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Area de los polígonos - Enfoque para el cálculo
Índice
Lo que se desarrolla en las páginas siguientes forma parte de un estudio más amplio sobre Geometría, iniciado con la finalidad de mejorar sustancialmente la enseñanza del cálculo de áreas de polígonos, en Educación Básica. El estudio se inició con la intención de estructurar un procedimiento didáctico que permita la deducción de las fórmulas particulares para calcular las áreas de los polígonos, utilizando el Método Deductivo en su sentido estricto; es decir: de lo general a lo particular; en contraposición a lo que habitualmente se hace: de lo particular a lo particular. Durante la investigación se evidenció que tal procedimiento era imposible debido a que la Geometría actual no contempla una fórmula general para el cálculo de áreas de los polígonos; lo que motivó la necesidad de resolver previamente la carencia citada, como problema atinente sólo a la Matemática, para volver más tarde al problema de la Didáctica. En ese sentido, se estructuró una teoría basada en aspectos aceptados en la Geometría actual, concluyendo con el diseño de la fórmula general antes citada; que, como se verá más adelante, permite a deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y polígonos de cuatro lados; igualmente permite deducir directamente otras fórmulas no usuales para el último tipo de polígonos. Al momento de deducir la fórmula particular para el cálculo de áreas de los polígonos regulares, se concluyó que era preferible utilizar el procedimiento indirecto de triangulación (división del n-polígono regular en n triángulos isósceles con vértice común en el centro del n-polígono), por cuanto en forma directa es sumamente difícil (o no es posible) llegar a la fórmula conocida: A=p ap/2. No obstante, al tratar de deducir la fórmula desde la general para los polígonos, se constató que el procedimiento conocido falla debido a omisiones que se cometen durante el proceso, al no tomar en cuenta todas las características que deben cumplir los triángulos isósceles que se trazan desde el centro del polígono hacia cada uno de sus lados. En vista de que la deducción de la fórmula para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares, a partir de la general para el cálculo del área de cualquier polígono, debe concluir con la fórmula correcta, el desarrollo de lo que presento comienza por demostrar la invalidez de la fórmula usual y la deducción de la correcta.
PARTE I. ACERCA DE LA INVALIDEZ DE LA FORMULA CONOCIDA PARA CALCULAR AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES: A= pap/2(PERÍMETRO POR APOTEMA SOBRE DOS) Para demostrar la invalidez de la fórmula partiremos del procedimiento habitual, utilizado por el docente, para la enseñanza de la fórmula A=pap/2; que se aplica, comúnmente, a partir del pentágono, dejando a un lado el triángulo equilátero y el cuadrado que, como figuras regulares, deben cumplir con la mencionada fórmula.El procedimiento consta de los siguientes pasos: 1. Dividir el polígono en tantos triángulos isósceles iguales, con vértices comunes con el centro de la figura, como lados tenga el polígono. 2. Realizar una analogía entre las alturas de los triángulos con la apotema (ap) del polígono. 3. Calcular el área de uno de éstos triángulos, tomando como base el lado del polígono. 4. Multiplicar el área por el número de triángulos. 5. Operar convenientemente y concluir: A=pap/2, donde p es el perímetro del polígono y ap la apotema. 6. Realizar ejercicios (se dice de que polígono regular se trata -siempre a partir del pentágono-, se da una longitud cualquiera para el lado, otra cualquiera para la apotema y se aplica la fórmula conocida. Se repite tantas veces como sea necesario). De acuerdo al último paso, podemos calcular el área de un hexágono regular cuyas longitudes de la base y de la apotema son 2u y u, respectivamente. Aplicando la fórmula, procedemos a nuestros cálculos y concluimos que el área del hexágono dado es 6 u2. Ahora bien, si construimos seis triángulos isósceles (de base 2u y altura u) y seguidamente tratamos armar un hexágono regular con esos triángulos, veremos que es imposible. NO PODREMOS ARMAR HEXAGONO REGULAR ALGUNO. Una manera sencilla de visualizar lo que ocurre, en general, es la siguiente: Suponemos un hexágono regular de apotema ap y lado l, como el de la izquierda, donde se han destacado los triángulos equiláteros que lo componen y cuyas dimensiones son: l de base y ap de altura.
