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Estimadores robustos
Índice Introducción.
Estimación
no paramétrica o robusta de tendencia central.- Mediana
de Hodges - Lehmann Estimador
B.E.S. Media
aritmética múltiple sucesiva. Trimedia
de Tukey Estimador
alfa-media equilibrada Estimador
de Huber El
método danés Ejemplos
ilustrativos de aplicaciones Conclusiones
Bibliografía 1.- INTRODUCCIÓN. A
objeto de hacer compatibles dos tipos de conocimientos : uno derivado de las
propias observaciones o mediciones y otro derivado de una teoría o de conceptos
se ha establecido la ESTIMACIÓN, que no es más que un proceso de extraer
información a partir de los datos y del modelo empleado para inferir una
información específica. Los
métodos para realizar una estimación usan relaciones matemáticas
pre-definidas, que permiten determinar la información específica, tomando en
cuenta los errores y demás efectos perturbadores en las observaciones o
mediciones, así como tomar acciones de control sobre el sistema considerado. El
modelo funcional ( físico o geométrico ) utilizado para realizae las
estimaciones son los llamados ESTIMADORES o ESTADÍSTICOS. Un
ESTIMADOR puede ser una expresión matemática o un algoritmo de cálculo para
obtener un ESTIMADO de los parámetros de una población en base a una muestra
de la misma, considerando las condiciones y características del sistema
empleado ( por ejmplo, estático o dinámico ). El
ESTIMADO es el valor particular que toma el estimador para un muestra específica
de su población. Los
estimadores pueden ser agrupados en dos : a.
Estimadores Clásicos o Paramétricos : o
La Moda o
La Media Aritmética
o
La Media de los
Extremos o
La Media Armónica
o
La Media Anarmónica
o
La Media Geométrica
o
La Media Cuadrática
o
La Media de
Jeffreys o
Etc. b.
Estimadores No Paramétricos o Estimadores Robustos : o
Mediana
de HODGES-LEHMANN o
Estimador BES (
Best Easy Systematic ) o
Media Aritmética
Múltiple Sucesiva o
Trimedia de TUKEY
o
Estimador α-media
Equilibrada o
Estimador de
HUBER o
Método Danés o
Estimador de HOGG
o
Estimador de
SWITZER o
Estimador de
TAKASHI o
Etc. Los
Estimadores Robustos, conocidos también como Estimadores no Paramétricos
o Estimadores Libres de Distribución o simplemente Robustos, son
estimadores libres de la asunción de una forma de distribución de la po- blación
de la cual se extrae la muestra. Los
Estimadores Clásicos o Paramétricos, tienen asociada un tipo de distribución
de la población. Así, por ejemplo, a la Media Aritmética se le asocia la
Distribución Normal o Mesocurtica; a la Mediana se le asocia la Distribución
Laplaciana o Leptocurtica; y a la Media de los Extremos se le asocia la
Distribución Rectangular. Es
más, a los Estimadores Clásicos se les asocia un criterio de óptimo prefijado
o preestablecido, expresado por medio de las llamadas Normas Mínimas o
Condiciones Mínimas, basados en la existencia de sólo errores accidentales en
las mediciones u observaciones. Las principales Normas Mínimas son las
siguientes : NORMA L2 : " La suma de los cuadrados de
los residuales es mínima." Σ
( Vi )² = mνnima Siendo
: Vi = Xi - Xma Vi
= residual de la observación Xi Xma
= valor de la media aritmética La Norma L1 está asociada a la Media Aritmética
y es conocida como el principio de los cuadrados mínimos. Desde
el año 1795 Carl Friederich Gauss aplicó a sus trabajos la norma L2, pero el
