra del bono del Anexo #1 tenemos que la primera derivada era:

la segunda derivada será:

Nótese que en la última expresión separamos cada numerador en tres factores: el flujo original y los dos términos que encierran el ajuste proveniente de la segunda derivada (esto, con el objeto de comparar la expresión con la fórmula de la Convexidad). Continuando con los cálculos tenemos:

¬ este resultado será la Convexidad en Dólares

6. Apéndice #3

Comprobación de la Duración en Dólares
Recordemos lo que dijimos al principio, que la primera derivada de la función de Precio era la Duración en Dólares, entonces, si tomamos su fórmula y en ella reemplazamos la Duración Modificada y la Duración de Macaulay tenemos:

d$ , pero recordemos que, aunque por lo general no se muestre el

signo menos, la Duración en Dólares realmente es negativa porque se resta en la expresión deducida a partir de la Aproximación de Taylor, por lo tanto:

-d$ , reemplazamos ahora la Duración Modificada y obtenemos:

-d$ , reemplazamos ahora la Duración:

-d$ , simplificando finalmente llegamos a:

-d$ , si multiplicamos ambos por -1 entonces:

d$ , es decir, la primera derivada !!

7. Apéndice #4

Comprobación de la Convexidad en Dólares
Comprobemos ahora que la Convexidad en Dólares es igual a la segunda derivada de la función del Precio. Partimos de la fórmula de esta y reemplazamos la Convexidad con lo que tenemos:

c$ , reemplazamos la Convexidad

c$ , simplificamos términos semejantes y:

c$ , lo cual es la segunda derivada !!

Autor:
Jean Paul Loffredo Cepeda
jean_loffredo@hotmail.com