Si construimos triángulos de base l y altura ap/2, por supuesto que no serán equiláteros y con seis de ellos no se armará hexágono alguno. A lo sumo se obtendrá una figura como la que se muestra a la derecha. Luego, algo falla. Esta falla consiste en que - al igual que el triángulo equilátero y el cuadrado- en cualquier polígono regular: la apotema depende del lado ó el lado de la apotema, por lo que sus magnitudes, entre sí, no son independientes sino dependientes. De allí se desprende que no es correcto dar cualquier par de magnitudes para el lado y la apotema del polígono regular; cuestión que está permitida por la fórmula al presentar estas dos variables como independientes. Entonces, podemos concluir que la fórmula conocida para calcular el área de los polígonos regulares, tal como está: no es válida; porque incluye en su expresión el producto de dos variables interdependientes que son tratadas como independientes. Al enunciar la citada fórmula se ha obviado una condición importante que cumplen los triángulos isósceles cuyas bases son los lados de un polígono regular y sus alturas la apotema: sus ángulos son fijos en cada figura. Por supuesto, al mantener la base constante y variar la altura (apotema) variamos los ángulos; igual sucede si mantenemos constante la altura y variamos la base, como puede observarse en la siguiente ilustración:
Base constante y altura variable Altura constante y base variable
En un polígono regular de n-lados, denominaremos ángulo al centro, a cada ángulo con vértice en el centro del polígono, de los n triángulos isósceles que pueden formarse a partir de los lados de la figura. Está claro, que los ángulos al centro son todos iguales. La apotema, por su parte, por ser la altura de cada triángulo isósceles, es perpendicular a cada lado del polígono regular. La recta que la contiene es mediatriz del lado.
Podemos obtener un polígono regular de cualquier número de lados, a partir de tres, para cualquier lado dado, o para cualquier apotema dada; pero no es posible obtener un polígono regular para cualquier ángulo al centro dado. Para una mejor comprensión trabajaremos con ángulos medidos en el sistema sexagesimal; observemos la tabla en la siguiente página:
Como puede observarse, no existen polígonos regulares cuyos ángulos al centro a sean tales que 90° < a < 120° o 72° < a < 90°, por ejemplo. En general: si a y b son los ángulos al centro de dos polígonos regulares de n y n+1 lados, respectivamente, no existirá ningún polígono regular que tenga como ángulo al centro (a + b)/2. Esto nos dice que existe una ilimitada cantidad de ángulos para los que es imposible trazar un polígono regular, siendo estos ángulos al centro.
De lo anterior podemos concluir que no todo triángulo isósceles puede formar parte de un polígono regular. De los obtusángulos, sólo el que posee un ángulo interno de 120° puede formar tal tipo de polígono; con tres de ellos, iguales, se formará un triángulo equilátero y no podrá formarse ningún otro polígono regular con vértice común a todos los ángulos de 120°; no es posible obtener otro polígono regular aún incrementando el número de triángulos. Los triángulos iso-rectángulos sólo formarán cuadrados y se necesitarán cuatro iguales para armar la figura. Entre los acutángulos encontramos los equiláteros, que solamente formarán hexágonos regulares, tomados en grupos de seis iguales; del resto de los acutángulos, formarán polígonos regulares aquellos donde la razón entre 360° y el ángulo diferente sea un número entero, el polígono regular que formarán necesitará tantos triángulos iguales, y tendrá tantos lados, como lo indique la razon citada. De allí que también se pueda asegurar que se comete un error cuando se establece una analogía simple entre la apotema de la figura y las alturas de los triángulos, al momento de deducir la fórmula del área del polígono regular; dado que, de esta manera, se hace referencia a cualquier triángulo isósceles y no al conjunto de triángulos isósceles con los que se pueden formar polígonos regulares, error que puede observarse en la figura que sirve de base para la analogía:
Utilizando funciones trigonométricas podemos establecer las relaciones existentes entre la altura del triángulo isósceles y la respectiva base, siendo esta última el lado opuesto al ángulo diferente, salvo el equilátero que no tiene restricciones. De esta manera la analogía entre la apotema del polígono y la altura del triángulo isósceles dejará de ser simple, por cuanto interviene una función trigonométrica referida al ángulo al centro específico para cada polígono regular, en relación a su número de lados. Lo que nos permite utilizar la tangente del semiángulo al centro para calcular la apotema adecuada a partir del lado, o el lado adecuado a partir de la apotema. Luego: un polígono regular se identifica en forma inequívoca si se dan: el número de lados y la longitud del lado ó el número de lados y la apotema. Con cualquier par de estos datos, se puede dibujar y calcular su área, sin equivocación. Cualquier fórmula válida se caracteriza porque los valores de las variables independientes pueden ser asignados a voluntad del experimentador. La fórmula A=½(pap) sólo arroja resultados correctos en el caso de que se den el lado y la apotema que corresponda al polígono del lado dado; por lo que la fórmula en cuestión no permite asignar, a voluntad, valores al perímetro y a la apotema; lo que nos indica la invalidez de la fórmula.
