Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

 

DEFINICIONES

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

Hay dos formas de determinar conjuntos.

 

Por extensión ó Forma Tabular:

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplo:

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

 

Por comprensión ó Forma Constructiva:

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplo:

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

 

CONJUNTOS FINITOS

Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.

 

Ejemplo:

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito

V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

 

 

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

 

Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4}		C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}		E = {vocal de la palabra mundo}
B = {3, 4, 1, 2}		D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,}		F = {u, o}
A = B		C = D		E = F

 

CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

 

Ejemplo:

A = { Los perros que vuelan }			A = { }		A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días}			B = { }		B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar }			C = { }		C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas }			D = { }		D = Ø

 

CONJUNTO UNITARIO

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

 

Ejemplo:

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3}

 

CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = { aves }

B = { peces }

C = { conejos }

D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es

U = { animales }

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

 

 

Sean los conjuntos:

E = { mujeres }

F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es

U = { seres humanos }

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

 

CONJUNTO POTENCIA

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2^M .

Ejemplo:

a)	M = { 1, 2 }		El conjunto M tiene 2 elementos
	2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}		entonces 22 = 4 elementos
b)	M = { 1, 2, 3 }		El conjunto M tiene 3 elementos
	2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø}		entonces 23 = 8 elementos

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2^M tendrá 2ⁿ elementos.

 

CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

Ejemplo:

Conjuntos disjuntos				Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 }				M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 }				N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos.				M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto }				P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número }				Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos				P y Q no son disjuntos

 

 DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).

El gráfico es la representación de la unión

 

 

El gráfico es la representación de la intersección

 

 

El gráfico es la representación de la diferencia

UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x A o x B}

En forma gráfica:

Cuando no tienen			Cuando tienen algunos		Cuando todos los elementos de un
elementos comunes			elementos comunes		conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplo:

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A U C

b)

B U C

c)

A U B

 

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

						A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
						Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

						B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
						Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

				A U B = { , 1, , 3, , 5 }
				Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen				Cuando no tienen				Cuando todos los elementos de un
elementos comunes				elementos comunes				conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplo:

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A C

b)

B C

c)

A B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

				A C = { , }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

				B C = { }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

				A B = { , }
				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x A y x B}

 

Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen		Cuando tienen		Cuando todos los elementos de un
elementos comunes		elementos comunes		conjunto pertenecen a otro conjunto

 

Ejemplo:

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A – C

b)

B - C

c)

A - B

 

 

 

 

 

 

Tenemos:

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

				A - C = { a, b, c, e }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

				B - C = { a, e }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

				A - B = { b, c, d }
				Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

 

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

A' = { x/x U y x A }

 

Ejemplo:

a)	Sean U = { m, a, r, t, e }		Y		A = { t, e }
	Su complemento de A es:				A' = { m, a, r }

 

	En forma gráfica:

 

b)	Sean U = { letras de la palabra aritmética}		y		B = { vocales de la palabra vida }
	Determinado por extensión tenemos
	U = { a, r, i, t, m, e, c }				B = { i, a }
	Su complemento de B es:				B' = { r, t, m, e, c }

 

	En forma gráfica: