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El metodo de Monte Carlo

Resumen: Implementacion practica de una simulación de Monte Carlo. Descripción matemática del problema transporte de Foton. Solución de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann. El Monte Carlo estima de expectativa. Dispersión Compton - Monte Carlo.
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Autor: Jason Méndez Córdova

Indice
1. Introducción
2. Implementacion practica de una simulación de Monte Carlo
3. Descripción matemática del problema transporte de Foton
4. Solución de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann
5. El Monte Carlo estima de expectativa
6. Dispersión Compton - Monte Carlo

1. Introducción

El metodo de monte carlo es muy usado es los lenguajes de programación ya que se usa para hallar la probabilidad de un suceso, el trabajo que les presento explica el Metodo Monte Carlo , usado en la simulación de la mecanica estadistica..
Esperando su sugerencia .

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Monte Carlo simulación puede inspeccionarse como un método de resolver ecuaciones integrales. Considere el problema de calcular el valor medio de un real-valor función T(x) definido sobre un espacio :

(1)

Cada valor x es una posiblemente multidimensional cantidad caracterizando el estado del sistema. La función f es una función de densidad de probabilidad (PDF) determinado la probabilidad ese que el estado del sistema yace entre x y x+dx.

Una estimación de Monte Carlo de es obtenida por dibujar al azar N muestras desde la distribución f. Muestra desde f medios esta probabilidad de elegir un muestreo x* desde el intervalo (x,x+D x) es f(x)D x. El Monte Carlo de estimación es dada por

(2)

Este, la intratable integral, Ecuación 1, es reemplazado por una suma finita.

La estadística bondad o fiabilidad de la estimación depende de ambos tamaño de muestreo N y la variabilidad del la estimación T(x) que es descrita por la variancia

(3)

Debajo condiciones suficientemente generales, el teorema del limite central muestra que para grandes N, es aproximadamente una distribución normal con significados de cero y una varianza de uno. Simbólicamente:

(4)

Donde P(x) denota la probabilidad de suceso x. Por ejemplo, la probabilidad esa yace dentro de el intervalo es 0.95.

La ecuación 4 implica esta precisión de la estimación aumenta con la raíz cuadrado del número de historias. Ese, para cada dígito adicional de importancia, el número de historias debe aumentarse un ciento. La táctica bruta de fuerza de N creciente para mejorar precisión rápidamente alcanza el punto de cifras decrecientes. Practica las técnicas de reducción de varianza, discutidas en la Sección VI, apuntadas a reducir la varianza por la unidad de calcular esfuerzo, por alterar los marcando y muestra procedimientos.

2. Implementacion practica de una simulación de Monte Carlo

Hasta ahora, la meta de este capítulo ha sido desarrollar las herramientas matemáticas necesitadas atacar el problema de escoger el fotón al azar las trayectorias del núcleo de dispersión (Ecuación 20). Nosotros discutiremos ahora métodos prácticos de generar foton historias.

  1. Sistema Coordenadas

El sistema coordenada para describir colisión sitios y foton vuelo de las trayectorias. Para designar la situación espacial de sitios de la colisión r, la usual coordenada cartesiana r=(x,y,z) son usadas.
Los tres cosenos directores (u,v,w) con respecto a los ejes x, y, y z constituye la anotación más eficaz por describir la dirección . Los cosenos directores son relativas a las coordenadas esféricas angulares usuales (donde denota el ángulo polar) por;

Una ventaja de esta anotación es que permanece sin cambiar debajo los desplazamientos lineales S:

(38)

donde r ' designa la posición final después de un desplazamiento S a lo largo de originar a r. Usa más acuerdo vector anotación:

(39)

Más pretenciosamente, como demostración en las secciones siguientes, esta anotación elimina la necesidad explícitamente evaluar tiempo - consumiendo funciones seno y coseno.

3. Descripción matemática del problema transporte de Foton

En esta sección, el problema de transporte se caracterizará matemáticamente como una ecuación integral tener la forma de ecuación 1. Para este fin, ambos las formas diferenciales e integrales de la ecuación transporte de Boltzmann se derivan. Esta comprensión formal del problema provee una base conceptual sana para métodos generales crecientes de la reducción de varianza y marcando necesidad eficiente para Monte Carlo de simulación.