primero en publicarlo fue Adrien Marie Legendre en el año 1805, pero no ofrece
una prueba matemática de los cuadrados mínimos, pero clama : "
De todos los principios que uno puede proponer para un objetivo, yó
pienso que ninguno es más general. Más exacto o más fácil de aplicar
que aquel que nosotros hemos usado en la precedente investigación,
el cual consiste en hacer la suma de los cuadrados de
los errores un mínimo." La
investigación a que se refiere Legendre es la de la Determinación de las órbitas
de los Cometas. El
planteamiento que hizo C. F. Gauss en 1806 sobre su prioridad en el uso de la
norma L2 fue hecho así : "
Yo no he visto el trabajo de Legendre ( 1805 ). No tengo el propósito de
hacer un problema de esto, en forma que el trabajo con mi método
permanezca enteramente sobre mis propias ideas. A
través de pocas palabras que LALANDE dejó caer en su última "Historia
de la Astronomía " sobre el método de los cuadrados mínimos,
llega a la suposición que un teorema fundamental, el cual yo
mismo he usado por 12 años en muchas calculaciones y el cual usaré
en mi trabajo ( 1809 ) ese fundamental Teorema es tambien empleado
por Legendre" Esta
discusión dividió al mundo científico entre los Alemanes ( que apoyaban a
Gauss ) y los Franceses ( que apoyaban a Legendre ). Dado el gran prestigio de
Gauss, llamado el "Principe de las matemáticas", este problema trajo
cola. La
solución de la historia fue denominar el "principio de los cuadrados
minimos de Gauss-Legendre". LA NORMA L1 : "la suma absoluta de los
residuales es mínima." Σ
I Vi I = minimo La Norma L1 está asociada a la Mediana y es
conocida como la Norma de Laplace. En
1757 el padre Jesuita Roger Joseph Boscovich, quien estudió matemática,
astronomía y física en el Colegio Romano de la Compañía Jesuita, fue el
primero que propuso minimizar la suma absoluta de los residuales sujeto a la restricción
de la suma algebraica de los residuales debe ser cero o bién que la
suma de los residuales positivos y la suma de los residuales negativos deben
ser numéricamente iguales. El dio un método geométrico de solución el cual
aplicó a la determinación de cinco arcos de meridianos. En
1793 Pierre Simón Laplace presentó un desarrollo analítico del criterio de la
suma absoluta de los residuales debe ser un mínimo, con la condición de que
la suma de los residuales negativos es igual a la suma de los residuales positivos. LA NORMA L∞ : "el máximo residual
absoluto es mínimo". Ι
V max Ι = minimo La Norma L∞ está asociada a la Media
de los valores extremos y se conoce como el principio MÍNIMAX ( minimizar el máximo
error residual absoluto ). En
1749 Leonhard Euler y Johann Heinrich Lamber en 1760, trabajando de manera
independiente, son los primeros en usar el principio MÍNIMAX para resolver un
sistema redundante de ecuaciones lineales. En 1786 Laplace da
un algoritmo de solución. En 1854 PAFNUTIL L’VOVICH
SCHEBYSHEV, matemático
Ruso, en su estudio de la Norma L∞ para la aproximación de polinomios,
invirtió mas de 40 años , dando métodos de solución, por eso a
la Norma L∞ se le conoce como la Norma de Schebyshev. Los Estimadores Robustos no tiene asociados
ninguna distribución y ninguna Norma Optima.
Los principales objetivos de usar los estimadores Robustos se pueden resumir así
:
cantidad de errores groseros.
cuestionados errores groseros (
los que se salen de una tolerancia ).
separado si estos es requerido o
deseado.
