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Apunte para entender bastante la teoría de la relatividad especial y algo la general

Resumen: Las dos teorías de la relatividad. La teoría de la relatividad especial. Consecuencias de la aplicación de los postulados de Einstein. El calculo de velocidades relativas. Las consecuencias extrañas de la teoría de la relatividad especial. Algunos conceptos para entrar en la Teoría general de la Relatividad. La Teoría General de la Relatividad.
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Autor: Eduardo Yvorra

Indice
1. Introducción
2. Las dos teorías de larelatividad
3. La teoría de la relatividadespecial
4. Consecuencias de la aplicaciónde los postulados de Einstein
5. El calculo de velocidadesrelativas
6. Las consecuencias extrañas dela teoría de la relatividad especial
7.Algunos conceptos para entrar en la Teoría general de la Relatividad
8.La Teoría General de la Relatividad

1. Introducción

A partir de tratar de explicar apersonas que se interesaban, algunos conceptos de la teoría especial de larelatividad, sea la constancia de la velocidad de la luz, el significado delpaso del tiempo, la relación entre los diferentes sistemas de referencia; me dicuenta que mis explicaciones no eran satisfactorias. Pienso que cuando uno nopuede explicar algo es quizás porque algo de lo que intenta explicar no loentiende. Así con el mismo método que encare la lectura y la escritura detemas
relacionados con la mecánica cuántica, me propongo ahora hacer lo mismo con larelatividad.
Lo primero que surge de algunas lecturas es que las teorías de la relatividaddesarrolladas por Einstein, al igual que en el caso de la física cuántica, noson teorías que se vinculen con nuestro sentido común desarrollado a partir delas experiencias cotidianas. Esto sigue para mí siendo tan sorprendente como esel caso de la física cuántica , mi pregunta es ¿cómo una persona puedepensar y desarrollar una teoría a partir de supuestos que en una primerainstancia suenan ridículos, o contrarios a lo que llamamos razonable? No tengorespuesta a esta pregunta pero sí una conclusión: hay que tomar caminos que noparecen razonables con confianza, si finalmente conducen a algo ese algo seráextraordinario porque estaba oculto a los ojos de muchos y solo se revela porprimera vez a aquellos que seguramente se encontraron con una felicidad supremaal ver que lo ridículo era cierto. Si no conducen a nada, el solo esfuerzo detransitarlos templa el espíritu para emprendimientos mayores, es en definitivauna escuela de formación del alma.

Vayamos ahora sí al tema. La teoría de la relatividad que se asigna aAlbert Einstein, esta vinculada con los temas de la bomba atómica, la energíanuclear y con la idea de que no hay absolutos, sino todo es relativo. Digamosque lo referente a la energía nuclear es ante todo un subproducto de lostrabajos de Einstein. A diferencia de muchas teorías científicas, larelatividad es una teoría que surge a través del método científicodenominado deductivo en lugar del inductivo. Esto significa que Einstein iniciasu planteo con algún postulado acerca de la naturaleza sin recurrir aexperiencias observables es decir sin comprobación posible de lo que postulacomo verdadero; vale una digresión aclaratoria: el porque o de donde saca lospostulados iniciales, mucho tienen que ver con lo que pasaba en el mundo científicoen su momento; es decir Einstein no saca postulados de la galera. A partir deallí, deduce las consecuencias que se producirían si dichos postulados soncorrectos. Estas consecuencias se utilizan luego para predecir comportamientosde la naturaleza, y si los mismos se confirman correctos, entonces se acepta ala teoría como valida, independientemente que el o los postulados inicialessuenen extraños o contradictorios o no intuitivos, difíciles de entender en susignificado.