A. La densidad de flujo y cantidades relacionada
La distribución de fotones dentro de un sistema de absorber y las fuentes pueden ser completamente descritas por especificar la partícula fluidez a cada espacial coordenada r, dirección de trayectoria y la energía del foton E.

es el radio dN/dA, dónde dN es el número de fotones que pase mediante el área dA alineó normal a y ubicó a r con y . Este tiene las unidades de fotones por cm2 por la unidad de ángulo sólido y energía. Si es integrado sobre todas las energías y direcciones, nosotros hemos partícula fluidez como definido por el Comisión Internacional sobre Medidas y Unidades de Radiación (ICRU), esto es., dN/dA, el número de fotones: dN que entra en una esfera de la sección de cruz de area dA se centran a r. La integración sobre las variables y E será indicada por los omitidos desde el argumento de . Para Simplificar el problema, la dependencia de es ignorada.

Dada la partícula fluidez, todo el otro dosimetría las cantidades de interés pueden, en el principio, se calculan. Por ejemplo, debajo condiciones de equilibrio electrónico, la dosis al mediano puede ser calculado por

(5)

Dónde es la masa - energía coeficiente de absorción y Encomendar partícula de equilibrio aproximadamente existe cuando la carga en el foton partícula fuente es pequeño sobre el electrón secundario de rango. En un extendido mediano, nosotros siempre desde contorno y primario foton las fuentes, esta condición es aproximadamente satisfecha cuando el electrón secundario de rango es pequeña comparada a la foton medio - libre trayectoria. En el caso donde el medio es el aire. La ecuación (5) es proporcional a la exposición.

El calculo de requiere tres tipos de datos elementales:

  1. La probabilidad de cada interacción elemental procesa como una función de incidencia foton energía E y propiedades pertinentes del absorbentes mediano. Estos datos se tabulan desde el punto de vista de foton las secciones de cruz

, donde Z es el número atómico del mediano.

La sección de cruz tiene las unidades de barns/átomo (10-28

m2/átomo). Equivalente, el coeficiente lineal de atenuación puede

usarse con unidades de m-1.

2. Para cada proceso de interacción, la función de densidad de probabilidad (PDF) da la probabilidad de cada posible resultado de la interacción especificada desde el punto de vista de esparcir ángulo y emergente foton energía E’. Esta cantidad es conocido como la sección diferencial de cruz, . Desde y E’ son deterministica relacionada para todo procesos discutidos en este capítulo, la anotación diferencial doble es innecesaria en práctica .

  1. El conocimiento del PDF que gobierna el transporte de una dispersión o primario foton desde un sitio de colisión a otro. Esta distribución, discutida en forma detallada en la Sección IV B.I. es estrechamente relativo a la ley de atenuación exponencial.

B. Ecuación de transporte de Boltzmann –Monte Carlo

La densidad de flujo para cualquier combinación de foton fuente y contorno condiciones es completamente determinada por el tiempo - invarianza ecuación de transporte de Boltzmann. La derivación heurística siguiente se adapta desde Fano.
Considere un cilindro derecho con sección cruz área dA y la longitud dL con este eje paralelo igual a dirección (Figura 1.). El número neto de fotones con la dirección y la energía E creó en el cilindro por el tiempo de unidad es

Esta diferencia es la suma de tres contribuciones:

  1. La atenuación dada por .
  2. Foton de fuentes y descender dentro de el volumen dadas por donde S tiene unidades de fotones por el volumen de unidad, ángulo sólido, y energía.
  3. Dispersión de fotones desde el estado en el estado regido por el diferencial cruz sección/ longitud de trayectoria de unidad,

. Dejar y poniendo estos términos juntos, nosotros obtenemos

(6)

La ecuación 6 es el punto de partida para un tratamiento riguroso del problema afianzado de absorber. Aunque analítico y seminumerico los métodos que se hayan usado exitosamente para resolver la Ecuación 6 en el caso de absorber ilimitado, simulación de Monte Carlo ofrece un general método para la solución que involucra absorber con dirección.

1. La Forma Integral de la Ecuación de Boltzmann
La transformación de Ecuación 6 es la forma integral más claramente da a conocer la naturaleza estocástica de transporte de radiación. Nosotros iniciamos por expandir la ecuación 6 en ordenes de dispersión:

(7)

donde representa la densidad de flujo de dispersión de fotones. Para cada onden de esparcir n, la Ecuación 6 llega a ser

(8)

dónde es la función delta Kronecker.