Paramétrico. Hay
tres métodos para construir Estimadores Robustos :
En
esta presentación se considerán solamente los estimadores Robustos de de
Orden, existen más de 70 Estimadores Robustos, de los cuales sólo se mencionarán
algunos. 2.- ESTIMACION NO PARAMETRICA O ROBUSTA DE
TENDENCIA CENTRAL.- Los
estimadores no paramétricos de tendencia central son los llamados estimadores
de orden o estadísticos de orden, puesto que las observaciones o valores de la
variable aleatoria X deben ser ordenados en orden creciente : X1
, X2 , X3 , . . . . . . ., Xn Debe
cumplirse que : X1
< X2 < X3 < . . . . . < Xn-1 < Xn De
los diversos estimadores no paramétricos o robustos existentes, sólo se
indicarán algunos de ellos. 3.- MEDIANA DE HODGES - LEHMANN Este
estimador fue desarrollado por JOSEPH L. HODGES y ERICH L. LEHMANN en 1960, muy
usado en trabajos de investigación de alto nivel. El
estimador , que es un algoritmo muy sencillo, es la mediana de los promedios de
todos los pares sucesivos de observaciones de una muestra de n observaciones
ordenadas en orden creciente o decreciente : Sea
la serie ordenada en orden de menor a mayor ( orden creciente ) : X1
; X2 ; X3 ; . . . . . . . ; Xn Promedios
sucesivos : Y1
= ( X1 + X2 ) / 2 ; Y2 = ( X2 + X3 ) / 2 ; . . . ; Yn-1 = ( Xn-1 + Xn ) / 2 Obteniéndose
una nueva serie ordenada : Y1
; Y2 ; Y3 ; . . . . . ; Yn-1 Siendo
la mediana de Hodges – Lehmann la mediana de esta nueva serie . Ejemplo
: Sean Xi : 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0 Serie
de promedios : 13.85 14.35 14.60 14.85 Hallamos
la mediana de la serie de promedios, que es una serie par : Xmed = ½
( X n/2 + X n/2 + 1 ) = ½ ( X4/2 + X4/2 +1 ) = ½ ( X2 + X3 ) X med = ½ ( 14.35 + 14.60 ) = 14.475 ≈ 14. 48 Por
lo tanto : X
= 14.48 H
– L El
Estimador de TAKASHI, presentado en 1969 por TAKASHI YAMAGAWA toma la mediana
sucesiva de las observaciones o mediciones y luego a esa nueva serie originada
le aplica la Media Aritmética. 4.- ESTIMADOR B.E.S. El estimador B.E.S. ( Best Easy
Systematic ) es un promedio de la mediana y los cuartiles inferior y superior .
Es un promedio de los cuartiles inferior, medio ( pués la mediana es el cuartil
medio ) y superior. PARA SERIE PAR : Xbes = ¼ ( X¼n** + X½n + X( ½n
+1) + X(¾n +1)* ) PARA SERIE IMPAR : Xbes = ¼ ( X¼n** + 2 x X½(n+1)
+ X (¾n+1)* ) * * redondeado al entero superior
más próximo ( por exceso ) * redondeado al entero inferior más
próximo ( por defecto ) Ejemplo
: Xi : 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0 Obsérvese
que es una serie IMPAR : Xn/4**
= X5/4** = X2 se aproxima al entero superior X(n+1)/2
= X(5+1)/2 = X3 X(3/4n+1)*
= X (3/4x5 +1 )* = X(15/4+1) = X (3+1) = X4 Por
lo tanto : Xbes
= ¼ ( X2 + 2 x X3 + X4 ) = ¼ ( 14.2 + 2 x 14.5 + 14.7 ) Xbes
= ¼ ( 57.9 ) = 14.475 5.- MEDIA ARITMÉTICA MÚLTIPLE SUCESIVA. Dada
una serie simple de observaciones ordenadas en orden creciente, se forman las
medias sucesivas de pares de observaciones consecutivas. Ejemplo
: 13.5 13.85 14.2
14.10 14.35
14.2875 14.5
14.475 14.444 14.60
14.6000 14.7
14.725 14.85 15.0 Por
lo tanto : Xmm
= 14.444 6.- TRIMEDIA DE TUKEY Es
un estimador no paramétrico o estimador robusto desarrollado por JOHN TUKEY en
1960 y es un promedio pesado del primero, segundo y tercer cuartil; es decir, el
cuartil inferior ( 25 % ), cuartil medio o mediana ( 50 % ) y cuartil superior (
75 % ). Xtt = ¼ Q1 + ½ Q2 + ¼ Q3 PARA
SERIE SIMPLE IMPAR PARA SERIE SIMPLE PAR Q1 = X ¼(n+1) Q1 = X¼n Q2 = X½(n+1) Q2 = ½ ( X½n + X½n+1