Entre las consecuencias que suenan como esotéricas, encontramos laequivalencia de masa y energía: la masa seria algo así como energíacongelada. La relación entre ambas esta dada por un factor tan grande que es labase de los desarrollos en energía nuclear y lamentablemente también guerranuclear.

a) El paso del tiempo
Nuestra intuición nos dice que el tiempo es absoluto, un segundo es lo mismopara mi sentado en la computadora que para la persona que esta en un autoviajando a 120 km/hr. Por esa razón es que podemos usar relojes que miden elpaso del tiempo y combinar encontrarnos en un lugar a una hora determinada. Laprimera ridiculez que surge como consecuencia de los postulados de Einstein allápor 1905, es que el tiempo no es absoluto, sino que el paso del mismo dependedel estado de movimiento del reloj con el cual se mide. Un segundo medido en unreloj por cierto observador, corresponde a menos de un segundo transcurrido enun vehículo que se mueve respecto de dicho observador que mide. Esto quieredecir que el tiempo es relativo al observador que lo mide.

¿Por qué Einstein propuso cosas que conducen a conclusiones que suenan ridículas?
La relatividad del tiempo no es parte de nuestras experiencias personales en elmundo, por el contrario viola dichas experiencias. Los efectos de la relatividaddel tiempo son muy pequeños, imperceptibles a las velocidades bajas que estamosacostumbrados en el mundo cotidiano. La relatividad es una propiedad de lanaturaleza no intuitiva. Toda la física que se inicia en el siglo XX esta endesacuerdo con el sentido común.
Tampoco es posible hacer aproximaciones a la teoría de la relatividad especiala través de experimentos o deducciones matemáticas.
Lo que Einstein intento hacer es poder dar explicaciones que hasta ese momentono existían de fenómenos estudiados a lo largo del siglo XIX, algo así comouna nueva interpretación.

2. Las dos teorías de la relatividad

Einstein desarrollo dos teorías de la relatividad:

  1. La teoría especial de la relatividad en 1905, que se ocupa de la forma en la cual el espacio y el tiempo se manifiestan a diferentes observadores, que se mueven a velocidades relativas constantes entre ellos. Cuando en física hablamos de observadores, nos referimos a personas que pueden hacer mediciones de espacio con una regla, o del paso del tiempo con un reloj. Es decir esta teoría es una teoría del espacio - tiempo
  2. La teoría general de la relatividad en 1915, es una teoría que estudia las causas de la gravedad, de la atracción existente entre dos cuerpos. Pensemos por un momento lo extraño que resulta afirmar que dos cuerpos muy masivos (Ej. La tierra y la luna), ejercen entre sí una fuerza de atracción a pesar de estar separados por una gran distancia y no estar unidos por nada material. La acción a distancia sin una conexión concreta, es algo extraño, aunque al estar acostumbrados a percibirla, no nos asombra. Newton había determinado cual era la ecuación matemática que expresa la ley física de atracción entre los cuerpos, pero nunca explico el porque de la acción a distancia que ejercen los cuerpos entre si. Esta teoría de Einstein brinda de alguna manera ese por que.

3. La teoría de la relatividad especial

Ahora nos concentraremos en la primera de las teorías de la relatividad, esdecir la especial.
En primer lugar tenemos que saber que la idea fundamental de esta teoría es lano existencia de la condición de movimiento o reposo absoluto. Solo existe elmovimiento relativo entre cuerpos y el estado de reposo de un cuerpo serárelativo a otro cuerpo. Este es el motivo por el cual la teoría adopta elnombre de Relatividad.

¿Qué significa la condición de movimiento absoluto? seria aquel que puededeterminarse y medirse sin ninguna referencia localizada fuera del objeto enmovimiento. No existen marcas fijas en el espacio contra las cuales pudieranobservarse los estados de movimiento de los cuerpos. Pensemos ¿como nos damoscuenta nosotros viajando en un auto a velocidad constante, es decir sin acelerarni frenar, que estamos en movimiento? . Alguna vez podremos haber tenido laexperiencia de estar en un vagón de tren detenido en el anden, y de repente sivemos otro tren en el anden contiguo que se mueve en dirección contraria alnuestro, nos da la sensación que somos nosotros los que nos movemos. ¿Por qué?Porque simplemente es cierto, nos movemos relativamente al otro tren, lo cual noindica que nos estemos moviendo respecto del anden donde estamos estacionados.