En defensa de la fórmula criticada se me ha dicho que el error está en quien proporciona los datos, puesto que no se asegura de que la apotema sea la que corresponda al polígono dado de lado dado, para lo que es suficiente medir con exactitud la dimensión de la apotema. Esta aseveración carece de solidez, ya que supone la existencia del objeto real para realizar las mediciones; por lo que resultaría imposible calcular el área de un dodecágono de un kilómetro de lado, por ejemplo. La Matemática, por no ser una ciencia experimental, no necesita objetos reales; pudiendo suponer objetos virtuales tan grandes, o tan pequeños, como se quiera y calcular sus dimensiones con base a las relaciones que existen entre sus magnitudes independientes. En los polígonos regulares, la relación A=pap/2, es una consecuencia de la figura; por lo tanto, no debe tratarse como fórmula (causa) que la origina. En el círculo, por ejemplo, se cumple: A=Lr/2, siendo L la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) y r el radio. Podemos preguntar: ¿ A quién se le ocurriría referirse a un círculo dando una longitud para la circunferencia y cualquier radio?. Por cuanto la apotema y el lado son interdependientes y los ángulos dependen del número de lados de la figura regular, la fórmula debe contemplar sólo el lado y el número de lados ó número de lados y la apotema; pues, como se desprende de lo anterior: si se da el lado de un polígono regular cualquiera, debe calcularse la apotema correspondiente y, si se da la apotema debe calcularse el lado. Más adelante podremos observar que, aún con objetos reales, si es posible medir con exactitud una de las dos dimensiones correlacionadas, es imposible medir la otra.
FORMULA CORRECTA PARA CALCULAR AREAS DE POLIGONOS REGULARES. Como es conocido, la apotema no es más que la altura del triángulo isósceles perteneciente a la partición, de un polígono regular, que contiene el menor número de triángulos isósceles que se pueden trazar en la figura; también sabemos que la altura es la bisectriz del ángulo definido por los dos lados iguales del triángulo isósceles en cuestión, así como mediatriz respecto a la base.
En la figura a la izquierda puede observarse uno de los triángulos isósceles de un polígono regular cualquiera; donde se señala la apotema y la distancia a los vértices de la base. El ángulo en C es el vértice común de tales triángulos; es decir: el centro del polígono regular; por lo que lo denominaremos: ángulo al centro.
El ángulo BCA es igual a 360°/n (siendo n el número de lados de la figura), por lo que el ángulo BCM es igual a 180°/n. Calculamos la tangente del último ángulo en función del lado y de la apotema: tan(180°/n)=l/2ap de donde l=2aptan(180°/n). Como el lado está expresado en función de la apotema, podemos utilizar el procedimiento indirecto para calcular el área del polígono regular: calculando el área de uno de los triángulos y luego multiplicándola por el número de ellos. Podemos proceder con confianza, por cuanto el lado y la apotema son correspondientes al polígono regular de n-lados. El área de uno de los triángulos isósceles en cuestión será: lh/2=2aptan(180°/n) ap/2 =ap2 tan(180°/n) El área de un polígono regular de n-lados será:
An= n ap2 tan(180°/n) = ap2 ntan(180°/n)
Como para cada polígono regular ntan(180°/n) es un número fijo (constante) que depende sólo de n, podemos denotarlo kn; por lo que nuestra fórmula quedará: donde kn es la constante para el polígono regular de n-lados.