) Q3 = X(¾n+1) Q3 = X¾n Ejemplo
: i
Xi
Por
lo tanto : Xtt = ¼
x 13.5 + ½ x 14.5 + ¼ x 14.7 = 14.30 Un
estimador que usa los cuartiles Q1, Q2 y Q3 se puede escribir asi : E
= α x Q1 + β x Q2 + γ x Q3 Cumpliendo
que α + β + γ = 1 Siendo
: Q1 = primer cuartil Q2 = segundo cuartil Q3 = tercer cuartil Por
lo tanto podemos derivar varios estimadores, como por ejemplo los siguientes : E1
= ( 1/3 ) Q1 + ( 1/3 ) Q2 + ( 1/3 ) Q3 E2
= ¼ Q1 + ½ Q2 + ¼ Q3 ( usado por TUKEY ) E3
= ( 1/8 ) Q1 + ¾ Q2 + ( 1/8 ) Q3 E4
= ( 1/10 ) Q1 + ( 4/5 ) Q2 + ( 1/10 ) Q3 Es
obvio que el valor representativo de la variable nunca está ubicado en los
extremos de la serie, por lo que darle pesos 1/3 a cada cuartil es incorrecto. Si
empleamos E3 obtenemos : E3
= ( 1/8 ) x 13.5 + ¾ x 14.5 + ( 1/8 ) x 14.7 = 14.40 Si
empleamos E4 obtenemos : E4
= ( 1/10 ) x 13.5 + ( 4/5 ) x 14.5 + ( 1/10 ) x 14.7 = 14.42 7.- ESTIMADOR ALFA-MEDIA EQUILIBRADA Serie
simple ordenada en orden creciente : Σ
Xj Xα
= ---------------- 0 ≤ α ≤ 2 n - 2 x nα Si α = 1 se elimina una
observaciσn en cada extremo. Si
α = 2 se eliminan dos observaciones en cada extremo. En
este estimador se elimina un número igual de observaciones en cada extremo
de la serie. Ejemplo
: Xi
: 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0 Para
α = 1 : se eliminan un elemento en cada extremo de la serie. Entonces
la serie se reduce a los elementos siguientes : 14.2
14.5 14.7 resultando
como valor representativo de la serie : 14.2
+ 14.5 + 14.7 43.4 Xα=1
= --------------------------------------- = ----------- = 14.467 5
- 2 x 1 3 8.- ESTIMADOR DE HUBER Este
estimador fue desarrollado por PETER J. HUBER en el año 1964 y en su trabajo
"Robust Estimation " del año 1968 presenta en detalles la teoría de
la estimación robusta de un parámetro de tendencia central o posición central
o puntual de una distribución normal "contaminada" y presenta los
tres métodos para construir estimadores que robustos. El
Estimador HUBER se desarrolló en base a las funciones : Σ
( Vi )² = mνnima si se cumple | V | ≤ K x σ Σ
K x σ ( 2 x Ι V Ι - K x σ ) = mνnima si cumple con | V
| ≥ K x σ generalmente
K adopta valores de 2 ó 3. Muchos recomiendan usar el valor 3, pués
K x σ representa la tolerancia de la medición y σ representa la
exactitud de la observación o medición obtenida. Es un proceso iterativo. El
Estimador de HUBER usa como función de Peso P lo siguiente : P
= 1 si | V | ≤ K x σ K
x σ P
= --------------- si | V | ≥ K x σ |
V | Ejemplo
: Consideremos las mediciones Xi : 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 100 A
simple vista la observación 100 aparenta ser un error grosero. Consideremos
una exactitud de las observaciones σ = 5 unidades y usando como constante K
= 2 se tiene que K x σ = 10 y se procede a utilizar el proceso iterativo
para la estimaciσn. Recordemos
que la media aritmética de una serie simple de igual exactitud, lo que
significa pesos iguales a la unidad, esta dada por : Σ
Xi Xma
= ------------- n Y
para una serie de elementos con diferentes exactitudes o pesos : Σ
( Pi x Xi ) Xma =
----------------- Σ
Pi 144 (a)
Cálculo de la media aritmética : Xma = ------------ = 28.8 5 (b)
Cálculo de los residuales : Vi = Xi - Xma obteniéndose : 18.8;
17.8; 17.8; 16.8; 71.2
al cálculo de los Pesos
correspondiente a cada observación usando : K x σ P = --------------- si | V |
≥ K x σ | V | por lo tanto los Pesos son :
Observación Peso 1.