La condición de movimiento esta íntimamente conectada con el tiempo. Es asíque otra idea fundamental de esta teoría de Einstein será que el tiempoabsoluto no existe.
Ya dijimos que la velocidad a la que escuchamos el tic-tac de dos relojes,depende de la velocidad relativa entre ellos. Se comprueba que si sincronizamosdos relojes , y uno queda en tierra mientras que el otro viaja al espacio yvuelve, al llegar, la lectura en este ultimo mostrara que el tiempo transcurridoes menor que la lectura en el reloj de tierra. No solamente esto sino que sihubo una persona viajando, esta habrá envejecido menos que la que quedo entierra. Claro como antes dijimos, las diferencias son imperceptibles a lossentidos, aunque no en la medición de los relojes que puede hacerse tan precisacomo sea necesario. Veremos esto con mas detalle mas adelante.

Un detalle acerca de la personalidad de Einstein. El siempre desconfió deciertos conceptos establecidos no por la razón sino por una autoridad suprema.Esta actitud le permitió dar un gran salto, animándose a proponer lo que otrosno se animaban o simplemente no se cuestionaban para no ser tildados de tontos.
Es así que lo que Einstein trataba de hacer cuando propuso su teoría especialde la relatividad, era encontrar el sentido a un conjunto de propiedades de lanaturaleza observadas durante un largo periodo de tiempo. ¿Cuáles eran estas?

a) La relatividad de la mecánica
La rama de la física que estudia como las masas responden a las fuerzas queactuan sobre ellas y a su movimiento, se denomina mecánica. Newton desarrolloen el siglo XVII esta rama de la física a partir de contribuciones hechasanteriormente por Galileo. Las leyes de la mecánica, tienen implícito unprincipio de relatividad. Este dice que no existe ningún experimento mecánicoque pueda revelar el estado de movimiento de un observador. Este solo puedemedir su movimiento relativo a otro observador u otro objeto. No puede decir quese mueve a tal o cual velocidad en términos absolutos. Einstein extendió esteprincipio de relatividad de la mecánica a toda la física cuando dijo que ningúnexperimento, no solo mecánico puede determinar un estado de movimientoabsoluto. Su gran salto fue afirmar, el movimiento absoluto no existe.

b) La relatividad de la electricidad y el magnetismo.
La electricidad es un fenómeno de la naturaleza asociado con pedazos de materiacargadas positiva o negativamente. Este fenómeno se manifiesta porque entredichos pedazos de materia cargada se ejerce una fuerza de atracción o repulsión.Cuando las cargas están en reposo hablamos de electricidad estática, mientrasque si están en movimiento las denominamos corriente eléctrica. Al frotar unvidrio con un trapo y luego acercarlo a un papel tendremos un ejemplo deelectricidad estática, mientras que del enchufe de la pared lo que obtenemos esuna corriente eléctrica que esta producida por cargas en movimiento.

El magnetismo por otro lado, es una propiedad que tienen algunas substancias(especialmente el hierro), que se manifiesta también por una fuerza de atraccióno repulsión, sobre substancias similares. La experiencia común que tenemos deeste fenómeno es la observada con los imanes, los cuales interpretamos estánrodeados de energía magnética que produce estas atracciones y repulsiones.Esta energía magnética es lo que se denomina el campo magnético del imán.
Al comienzo del siglo XIX, los científicos descubrieron que estas fuerzasestaban relacionadas de la siguiente manera: una corriente eléctrica en unacable produce a su alrededor un campo magnético, y viceversa un imán que semueve en el interior de un cable enrollado (bobina) genera en el mismo unacorriente eléctrica. Es decir, cargas eléctricas en movimiento generanmagnetismo, mientras que imanes en movimiento generan corriente eléctrica.

A partir de que se conoció esta inter-relación, comenzó a denominarse aestos fenómenos electromagnéticos.
Lo que observaron los científicos de esta época, era que existía un principiode relatividad en el electromagnetismo, ya que los movimientos, sea de lascargas como de los imanes, para que produjeran campos magnéticos o eléctricos,eran movimientos relativos entre las partes con las que se hacia el experimento.

