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Números complejos

Resumen: Definición de número complejo. ¿Cómo determinar la forma polar de Z?. Parte Práctica.
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Autor: Carlos Veliz

Índice
1. Defina número complejo.
2. ¿Cómo determinar la forma polar de Z?
3. Parte Práctica
4. Bibliografía

1. Defina número complejo.

A toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria( ) recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los números complejos con la letra Z ; así
Z = a + bi (a Î Â )
Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma :
Re(z) = a
Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA.
Im(z) = b
ż cuando un número complejo se dice imaginario puro?
Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.
Ejemplo :
x2 + 16 = 0

x2 = - 16
x= ±

x= ± 4i
x1= 4i X2 = - 4i

Sean Z1 y Z2 números complejos. defina:

  1. Z1 + Z2 (adición de complejos)

La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.
O sea: (x1, x2) + (x3 , x4) = (x1 + x3 , x2 + x4).

* En Forma Binómica :
Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplo :
* Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i

  1. Z1 - Z2 (sustracción de complejos):

Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así :
Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)
Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
Entonces :
Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x - a, y - b).

* En forma Binómica :
Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces :
Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.

  1. (conjugado de un complejo):

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real .
Si se cumple, por tanto, que
Z = a + bi y

= a - bi

diremos que es el conjugado del complejo Z. En la práctica, para determinar el conjugado de un complejo basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.

* En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)

  1. Z1 × Z( multiplicación de complejos ) :

Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen términos semejantes.
La multiplicación puede hacerse más directamente observando que :
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
ac + (ad + bc)i + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i

* En forma de pares ordenados :
Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos números complejos, entonces, por definición : Z1 × Z2 = (a , b) × (x , y) = (a× x - b× y , a× y+b× x).

  1. (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo ) 

Llamaremos el inverso de Z1 = a1 + b1 es : = , tal que Z× Z1 =(1 , 0).
Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico : Z1 = (x , y).
Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
Es decir ; ( ax - by, ay + by) = (1 , 0)

y también

Al resolver el sistema obtenemos:

  1. (división de complejos):

Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por -1.

  1. ½ Z ( módulo de un complejo ):

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación :

½ Z= r =

que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector.
Sea Z un número complejo. explique como determinar
Sea Z= a +bi.
La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi :

= x + yi

= x + yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos :
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
a + bi = x2 + 2xyi + y2 (-1)
a + bi = (x2 - y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema :

Despejando "y" en (]]]) :

Sustituyendo este valor en(]]) :

Expresando en términos de X2 :

Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que "a" y x2 no puede ser negativo. Además = S.

Por lo tanto :

Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (]) se obtiene lo siguiente :

  • La ecuación (]) queda, así :

En la ecuación (]]]) podemos observar que "b" tiene el mismo signo que el producto "xy". Por lo tanto, si "b" es positivo "x" e "y" serán de igual signo y tendremos que :
Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones :
Para b > 0 : Las raíces deben ser ; ambas del mismo signo : positivas o negativas( + ,+), ( - , - )
Para b < 0 : Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +)
Sea Z un número complejo. explique como graficar z y como determinar su forma polar.
Sea el complejo Z= a + bi = (a,b).
Representación Gráfica de Z :
Se conviene en representar los números complejos mediante puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real "a" del número que representa. La ordenada es igual a la parte imaginaria "b". De esta forma, la representación del complejo Z= a + bi es el punto M del plano adjunto.
Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.
Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a,0) (en forma de par ordenado) tiene su afijo sobre el eje horizontal. Por esta razón, en la representación de los números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre de EJE REAL.
En cambio los complejos en la forma Z=bi ó Z=(0,b) tienen su afijo en el eje vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas recibe el nombre de EJE IMAGINARIO.
Con estas dos afirmaciones se puede establecer una biyección entre el conjunto de los números complejos y los puntos del plano : "a todo número complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto del plano es representación de un número complejo determinado".