0.53 2.
0.56 3.
0.56 4.
0.60 5.
0.14
0.53x10 + 0.56x11 + 0.56x11 +
0.60x12 + 0.14x100 Xma =
------------------------------------------------------------------------- =
16.24 0.53 + 0.56 + 0.56 + 0.60 + 0.14
6.24 ; 5.24 ; 5.24 ; 4.24 ; 83.76
un peso de UNO y si es ≥ 10
se le calcula el peso tal como se indicó antes. Observación Peso 3.
1 4.
1 5.
1 6.
1 7.
0.12 ·
Calculamos la nueva media aritmética ponderada obteniéndose : 1x10
+ 1x11 + 1x11 x 1x12 + 0.12x100 Xma
= ---------------------------------------------------------- = 13.59 1
+ 1 + 1 + 1 + 0.12 (h)
Reiterando nuevamente el proceso, se calculan los residuales : 3.59
; 2.59 ; 2.59 ; 1.59 ; 86.41 ·
Calculamos los pesos correspondientes a estos nuevos valores : Observación
Peso 1
1 1 1 1
0.12
En vista que son los mismos pesos
anteriores, se terminan las iteraciones obteniéndose : X = 13.59 ≈ 13.6 HUBER 9.- EL METODO DANES Este método fue propuesto por
TORBEN KRARUP en 1967 y desde entonces ha sido usado como un método standard de
computación en el Instituto Danés de Geodesia para sus cálculos Geodésicos.
Durante los últimos años ha sido usado para otras tareas en la Universidad de
Aalborg. El método Danés puede ser
interpretado como un método iterativo, como lo es el estimador de HUBER, para
resolver un problema de programación lineal, particularmente si los Pesos para
las mediciones con errores groseros ( los denominados "outliers") son
reducidos a cero. La rata de convergencia del método depende de las condiciones
del problema y del porcentaje de errores groseros. Este porcentaje fue
encontrado a ser del 1 % para los cálculos geodésicos. La estimación de acorde con el Método
Danés toma lugar de acuerdo con el siguiente algoritmo iterativo : CASO DE MEDICIONES DE IGUAL
EXACTITUD : (1) Si los residuales l V l ≤ K x σ les
corresponde un peso P = 1 (2) Si los residuales l V l
≥ K x σ les corresponde un peso dado por la expresión siguiente : P = e V ² -
------------- (
K x σ
) ² Siendo : e = 2.718282 . . . (
base de los logaritmos Neperianos ) K = constante que adopta el valor
de 2 ó 3 σ = exactitud adoptada para
el grupo de mediciones. CASO DE MEDICIONES DE DIFERENTES
EXACTITUDES :
F(Vα) = e Siendo P el peso de la observación
en consideración. Variantes del método Danés
permiten obtener eficientes resultados en otras categorías diferentes de
problemas, mediante el uso de funciones especificas para los pesos, tales como
en los Ajustes o Compensación de Bloques Fotogramétricos por el método
de Haces de Rayos ( JUHL, 1980 ), en redes de nivelación ( JENSEN
y MARK 1980 ) y en intersecciones ( JOHANSEN y KJAERSGAARD, 1980 ). Ejemplo : Dadas las cinco
mediciones : 10 ; 11 ; 11; 12 ; 100 Hallar la mejor estimación
usando el Método Danés. Se calcula la media aritmética
de la serie de observaciones : 10 + 11 + 11 + 12 + 100 Xma =
----------------------------------- = 28.8 5 Con esta media aritmética se
calculan los residuales : Vi = Xi - Xma Obteniéndose : 18.8 ; 17.8 ;
17.8 ; 16.8 ; 71.2 Usando un σ = 5 y un valor de K = 2 se obtiene que K x
σ = 10, con lo cual todas las observaciones o mediciones con residuales
mayores que 10 se les asigna un peso dado por : V
² -
---------- (
K x σ
) ² P = e Por lo tanto : - ( 18.8 ² ) / ( 10 ) ² -
3.5344 P1 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.03 . - ( 17.8 ² ) / ( 10 ) ² -