Esto se puede apreciar bien en el caso del imán que se mueve en el interiorde una bobina. Es exactamente lo mismo dado que produce el mismo resultado queel imán se mueve en una dirección mientras la bobina esta quieta, como que labobina se mueva en la dirección contraria mientras el imán esta quieto.Siempre que las velocidades relativas en ambos casos sean iguales, la corrienteeléctrica que se genera será de la misma intensidad.
Luego vemos que haciendo este experimento solo podemos comprobar el estado demovimiento relativo entre la bobina y el imán, pero no sabemos cual de los doses el que en realidad se esta moviendo.
Sin embargo no todo el electromagnetismo se ajustaba al principio de relatividadcomo veremos luego.

c) El descubrimiento de la luz como fenómeno electromagnético.
Maxwell en 1865, demostró matemáticamente que los imanes y las corrientes eléctricaspodían producir ondas viajeras de energía eléctrica y magnética. Ondas quese movían en el espacio por sus propios medios, sin que los imanes o los cablesintervinieran en este viaje. Una onda electromagnética como toda onda,transmite energía que se manifiesta como fuerzas eléctricas y magnéticas quese mueven a través del espacio. Estas ondas son invisibles, solo podemosapreciar sus consecuencias. Son campos eléctricos y magnéticos que setrasladan en la dirección del movimiento perpendicular a esta (la dirección) yperpendicularmente entre ellos. Es decir si graficamos tres ejes coordenados X,Y y Z, si la onda electromagnética se traslada en la dirección de Z, loscampos eléctricos y magnéticos lo harán en la dirección de X e Y, oalternativamente de Y y X. Maxwell calculo matemáticamente la velocidad detraslación de estas ondas electromagnéticas y encontró que la misma era iguala la velocidad de la luz cuya magnitud ya había sido calculada en el pasado. Araíz de este descubrimiento, Maxwell propuso que la luz era una onda viajera deenergía electromagnética, que viaja a través del espacio vacío a unavelocidad finita cercana a los 300.000 km/seg.

Veamos mas en detalle el razonamiento de Maxwell:

  • Una carga eléctrica tiene asociada a ella un campo eléctrico E. Su existencia sirve para indicar que toda carga eléctrica colocada en la influencia de dicho campo, experimentara sobre ella una fuerza de determinada magnitud y en determinada dirección.
  • Si una carga eléctrica se mueve (esto es lo que conocemos como corriente eléctrica), se genera un campo magnético B, cuyo significado es la indicación de que toda carga en movimiento colocada en la influencia de dicho campo magnético experimentara una fuerza cuya magnitud y dirección diferirán de la que experimentaba por la acción del campo eléctrico.
  • Dado que lo que realmente cuenta en materia de movimiento, son los movimientos relativos de las cargas respecto a los campos, podemos deducir que tendremos el mismo efecto anterior si sobre una carga en reposo actúa un campo magnético variable.
  • Ahora bien si sobre una carga en reposo detectamos una fuerza, significa que la misma esta dentro de la influencia de un campo eléctrico.
  • Por esto Maxwell concluye que un campo magnético variable, crea un campo eléctrico.
  • La reciproca también se comprueba y así Maxwell también establece que un campo eléctrico variable produce un campo magnético.
  • Si el campo magnético B varia en forma constante, el campo eléctrico E generado será también constante, y viceversa campos magnéticos que varían en forma no constante, generan campos eléctricos también no constantes.
  • Así nos encontramos con una suma de efectos, campos magnéticos variables generan campos eléctricos variables, que a su vez generan mas campos magnéticos variables que a su vez generan campos eléctricos variables, y así siguiendo.
  • Maxwell demostró que estos campos eléctricos y magnéticos variables que se recrean constantemente uno al otro, se propagan en el espacio a una velocidad definida y calculada c, que resulta igual a la velocidad de la luz.