Se nota que la fórmula es parecida a la del círculo. En esa figura la apotema se hace igual al radio ( r) y como: Lim ntan(180°/n) = p n®¥ podemos concluir, para el círculo: A¥= k¥ ap2 = pr2 Veamos que podemos calcular el perímetro del polígono regular con la fórmula: pn = 2 kn ap, que equivale a la de la circunferencia 2pr.
Como l = 2aptan(180°/n) se tendrá:
pn = nl =n(2aptan(180°/n))= 2(n tan(180°/n)) ap=2 kn ap. Donde queríamos llegar.
Y como: nl = pn=2 kn ap se tendrá: l = pn/n=2 kn ap/n.
Operando con las fórmulas e igualdades anteriores, podemos deducir las fórmulas a partir del lado: pn = nl apn = nl /2 kn An= kn ap2= kn(nl /2 kn)2= n2l2/4 kn
Con lo que quedan satisfechas las expectativas planteadas.
Ahora contamos con un conjunto de fórmulas válidas para los polígonos regulares; a saber:
En función de la apotema: An= kn ap2 pn=2 kn ap ln =2 kn ap/n
En función del lado: An= n2l2/4 kn pn = nl apn= nl /2 kn
Despejando convenientemente y sustituyendo,
En función del perímetro: An= p 2/4 kn apn= p /2 kn ln= p /n
En función del área: pn=2( kn A)1/2 apn=( A/ kn )1/2 l =(2/n) (A kn)1/2
Donde n indica el número de lados del polígono regular y kn es la constante específica que le corresponde.
Obsérvese que de An= p 2/4 kn y de pn=2 kn ap obtenemos:
An= p 2/4 kn= p p /4 kn = p (2 kn apn) /4 kn = p apn /2
Es posible que se piense en la dificultad de definir la constante kn, dado que hemos utilizado una función trigonométrica para hallarla y estos conocimientos no están al alcance de los estudiantes de Educación Básica. A este respecto se puede argumentar que la constante p se introduce, en el ámbito de Educación Básica, sin muchas explicaciones; simplemente se dice que en toda circunferencia (perímetro del círculo), si dividimos su longitud (perímetro) entre el diámetro (doble del radio), se obtiene un número fijo que denotamos p y cuyo valor es aproximadamente 3,1416.
Llamando L a la longitud de la circunferencia y D al diámetro se tiene:
p=L/D=L /2r = p¥ /2 ap¥
Si despejamos kn en la fórmula pn=2 kn apn nos resultará: kn = pn /2 apn, que es análoga a la de la constante p; es más: p es uno de los casos particulares de constantes para los polígonos regulares. En adelante tendríamos que decir que para cada polígonos regular, si se divide el perímetro entre el duplo de la apotema se obtendrá un número constante denominado constante de semiproporcionalidad, el cual indica la relación que existe entre la longitud del semiperímetro (mitad del perímetro) y la apotema.