3.1684 P2 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.04 . - ( 17.8 ² ) / ( 10 ) ² -
3.1684 P3 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.03 - ( 16.8 ² ) / ( 10 ) ² -
2.8224 P4 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.06 - ( 71.2 ² ) / ( 10 ) ² -
50.6944 P5 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.00 Con estos nuevos pesos se calcula
la media aritmética ponderada : 0.03 x 10 + 0.04 x 11 + 0.04 x 11
+ 0.06 x 12 + 0.00 x 100 Xma =
-------------------------------------------------------------------------------- 0.03 + 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.00 Obteniéndose : Xma = 11.176
≈ 11.2 Con esta nueva media aritmética
se calculan los nuevos residuales : 1.
; 0.2 ; 0.2 ; 0.8
; 88.8 y calculando los nuevos pesos en
base a estos residuales, tomando en cuenta que para residuales menores de 10 el
peso es la unidad y para residuales mayores de 10 se calcula el peso tal como se
indico. Por lo tanto : P1
= P2 = P3 = P4 = 1 - ( 88.8 ² ) / ( 10 ) ² -
78.8544 P5 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 )
≈ 0.00 Con estos nuevos residuales se
calcula la media aritmética ponderada : 1 x 10 + 1 x 11 + 1 x 11 + 1 x 12
+ 0.00 x 100 Xma =
----------------------------------------------------------------- = 11.0 1 + 1 + 1 + 1 + 0.00 Reiterando el procedimiento
obtenemos los nuevos residuales : 2.
; 0 ; 0 ; 1 ; 89 Resultando como nuevos pesos : P1
= P2 = P3 = P4 = 1 y P5 ≈ 0.00 Con lo cual la nueva media aritmética
ponderada es Xma = 11.0 lo aue permite concluir que el valor representativo de
la muestra es: Xma = 11.0 10.- EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE
APLICACIONES Ejemplo Ilustrativo No. 1 : Consideremos el caso de dos
estudiantes A y B que cursaron las mismas asignaturas y cuyas calificaciones son
las siguientes : ASIGNATURAS CALIFICACIONES A B Matemáticas 10 20 Física 10 20 Química 10 20 Biología 10 20 Historia 20 10 ¿ Cual es la calificación que
representaría al Estudiante A y B ? Si aplicamos las estimadores
paramétricos de la media aritmética, la mediana y la media de los extremos,
por ejemplo, se obtiene : ESTIMADOR ESTUDIANTE APLICADO A B Media Aritmética 12 18 Mediana 10 20 Media de los Extremos 15 15 De estos resultados observamos
que la media aritmética parece que no representa mejor las calificaciones,
mientras que la mediana ofrece una mejor representación; mientras que la media
de los extremos califica de igual tanto al buen estudiante como al mal
estudiante ( ¿ que tal ? ). Obsérvese que no hay consistencia entre las tres
estimaciones realizadas. Obsérvese que la muestra es
pequeña y no podemos eliminar la calificación que se sale de la mayoría;
tampoco podemos asumir alegremente que es una distribución normal o una
distribución leptocúrtica o rectangular. Aplicando los ESTIMADORES
ROBUSTOS se obtienen los valores siguientes : ESTIMADOR ESTUDIANTE APLICADO A B Mediana de Hodges-Lehmann 10 20 Estimador BES 10 20 Media Aritmética Sucesiva 10.625
19.375 Trimedia de TUKEY 10 20 α – Media Equilibrada 10
20 Estimador de HUBER ( * ) 10.498
19.501 Método Danés ( * ) 10 20 ( * ) Se utilizó σ = 1 y
valor de K = 2 Obsérvese la consistencia que
presentan los ESTIMADORES ROBUSTOS. Ejemplo ilustrativo No.2 : Consideremos las observaciones de
un ángulo medido 8 veces : No. Angulo 3.