d) El experimento de Michelson y Morley.
Estos científicos en el año 1881 realizaron un experimento para intentarencontrar un estado de reposo absoluto, basándose en que la luz es una onda convelocidad definida. Vemos como el tema de la época era poder encontrar unsistema de referencia absoluto, porque todos los desarrollos de Newton requeríande este concepto. A pesar de lo que hasta ahora se había concluido, los científicosno se convencían de la no existencia de estados absolutos de movimiento oreposo. El descubrimiento de que la luz era una onda electromagnética, haciapensar que debía existir un medio a través del cual la onda pueda viajar. Estosurgía como analogía de otras ondas, el sonido requiere el aire paratrasladarse, las ondas acuáticas el agua. Por definición, para que haya ondadebía haber un medio material donde propagarse. Como la luz se mueve por todoel universo-así es que vemos las estrellas- este medio debía ser tal queestuviera en todos lados. Podía entonces utilizarse el mismo como referencia demovimientos absolutos. A este medio se lo conocía como éter. Para ver comocalcular movimientos absolutos a partir de los movimientos relativos, veamos unaanalogía: Supongamos que estamos en un bote en el medio del agua. Si quisiéramossaber a que velocidad se mueve el bote respecto del medio, deberíamos en primerlugar generar ondas en el agua. Las mismas se alejaran de nosotros a una ciertavelocidad que podemos calcular contando las crestas por unidad de tiempotranscurrido. Esta velocidad variara según sea que el bote este en reposo o enmovimiento, y en que dirección, dado que la velocidad con que se alejan lasondas será mayor en la dirección opuesta al movimiento y menor en la direccióndel movimiento. Si llamamos U a la velocidad de las ondas, y V a la velocidaddel bote respecto al agua, la cual no conocemos, una vez que determinamos ladirección del movimiento del bote que es aquella donde la velocidad medida delas ondas será menor; sabemos que la velocidad que medimos será U+V para lasondas que se alejan de nosotros hacia atrás de la dirección de movimiento delbote y U-V la de sentido contrario. Es decir que si hacemos la siguiente operaciónpodremos obtener la velocidad del bote respecto al agua V:
(U+V)-(U-V)=2V

De la resta de ambas dividido 2 obtendremos la velocidad V del bote respectodel medio agua.
Michelson y Morley intentaron medir la velocidad de la tierra respecto al étercon un sistema similar. La analogía es que la tierra es el bote, el éter es elagua, y las olitas son reemplazadas por la luz. Lo que hicieron fue medir lavelocidad de dos rayos de luz perpendiculares, uno que viajaba en la direcciónde la rotación de la tierra alrededor del sol, y otro perpendicular a este. Elexperimento partía de un mismo haz de luz que se separaba en direccionesperpendiculares hacia sendos espejos situados a la misma distancia del lugar deseparación. En estos espejos se reflejaban volviendo a juntarse nuevamente. Surazonamiento era que el rayo que se mueve en la dirección del movimiento de latierra, como en el caso del bote en el agua, tendrá al encontrarse con el otrorayo, una velocidad relativa diferente, dado que el espejo en el caso del rayoperpendicular al movimiento de la tierra, siempre mantiene la misma distancia derecorrido. Al tener velocidades relativas diferentes se produciría un desfasajeen los rayos que se manifestaría mediante un fenómeno de interferencia. Estedesfase, conociendo el valor de la velocidad de la luz permitiría calcularcuanto había recorrido la tierra respecto al éter y por ende su velocidad.Para su sorpresa, no encontraron nunca diferencias en la velocidad de la luz, esdecir nunca se produjo una interferencia, sin importar en que direcciónrespecto al movimiento de la tierra la midieran.