2. ¿Cómo determinar la forma polar de Z?

Un Complejo Z= a + bi tiene su representación geométrica como un punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la siguiente forma :
b (a,b)
ó
b Z= a + bi

Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las coordenadas r y j (polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto (a , b) ó Z.
Los números complejos pueden representarse, por lo tanto, con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son las mismas que las coordenadas del punto.
a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y

Las coordenadas polares se representan en un círculo, considerando que 0 es el origen y el eje X+ es el eje polar.
Del triángulo rectángulo formado, se obtiene :
a = r cos j y b=r senj
Z= a + bi = r cos j + i sen j = r (cosj + isenj ) = r cisj = rej i

Donde : es el módulo del número Complejo.

es el ARGUMENTO del número complejo.

Z=a + bi = r cis j

En forma desarrollada :
Z= a + bi = r (cosj + isenj )
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2)

Definir :

  1. Z1 × Z:

Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cisq 1 y
Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cisq 2
Se efectúa el producto de Z1 × Z2
Z1 × Z= r1 Cisq 1 × r2 Cisq 2
En Forma desarrollada : = r1(Cosq 1 + iSenq 1)× r2(Cosq 2 + iSenq 2)
Ordenando : = rr2(Cosq 1 + iSenq 1)× (Cosq 2 + iSenq 2)

Efectuando el producto de los factores que están entre paréntesis :

Ordenando y sustituyendo i2 por (-1) :

Sacando factor común "i" en los últimos términos :

Por lo tanto, sustituyendo :

y, en la forma abreviada :

En resumen :

En palabras :
"El producto de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el producto de los módulos y como argumento, la suma de los argumentos."

Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cis q 1 y
Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cis q 2
Se efectúa el cociente Z1 Z2

Descomponemos así el segundo miembro :

Expresión equivalente a la que sigue :

Aplicando la fórmula de Moivre :

Y por último, multiplicando :

En definitiva :

En palabras : " El cociente de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el cociente de los módulos y como argumento, la diferencia de los argumentos."

C) Z1n (formula de moivre)
Z1n = (r1 Cis q 1)n = (r Cis q )(r Cis q )(r Cis q )..................... (r Cis q )

=

Z1n = (r1 Cis q 1)n = r n Cis(q 1 × n)

O sea :
El módulo de la potencia n-sima de un complejo z es la potencia n-sima del módulo y el argumento es el de Z multiplicado por n.
LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número complejo en forma trigonométrica a un exponente entero cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se multiplica el argumento por n.

3. Parte Práctica

  1. Efectuar :

  1. resolver : Z2 = 21 - 6i
  1. Sean Z1 = -2 + 3i ; Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i . calcular
  1. calcular :

 ; ;

  1. Expresar Z1 , Z2 y Z3 en forma polar y calcular :

 ;

  1. resolver en

 :

( Z - 1 - i) ( Z - 1 + i) ( Z + 1 + i) ( Z + 1 - i ) = 5

4. Bibliografía

  • Mendiola, Esteban. " MATEMÁTICAS 4to. Año." . Editorial Biosfera S.R.L. Página 287. Capítulo VII
  • Guía de Números complejos para Cálculo 10. Universidad de los Andes.
  • Baldor, A. "ÁLGEBRA ".Distribuidora Cultural Venezolana S.A. Página. 435.
  • "MATEMÁTICAS 1er. AÑO". Editorial Natura, S.R.L. Sociedad De Ciencias Naturales, La Salle. Página 180. Capítulo IV.
  • Jiménez, Jofre y Salazar, Jorge. " MATEMÁTICAS PRIMER AÑO, CICLO DIVERSIFICADO.". Ediciones CO-BO . Caracas.
  • Jiménez Romero, J. " MATEMÁTICA 1er. AÑO. CICLO DIVERSIFICADO.". Ediciones ENEVA. Caracas. Página 261.

 

 

Autor:
Carlos Véliz
activo52@hotmail.com

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