Seguidamente indicamos las constantes kn para algunos polígonos regulares, con una apreciación de cuatro decimales:
(*) Considerado como polígono regular de infinitos (?) lados. Es obvio que una tabla como la anterior sólo sería de utilidad para quienes carezcan de conocimientos de trigonometría, como los cursantes de Educación Básica, ya que se obtendrían mejores aproximaciones aplicando directamente la forma trigonométrica de kn. Sustituyendo la constante por la función correspondiente, se obtienen las siguientes fórmulas: En función de la apotema: An= kn ap2 = ntan(p/n) ap2 pn= 2kn ap = 2 ntan(p/n) ap ln = 2kn ap /n =2 ntan(p/n) ap/n = 2 tan(p/n) ap
En función del lado: An= n2l2/4 kn = n2l2/4 ntan(p/n) = nl2cot(p/n)/4 pn = nl apn= nl /2 kn =nl /2 ntan(p/n) = lcot(p/n)/2
Despejando convenientemente y sustituyendo,
En función del perímetro: An= p 2/4 kn = p 2/4 ntan(p/n) = p 2 cot(p/n)/4n apn= p /2 kn =p /2 ntan(p/n) = p cot(p/n)/2n ln = p /n En función del área: pn = 2(kn A)1/2 = 2(ntan(p/n) A)1/2 = = (4ntan(p/n) A)1/2 apn=(A/kn)1/2 =(A/ntan(p/n))1/2 =(Acot(p/n)/ n)1/2 ln =(2/n) (A kn)1/2 = (2/n) (nA tan(p/n))1/2 = = (4A tan(p/n) /n)1/2
Donde n indica el número de lados del polígono regular y kn es la constante específica que le corresponde. DILEMA DE LAS INFINITAS CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LAS AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES.La fórmula correcta para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares nos plantea el siguiente dilema: ¿ Hasta dónde vale la pena tomar en cuenta la constante de semiproporcionalidad en el cálculo de áreas de los polígonos regulares?. A esto podemos responder: Hasta donde la exactitud del cálculo lo requiera. Si consideramos las constantes de semiproporcionalidad veremos la siguiente tabla, con aproximación hasta la millonésima.
Si utilizamos la constante 3,1416 para calcular el área de un círculo, dado su radio, podemos decir que en realidad se está calculando el área de cualquier polígono regular de 1179 lados o más. O bien el de un polígono regular que tenga entre 311 y 1178 lados, con aproximación por defecto. La constante de semiproporcionalidad para un polígono regular de ciento veinte lados es aproximadamente: 3,1423105; lo que nos induce a pensar que utilizar el valor aproximado de p (3,1416), para calcular su área sería contraproducente.
Polígono regular de ciento veinte lados ( en el interior de la imagen)
¿Se puede diferenciar, a simple vista, si lo que está en el interior de la imagen es un polígono regular o un círculo?. Existe la posibilidad de elegir la aproximación más adecuada para sus cálculos. Desde el punto de vista del docente de Educación Básica, consideramos que la tabla dada satisface las necesidades más comunes, siempre que se esté claro que cada polígono regular tiene una constante de semiproporcionalidad propia.
ENFOQUE PARA EL CALCULO DE AREAS DE POLÍGONOS. El enfoque que se presenta está basado en el conocido procedimiento para el cálculo de las áreas de cualquier polígono, regular o irregular, que consiste dividir la figura en otras menores con fórmula conocida y sumar las áreas de éstos. El procedimiento se ha simplificado, o complementado, a través de un basamento teórico que permite calcular el área de cualquiera de esas figuras sin intervención aparente de figuras menores. También permite la deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y cuadriláteros; permite la deducción de otras, hasta ahora no utilizadas y, en forma indirecta, la de los polígonos regulares. Sin ahondar mucho en la definición de polígono de n-lados, consideraremos a éstos como la figura de n-lados que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todo lado es un segmento de recta. 2. Todo lado es consecutivo con otros dos y sólo con dos. 3. Dos lados consecutivos tienen en común un punto y sólo uno. Tal punto es un extremo de cada lado consecutivo. 4. Dos lados no consecutivos no tienen puntos comunes. 5. Dos lados consecutivos no son colineales. Mediante la triangulación podemos dividir al polígono de n-lados, por lo menos, en n-2 triángulos: En la ilustración que sigue, se puede observar una forma característica de dividir el polígono irregular en triángulos.
Esta división de la figura en partes menores permite el uso de una única fórmula para calcular el área de cada parte menor, que como sabemos son triángulos o cuadriláteros con dos lados paralelos entre sí. La fórmula particular para el cálculo de las áreas de los trapecios la cumplen otras figuras. Sólo tenemos que ampliar nuestra definición de trapecio así: trapecio es todo polígono, no mayor de cuatro lados, que tiene dos lados paralelos entre si. En un cuadrilátero, si dos lados son paralelos entonces estos lados son opuestos entre si. Esta definición trae como consecuencia lo siguiente: a) Todos los paralelogramos son trapecios. Dado que sus lados opuestos son paralelos dos a dos, es seguro que tienen dos lados paralelos. b) Un triángulo se puede considerar como un trapecio cuyo lado opuesto a la base es de longitud infinitamente pequeña.
La ilustración muestra que un triángulo se puede obtener, a partir de un trapecio, reduciendo indefinidamente la longitud de un lado. Resulta obvio que un paralelogramo también se puede obtener de un trapecio, reduciendo o aumentado convenientemente uno de los lados paralelos. Si llamamos b y b´ a los lados paralelos, tanto de paralelogramos como de triángulos ( uno de los lados paralelos es nulo) y llamando h a la distancia entre dichos lados, entonces el área se puede calcular mediante la fórmula:
A= ½ (b+b')h. Que es la fórmula conocida para calcular el área del trapecio.
Si la figura es un paralelogramo se tendrá b = b' y A= ½ (b+b')h =½ (2b)h = bh
Si la figura es un triángulo tal que b <> 0, entonces b'=0 y
A= ½ (b+b')h =½ (b+0)h = bh/2
Con esta definición amplia, podemos decir que todo polígono puede ser dividido en trapecios trazando rectas paralelas entre sí por cada uno de sus vértices. Observemos que si tenemos un conjunto de figuras de tres o cuatro lados con la misma altura (h), entonces pueden ser ubicadas entre dos rectas paralelas entre si, como se observa en la ilustración:
Veamos ahora que el cálculo del área total puede ser reducido a unos cuantos pasos sencillos: Para cada figura denotaremos los lados paralelos entre si con la letra correspondiente en minúscula así: a,a',b,b',c,c', d,d´,e,e',f y f'. El área total, utilizando nuestra definición ampliada de trapecio, será: At = A+B+C+D+E+F, luego
At= (a+a')h/2 + (b+b')h/2 + (c+c')h/2 +(d+d')h/2 + (e+e')h/2 + (f+f')h/2 y
At = (a+a'+b+b'+c+c'+d+d'+e+e'+f+f')h/2 o bien
At= (a+b +c +d +e +f +a' +b' +c' +d' +e' +f')h/2
Es decir: sumamos todos los lados que descansan sobre las dos rectas paralelas, multiplicamos por la distancia entre tales rectas y dividimos por dos. Como podrá observarse todo polígono puede ser dividido en conjuntos de trapecios con altura común. Cada conjunto estará definido por un par de rectas consecutivas y paralelas entre sí, trazadas por cada vértice del polígono dado. Estos trapecios se disponen de tal forma que sus lados paralelos se posen en cada una de estas rectas. ( ver la figura)
Esta particularidad nos llevará a una fórmula general para el cálculo de las áreas de los polígonos. No obstante, es necesaria la base teórica que a continuación pasamos a desarrollar.
Un conjunto de rectas el plano que pasan por un mismo punto se denomina haz central y el punto común es el centro del haz. Un conjunto de rectas paralelas pertenecientes a un plano se denomina haz paralelo. Un haz paralelo es finito si consta de un número finito de rectas; si k es el número de rectas del haz paralelo se denominará k-haz.
Si definimos un sentido perpendicular al k-haz, en la ilustración anterior indicado con la flecha, tendremos un haz paralelo ordenado. Las rectas se enumeran: r0, r1, r2,....., rk-1; en forma prelativa y en el sentido dado. Las rectas r0 y rk-1 se denominan extremos del k-haz.
La distancia entre dos rectas consecutivas de un haz paralelo se denota: d(ri ri+1). Se puede ordenar un haz paralelo infinito, tomando una recta como r0 y a partir de ésta, en el sentido seleccionado las enumeraremos consecutivamente : r0,r1, r2, r3,.....; en el sentido contrario las enumeraremos : r0, r-1, r-2, r-3,...... Dados dos haces paralelos: son paralelos, perpendiculares u oblicuos entre sí, si tomado una recta de cada haz, éstas son paralelas, perpendiculares u oblicuas entre sí, respectivamente.
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