Las dudas de los científicos fueron aclaradas por Einstein quien dijo unaverdad de perogrullo, pero que nadie se animaba a decir. Einstein dijo que estavelocidad no se podía determinar porque el tal "viento de éter" noexiste y que las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio paratrasladarse, sino que lo pueden hacer en el vacío, hasta aquí dijo lo que seobservaba. Pero también dijo algo mas extraño, que la velocidad de la luz esinvariante, y que la misma no esta afectada por la velocidad del observador quela mide o de la fuente que la emite, esto daba por tierra a un concepto muyarraigado en nuestro sentido común que es el de la composición de velocidadesrelativas.

e) Transformadas galileanas y transformadas de Lorentz
El titulo suena complejo pero es importante entrar en este tema para entendermejor el razonamiento de Einstein. Algunas ideas que aquí expondré seránrepetidas pero sirve para aclarar mas el estado de la situación de la cienciaen el momento que Einstein saca sus postulados.
Se llaman transformadas galileanas, a un conjunto de ecuaciones que conectansistemas de referencia en movimiento relativo uniforme, a estos sistemas dereferencia se los denomina inerciales por estar en estado de reposo o movimientorectilíneo uniforme entre si. Pensemos en un sistema S fijo y un sistema S’que se mueve a la velocidad V respecto de S en la dirección del eje x.

Un punto P al que denominamos un evento, se identifica por medio de tresvalores (coordenadas) que lo ubican en el espacio y un valor (coordenada) que loubica en el tiempo cuando el evento sucedió. Estos valores de las coordenadasson conocidos como: x, y, z, t en el sistema S. También, debe haber valoresequivalentes en el otro sistema S’ que se mueve respecto a S, los cuales estaránrelacionadas con las del sistema S. Las ecuaciones que relacionan cada una deestas coordenadas son las que ahora llamamos transformadas galileanas; y son lassiguientes:
x’ = x-V.t
y’= y
z’= z
t’=t

Desde la época de Galilelo, existía un principio conocido como principio derelatividad, que dice que las leyes de la naturaleza tienen la misma forma matemáticaen todos los sistemas de referencia inerciales.

Las ecuaciones que se utilizaban para expresar o mejor transformar las leyesde la mecánica entre los diferentes sistemas inerciales, eran las transformadasgalileanas que mostramos antes.

Cuando Maxwell desarrollo las leyes del electromagnetismo, surgió unconflicto entre las soluciones matemáticas de las ecuaciones de Maxwell y lastransformadas galileanas . Las soluciones matemáticas de las ecuaciones deMaxwell daban origen a ondas que viajan en el espacio vacío a la velocidad dela luz, que como ya dijimos a esta altura se había calculado su valor conprecisión. Esto es lo que le hizo decir a Maxwell que la luz era una ondaelectromagnética. Esta velocidad que surgía a partir de la resolución de lasecuaciones era para cualquier sistema de referencia, es decir era un invariante.

El problema que mencionamos surge porque ahora parecía que en elelectromagnetismo las transformadas galileanas no eran validas, dado que en elsistema de referencia S’ relacionado con el sistema S a través de lastransformadas galileanas, la velocidad de la onda en su componente x, debíaresultar ser U’x=c-V, donde c es la velocidad de la onda y Vrecordemos que es la velocidad de S’ respecto a S.
Sin embargo la resolución matemática de las ecuaciones de Maxwell como dijimosdaba que U’x= c.
Lo primero que se dijo para encontrar una salida a este conflicto, fueconsiderar que las ondas de luz se propagaban respecto a un medio denominado éter;de esta manera se decía que las ecuaciones de Maxwell eran validas solamente enel sistema de referencia en reposo absoluto del éter. Para otros sistemas quese movieran respecto del éter la velocidad de la luz cambiaria de acuerdo a loque expresan las transformadas galileanas.
Entonces si existía un sistema de reposo absoluto dado por el éter, fue cuandoMichelson y Morley intentaron hacer su experimento para determinar la velocidadde la tierra respecto al éter y concluyeron que la luz siempre se mueve a lamisma velocidad independiente del sistema de referencia en el cual se la mida.
Este dato acerca de la velocidad de la luz constante, es lo que a Einstein lehace repensar el concepto que tenemos del espacio y del tiempo.