345 ° 45 ` 43.7
`` 4.
54.9 `` 5.
55.2 `` 6.
55.5 `` 7.
56.7 `` 8.
56.7 `` 9.
57.8 `` 10.
58.4 `` Aplicando
los estimadores paramétrico de media aritmética, mediana y media de los
extremos se obtienen los resultados siguientes : Media
Aritmética : 345 ° 45 ` 54.9 `` Mediana
: 345 ° 45 ` 56.1 `` Media
de los Extremos : 345 ° 45 ` 51.1 `` Aplicando
los ESTIMADORES ROBUSTOS se obtienen : Mediana
de HODGES-LEHMANN : 345 ° 45 ` 56.1 `` Estimador
BES : 345 ° 45 ` 56.3 `` Media
Aritmética Sucesiva : 345 ° 45 ` 56.0 `` Trimedia
de TUKEY : 345 ° 45 ` 56.0 `` α
– Media Equilibrada : 345 ° 45 ` 56.1 `` CONCLUSIONES Los
ESTIMADORES ROBUSTOS de Tendencia Central o POSICIÓN ofrecen la ventaja de que
evitan el "uso y abuso" que se ha hecho de la media aritmética,
puesto que "a todo" le aplicamos a la media aritmética. Por otra
parte nos elimina el uso arbitrario del rechazo de observaciones por que se
alejan de la mayoría de las observaciones, cuando se presentan casos que se
hace necesario no eliminarlas. Por último asumir una distribución normal para
la población de donde se extrae la muestra ( lo cual implica usar la media
aritmética como estimador ) no es conveniente, porque el número de
observaciones es muy pequeño. Por
último, se deben actualizar los cursos de ESTADÍSTICA, donde se incluya el
estudio de estos Estimadores, de los cuales sólo se ha hecho una breve
presentación de ellos y de manera sencilla y clara. BIBLIOGRAFÍA -
NONPARAMETRIC METHODS IN STATISTICS Por : J.
Fraser Editorial
John Wiley & Sons 1957 - ROBUST
ESTIMATION, A CONDENSED PARTIAL SURVEY Por
: F. R. Hampel Z.
Wahschein Lichtkeitstheorie 1973 -
NONPARAMETRIC STATISTICAL METHOD Por
: M. Hollander D. A.
Wolfe Editorial
John Wiley & Sons 1973 -
ELEMENTS OF NONPARAMETRIC STATISTICS Por : G.
E. Noether Editorial
John Wiley & Sons 1976 -
PRACTICAL NONPARAMETRIC STATISTICS Por : W.
J. Conover Editorial
John Wiley & Sons 1980 - ROBUST
STATISTICS Por : P.
J. Huber Editorial
John Wiley & Sons 1981 - ROBUST
STATISTICS Por : F.
R. Hampel, Rousseeuw, Ronchetti y Stahel Editorial
John Wiley & Sons 1986 AUTOR
: Manuel Marcelino Lunar González Agrimensor. ( Universidad
del Zulia, Maracaibo, Venezuela ) Ingeniero Geodesta (
Universidad del Zulia, Mcbo, Venezuela ) Postgrado en Fotogrametría
( International Institute for Aerial Survey
and Earth Sciences [ I.T.C.], Holanda ) Postgrado en Ciencias de la
Ingeniería y Estudios de Agrimensura ( Universidad de New
Brunswick. Canadá ) Profesor Titular Jubilado
de la Universidad del Zulia, Venezuela.
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