Considere ahora el problema de calcular la fuente proviniendo desde dispersión de fotones a lo largo de una línea , donde r y se fijan y R es una variable positivo numero real. Dejar y anote que.

y

(9)

Aplicar ecuaciones 9 a 8, son obtenidas

Integrando ambos lado a lo largo de la línea desde R=0 a R ,

Finalmente dar

(10)

Estas ecuaciones simplemente afirman que la fuente única de n de veces dispersión de fotones con la energía E y la dirección a r son (n-1) las veces que dispersión de fotones esparciendo en el estado en alguna parte a lo largo de la línea . El exponencial término rinde cuentas para esos fotones que son atenuadas por el mediano antes de alcanzar r.

A este punto, probará útil a reformular la ecuación de transporte desde el punto de vista de la densidad de colisión x, más bien que la partícula fuente,

(11)

donde representa el número de fotones con el estado entrando en colisión por el volumen de unidad, sterioradian, energía y tiempo. Similarmente, es la densidad de fotones entrando en colisión a . Ecuación revisar 10 desde el punto de vista de , sumando sobre todas las ordenes de esparcir, y reemplazando que la línea integral con la integración sobre todos de espacio por el uso de la Función Delta de Dirac de , nosotros obtenemos

(12)

Donde es la dispersión Kernel

(13)

Y .

La inspección de Ecuación 13 da a conocer que es una condicional PDF, exhibición que foton el transporte es un proceso de Markov. Que es, la probabilidad que un foton experimenta su colisión al es dada por la transición de probabilidad que depende solo en , el foton estado justo simplemente con anterioridad a esta(n-1) colisión. Más fundamentalmente, la Ecuación 12 implica que la solución es equivalente al conjunto de todas posible caminatas aleatorias a través de -espacio.

2. El calculo de valores esperados
En muchos casos práctico de transporte de problemas, la especificación completa del campo de radiación desde el punto de vista de o es innecesaria. Las cantidades típicas de interés son la cantidad de energía depositada en un detector de una geometría y composición especificada o el número de fotones transmitido mediante un superficie determinado, una barrera de protección de radiación. Estas cantidades pueden describirse en nuestro formalismo por medio de una función que representa la contribución relativa de un foton colisionando a a la cantidad de interés.

El significar valor por emitido foton es dado por promediar la función marcar sobre todos posible estados.

(14a)

(14aa)

La correspondiente varianza es

(14b)

En términos de la notación usada en la Sección II para introducir Monte Carlo,

designa el estado del sistema donde PDF asociado del sistema

es la solución de la ecuación integral Fredholm

(14c)

Como un ejemplo de un marcador función, considerando un detector esférico de radio centró en . El T, con dar la energía depositado al detector por la masa de unidad, es

(15)

4. Solución de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann

Un Monte Carlo (MC) simulación de un sistema de fuentes y absorver involucra azar selección de un conjunto finito de trayectoria de fotones o "historias", desde el conjunto de toda posible trayectorias dadas por la solución de la ecuación de transporte de Boltzmann. Esto es entonces la posible a reemplazar la integral de Ecuación 14 por una suma finita para obtener una estimación estadística de la cantidad de interés .

En su forma más simple, MC es un juego de oportunidad, donde cada elección aleatoria es dictada por reglas isomorficas (formas iguales) a el elemental PDF que gobierna la absorción y dispersión de radiación en el sistema físico real.
Por ejemplo, considerar una isotropico (direcciones iguales, no dependen de la dirección en que se miden) la fuente de punto empotró en un absorber finito. Cada foton de la trayectoria, o historia, se genera según el siguiente prescripción. El primero, una trayectoria es escogido para el emitido foton por probando el isotropico emisión PDF. Próxima, distancia al próximo sitio de colisión se prueba accidentalmente desde la exponencial ley de atenuación. Entonces, una trayectoria y la energía para la dispersión foton sacan forma la sección normalizada de cruz diferencial . A cada paso, el marcando función T, "Haga el foton interaccionar con el detector", poder ser aplicado. Este proceso de seleccionar el sitio de interacción , dispersión energía, y la trayectoria es repetida hasta que los fotones sea absorbió completamente o escapo desde la absorción.