Las transformadas galileanas son incorrectas pero dan un resultado correctocuando hablamos de velocidades dentro de nuestras experiencias cotidianas. Soloa altas velocidades cercanas a la de la luz parecería ser que dichastransformaciones no son correctas y que se debían encontrar otras.
Estas transformaciones existen y son las denominadas transformadas de Lorentz.

f) Deducción de las transformadas de Lorentz
La deducción de estas la podemos hacer teniendo en cuenta dos cosas, por unlado deben ser tales que a velocidades bajas estas ecuaciones se deben convertiren transformadas galileanas, ya que sabemos que en estos rangos de velocidadesbajas, estas son validas. Por otro lado debemos incorporarles el dato que lavelocidad de la luz es constante en los diferentes sistemas de referencia.

Veamos entonces la deducción:
Decimos primero que x’=
g(x-Vt) (1) Sabemos que para g= 1 la ecuación (1) se convertirá en la transformada galileana.
Ahora bien si nos situamos en el sistema S’ como si fuera el fijo, el sistemaS se moverá hacia el lado del eje x negativo a una velocidad V. Esto es fácilde interpretar tal como vimos en el ejemplo de los dos trenes en movimiento enel anden. Podemos escribir la ecuación que conecta ambos sistemas igual que enprimer caso obteniendo que:
x=
g(x’+Vt’) (2)
Esto lo hacemos para poder obtener de (1) y (2) la relación de t con t’,porque ahora sabemos que esta será diferente a la de la transformada galileanadonde t=t’
x’=
g(x-Vt)
x=
g(x’+Vt’)
De este sistema surge que:
t’=
g[t-(g 2-1).x/g2.V] (3)
Todavía no sabemos cuanto vale
g, solo que si es igual a 1 siguen valiendo las transformadas galileanas.
Aquí entra el segundo aspecto del razonamiento, que es incorporar la constanciade la velocidad de la luz para ambos sistemas S y S’.
Supongamos un instante inicial t=t’=0 donde iniciamos las mediciones ennuestros dos sistemas S y S’. Es como si ambos estuvieran acoplados en dichomomento inicial t=t’=0, a partir del cual S’ se empezara a mover respecto aS a una velocidad V en la dirección del eje horizontal x. En realidad debemospensar que S’ ya se esta moviendo, y que a partir del momento de coincidenciade los orígenes O y O’, es cuando empezamos a realizar las mediciones. Estoes así porque si S’ estuviera quieto y empezara a moverse, tendría unaaceleración, por ende el sistema dejaría de ser inercial y las conclusiones noserian validas. En ese instante inicial, cuando O=O’, sale un rayo de luz querecorre una distancia hasta un detector, dicha distancia es x en el sistema S yx’ en el sistema S’. Como dijimos que la velocidad de la luz c es constanteen cualquier sistema, tendremos que
x= c.t
x’= c.t’

Reemplazando estos valores de x y x’ en las ecuaciones (1) y (3) tenemos:
En (1) ct’=
g(ct-Vt) èct’= gt(c-V) llamamos a esta (A)
En (3) t’=
g[t-(g 2-1)ct/g2..V] èt’= gt[1-(g 2-1).c/g2.V] llamamos a esta (B)
Dividiendo (A)/(B) y desarrollando algebraicamente (es sencillo y da) llegamosa:
g 2=1/(1-V2/c2)
Si ahora reemplazamos este valor de
gen las ecuaciones (1) y (3) obtendremos las denominadas transformadas de Lorentzque cumplen con los dos requisitos a saber:

  • Para velocidades V muy bajas respecto a la velocidad de la luz se convierten en las transformadas galileanas
  • Respetan el postulado de la constancia de la velocidad de la luz en ambos sistemas de referencia S y S’.

g) Transformadas de Lorentz
x’=(x-V.t)/(1-V2/c2)1/2
y’=y
z’=z
t’=(t-V.x/c2)/(1-V2/c2)1/2

Podemos ahora si volver a los postulados de Einstein y ver cuales son lasconsecuencias extrañas o contrarias al sentido común que surgen de los mismos.Aplicando las transformadas de Lorentz podremos ver como se producen dichasconsecuencias.

h) Los postulados de Einstein
Recordemos ante todo haber dicho que un postulado es algo que no se explica odemuestra sino que por el contrario se establece y a partir del mismo se deducenlas consecuencias de los mismos. Si estas pueden comprobarse experimentalmenteentonces los postulados serán validos para la teoría así desarrollada.