  1. La Descripción Formal De La Simulacion De Monte Carlo

Cada recorrido al azar o foton "historia" k puede ser representada por el conjunto

donde cada vector denota el estado del foton simplemente antes de la colisión:

(16)

Donde , , y indica la posición, dirección, y energía de del foton inmediatamente antes de la colisión. El número , el foton de peso , es la probabilidad que el foton ha escapado absorción durante las primeras j-1 colisiones.

Cada secuencia claramente tiene la estructura de un Markov de Cadena, desde cada estado es escogido por muestreo la probabilidad condicional distribución, . Así, en orden a demostrar ese cada es al azar dibujado desde el conjunto de todo posible trayectoria de Boltzmann, esto es suficientemente a mostrar ese que tienen la forma de Ecuación 13.

Eligiendo determinado , involucra las opciones aleatorias siguientes:

  1. Asigne energía y dirección saliendo (j-1) colisión.
    1. j=1: Primera Colisión de foton Primario, al azar asigna una trayectoria inicial, sitio de origen y, energía por muestreo la fuente distribución de función .
    2. j

2: Anteriormente dispersión del foton.

      1. Al azar escoja el proceso de interacción a (j-1) la colisión, basado

sobre las magnitudes relativas de las secciones totales de cruz

de compitiendo procesos ( absorción

fotoeléctrico, dispersión coherente y incoherente, etc.).

      1. Pruebe el PDF, definido por la cruz diferencial sección de el proceso escogido en el Paso i), para encontrar la dirección saliendo el (j-1) colisión, esto es probando desde

(17)

      1. Calcule la energía el Ej, saliendo la (j-1) colisión desde la energía dispersión ángulo la relación.
  1. Asigne el peso saliendo el (j-1) colisión.
  2. Encuentre el sitio de colisión rj

(18)

probando la distribución (ver IV.B.1)

(19)

para S, la distancia entre (j-1) y la colisión.

  1. Encuentre la contribución de esta colisión a la cantidad de interés.
  2. Retorne al paso 1.

Desde estas elecciones aleatorias son independientes de uno otra, la

probabilidad de elegir dadas es el producto de estos Individual PDFs.

(20)

donde la probabilidad condicional denota la distribución compuesta probada en el paso 1b:

(21)

k=1,.....m denota el proceso de dispersión, y .

Anote esa Ecuación 20 es idéntico a la Ecuación 13, estableciendo que es desde luego al azar sacada el muestreo desde la población deseada.

5. El Monte Carlo estima de expectativa

Valora; para simulaciones que involucran bajas número atómico medios, un suceso fotoeléctrico para todos los intentos prácticos termina la historia desde la baja-energía características de los rayos-x se absorben localmente. Así, estocasticamente simula colisiones fotoeléctricas representa "derrochado" calculo esfuerzo. Un común método de reducción calculo de tiempo relativo a la muestra de la varianza (" reducción de varianza") es á eliminar efecto fotoeléctrico como un posible mecanismo de interacción y reduce el foton peso , que saliendo la (j-1) colisión por la probabilidad de sobrevivir fotoeléctrico absorción. Específicamente, el PE de término se elimina Ecuación de forma 21 y reemplaza por .

Entonces

(22)

sumando entonces encima de todas las historias simuladas rinde estimaciones estadísticas de la verdadera media y muestra la varianza :

(23)

Comparación de Ecuaciones 23 y 14 muestra que normalizaron colisión densidad es la contraparte analítica de foton peso. La convergencia de la estimación a con M creciente es garantizada por el teorema de límite central.

  1. La Generacion De Muestreos Al Azar

La simulación de Monte Carlo se ha mostrada para ser una secuencia de distancia aleatoria a próxima colisión, tipo de proceso de colisión, y trayectoria y foton la energía que dejar colisión. Cada de estos pasos involucra selección de un muestreo x* desde la distribución apropiada f(x). Tal algoritmo es necesariamente altamente repetitivo, como las secuencias de azar las opciones deben repetirse para cada suceso de dispersión evento en el foton historia. Los números grandes de tales historias, sobre la orden de 5,000 a 500,000 deben ser simulados para obtener un intervalo de confianza suficientemente pequeña sobre la respuesta final. La precisión lograble es limitada por la computadora del usuario de los recursos: disponible memoria y tiempo procesador central. Para extender estos recursos, es deseable para aumentar al máximo la eficiencia de la técnica de muestreo empleada. La más usualmente usó digital - computadora de técnica es la reducción del problema, eligiendo X* desde f(x), al problema más simple de al azar eligiendo uniformemente distribución número desde el intervalo de unidad. Así, la selección de unas secuencias de variables aleatorias es equivalente a la generación uniformemente distribuida secuencia .

La reducción de la muestra procesa a la generación de uniformemente distribuida al azar variables es descrita por el fundamental teorema de la inversión:
Teorema. Dejar X ser al azar variable con PDF f(X), la función de distribución acumulativa (CPD) F(x), y dejar r* denotado un uniformemente distribuido número al azar sacado desde el intervalo de unidad. Entonces la probabilidad de elegir x* como definir por

(24)

es f(x*).

Permita F-1(r) denota la inversa de F(x):

Permita x*=F-1(r*),

Estas igualdades, afirman que es igual al valor de la probabilidad que la escogido la variante uniforme r* es menos de F(y).

Desde P(r*)=1 para todo r*,

Esto muestra que el conjunto de variables al azar x* tiene el mismo acumulativo distribución de probabilidad (CPD) como el X determinado al azar variable X.

El problema de azar eligiendo una de N posibilidades discretas regido por probabilidades tal que

es el caso discreto de inversión analítica. Dado un número aleatorio r*, la variable aleatoria se encuentra por

(25)

si no,

donde

6. Dispersión Compton - Monte Carlo

En dispersión Compton, un foton es dispersado por un electrón en reposo, impartiendo algo de su energía al electrón. La energía, , del foton incidente es así compartidos entre la dispersión del foton, , y el efecto Compton, , de la cinemática de coliciones, que puede mostrarse que la energía del foton dispersado es relacionado con la energía del foton incidente y el angulo de dispersión del foton como sigue:

(1)

Donde y MeV.

La seccion transversal para la dispersión Compton, basado en el trabajo de Klein-Nishi

(2)

Donde ro=2.81794*10-13cm es el radio clásico de los electrones. Esta sección transversal será tabulada y ploteado por NBS.

La diferencial de la sección transversal de Klein-Nishina para dispersiones de un foton de energía a un angulo de con d de es dado por

(3)

Usando la transformación

obtenemos

(4)

Para una energía dado del foton incidente, esta expresión tiene una función de densidad de probabilidad de

(5)

Donde, y es él limite inferior de x. Definiendo por

la función densidad de probabilidad puede ser escrita como

donde (6)

y la acumulada función de probabilidad como

(7)

La muestra de distribución de Monte Carlo requiere soluciones de esta ecuación para x, un numero randon igualmente distribuido en [0,1). Everett y Cashwell usan un método de aproximación la cual es mas sesillo a implementar y razonablemente exacto. Ellos aproximan la inversa de la función como

(8)

Resumiendo, la decisión a simular es basado en la total sección transversal de Compton, y la partícula en el final estado son simulada por la muestra x de la ecu. 7 y calculando la energía y dirección de dispersión de fotones de las expresiones:

(9)

El electrón retorna teniendo energía cinética de

 

(10)

en unidades de , y el angulo de deflexión del electrón es dado por

(11)

La dispersión del foton y del electrón Compton son entonces transportados como una nueva generación de particulas.

Programa en fortran 90 Similacion con Monte Carlo

SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE ON THE COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE REGION FOR THE NEAREST NEIGHBOURSING MODEL
!.........................................................................................
!......SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE
!......ON THE COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE
!......REGION FOR THE NEAREST NEIGHBOUR ISING MODEL
!.........FIELD VERSIÓN
!........DIETER W. HERMAN
!.......GRUPO FUSION
!..........................................................
................................
DIMENSION ISS(12,12,12),IM(12),IP(12)DIMENSIÓN IDIST(2000)
REAL DEMON,H
REAL ENERGY,ET
REAL RCLUDE
RAL MODM2,PB,RAM
REAL DMAV,MAGAV
!..............................................................................................
H=0.0
L=12
MCSMAX=100
M=L*L*L/2
ISEED=4711
PB=0.0155
IPLAG=2
RECLUDE=L*L*L
!.......INITIZALIZE
DO 1 I=1,L
IM(I)=I-1
IP(I)=I+1
1 CONTINUE
DO 2 I=1,1000
IDIST(I)=0
2 CONTINUE
DO 5 I=1,L
DO 5 J=1,L
DO 5K=1,L
ISS(I,J,K)-13
5 CONTINUE
C=0
DO 10 I=1,L
DO 10 J=1,L
DO 10 K=1,L
RAN=RANF(ISEED)
IF (RAN.GT,PB) GOTO 10
M=M+1
ISS(I,J,K)=ISS(I,J,K)+14
ISS(IM(I),J,K)=ISS(IM(I),J,K)+2
ISS(IP(I),J,K)=ISS(IP(I),J,K)+2
ISS(I,IM(J),K)=ISS(I,IM(J),K)+2
ISS(I,IP(J),K)=ISS(I,IP(J),K)+2
ISS(I,J,IM(K))=ISS(I,J,IM(K))+2
ISS(I,J,IP(K))=ISS(I,J,IP(K))+2
10 CONTINUE
ENERGY=0.0
DO 20 I=1,L
DO 20 J=1,L
DO 20 K=1,L
ICT=ISS(I,J,K)
IVORZ=ISIGN(1,ICI)
ICIA=ICI*IVORZ
ENERGY=ENERGY+ICIA-7
20 CONTINUE
ENERGY=-ENERGY*2.0*3.0/8.0-H*2.0*M
ENERGY=ENERGY/32768.0
H=H*4.0/3.0
WRITE(*,6000) PB,ENERGY,M
IF (IFLAG.EQ.1) STOP 1
!..............................................................................................
! MONTE CARLO
DEMAV=0.0
MAGAV=0.0
DEMON=0.0
FLDEM=0.0
DO 200 MCS=1,MCSMAX
DO 100 IZ=1,L
IMZ=IM(IZ)
IPZ=IP(IZ)
DO 100 IY=1,L
IMY=IM(IY)
IPY=IP(IY)
DO 100 IX=1,L
ICI=ISS(IX,IY,IZ)
IVORZ=ISIGN(1,ICI)
IEN=ICI*IVORZ-7
IF (DEMON-IEN-H*IVORZ.LT.0) GOTO 100
DEMON= DEMON-IEN-H*IVORZ
!........FLIP SPIN………….
M=M-IVORZ
ISS(IX,IY,IZ)=ICI-IVPRZ*14
ICH=-2*IVORZ
ISS(IM(IX),IY,IZ)=ISS(IM(IX)IY,IZ)+ICH
ISS(IP(IX),IY,IZ)=ISS(IP(IX),IY,IZ)+ICH
ISS(IX,IMY,IZ)=ISS(IX,IMY,IZ)+ICH
ISS(IX,IY,IZ)=ISS(IX,IPY,IZ)+ICH
ISS(IX,IY,IPZ)=ISS(IX,IY,IPZ)+ICH
100 CONTINUE
!......IPTR=10*DEMON+1
!......IDIST(IPTR)=IDIST(IPTR)+1
DEMAV=DEMAV/MCSMAX
MAGAV=MAGAV/MCSMAX
WRITE(*,6200) DEMAV, MAGAV
FLUCT=(FLDEM-DEMAV*DEMAV/MCSMAX)/MCSMAX
WRITE(*,6400) FLUCT
! DO 900 J=1,991,10
! WRITE(*,6500) (IDIST(J-1+I),I=1,10)
! 900 CONTINUE
!.........FORMATS
6000 FORMAT(1H,1E20.6,2X,1E20.6,2X,1I10)
6100 FORMAT (1H,1I10,3X,1E20.6,3X,1I10)
6200 FORMAT (IHO,’DEMON AV=’,1E20.6,3X,’MAG AV=’,1E20.6)
6300 FORMAT(1HO,1I10,1X,1E20.6,1X,1E2O.6,1X,1E20.6,1X,1I10)
6400 FORMAT(1HO,’DEMON FLUCTUATION=’,1E20.6)
6500 FORMAT(1HO,10(2X,1I10))
STOP
END

 

Trabajo enviado por:
Jason Méndez Córdova –
lado_oscuro_eterno@latinmail.com.
jasonforever1917@latinmail.com
FOREVER edad 23 años –
Estudiante del ultimo ciclo en la Universidad del Callao-
Facultad de Física Pura(Carrera de Física Computacional)
Egresado de Sistemas y Electrónica básica
Lima – Perú
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