  • 1er Postulado de Einstein: Es el que ya existía conocido como el principio de la relatividad. Todos los observadores en movimiento constante entre ellos son completamente equivalentes. Todas las leyes físicas de la naturaleza son las mismas en todos los marcos (sistemas) de referencia inerciales donde se las mida.. No hay manera de conocer el estado de movimiento de un observador a partir de ningún experimento físico que sea realizado por dicho observador dentro de su sistema de referencia, (si jugamos un partido de fútbol en un barco o en un avión en movimiento uniforme (no acelerado) es igual que si lo jugáramos en la tierra, los jugadores no patean mas fuerte en la dirección del movimiento.
  • 2do Postulado de Einstein. La luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida c, la cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo que emite esa luz.

Este 2do postulado surge del primero por lo siguiente. Hasta el momento todoslos experimentos realizados mostraban que no era posible determinar unavelocidad absoluta. Si supusiéramos en contra del segundo postulado quediferentes observadores con diferentes velocidades relativas, pudieran medirdiferentes velocidades relativas de la luz, entonces podrían haber determinadosu propia velocidad a través del éter (velocidad absoluta), pero esto estaríaviolando el primer postulado de Einstein.

El razonamiento es algo confuso, pero el salto cualitativo de Einstein pareceser que dice que si todos los experimentos mecánicos y electromagnéticosrealizados demuestran que no hay movimientos absolutos, entonces esto debetomarse como verdadero y asumirlo como un postulado, el cual debe cumplirsesiempre.
Einstein llamo a estas conjeturas postulados porque reconocía que no eranrequeridos por la lógica de las evidencias experimentales, sino solo motivadaspor ellas. Algo así como que Einstein exclamara: "... y si da así, seráasí..."

4. Consecuencias de la aplicación de los postulados deEinstein

a) En el significado del electromagnetismo
Una de las ecuaciones de Maxwell habla de que una carga en reposo genera uncampo eléctrico (Ley de Columb). ¿Reposo respecto a que?.
Otra de las ecuaciones de Maxwell habla de una corriente eléctrica que soncargas en movimiento, generan un campo magnético (Ley de Ampere). ¿Movimientorespecto a que?
Desde la relatividad podemos decir que si un observador se considera en reposomedirá un campo eléctrico generado por la carga en su mismo sistema dereferencia, mientras que otro observador que esta en un sistema en movimientorespecto al primero (digamos en un tren) y hace la medición, medirá un campomagnético, porque respecto a su sistema de referencia, la carga se estamoviendo. Es decir ambas leyes, la de Columb y la de Ampere son manifestacionesdel mismo fenómeno, pero medidos por observadores en diferentes sistemas dereferencia, ambos en movimiento relativo entre ellos.

Es decir Einstein fue un paso mas allá que Maxwell al decir no solo que loscampos eléctricos y magnéticos son manifestaciones de un único campodenominado electromagnético, sino que también dice que estas manifestacionesno son manifestaciones diferentes, sino la misma pero que dependen del sistemade referencia dentro del cual se las observe.

b) En el significado de los conceptos espacio y tiempo
La constancia de la velocidad de la luz requiere que las nociones de espacio ytiempo cambien. Ya no pueden pensarse como cosas separadas, diferentes yabsolutas. Estos conceptos dependen no de si mismos sino del sistema dereferencia en el cual esta el observador que realiza la medición. Este cambioes mas fácil de visualizar a partir de las transformadas de Lorentz que son lasecuaciones que conectan o relacionan las coordenadas de un evento que sucede enel espacio y en el tiempo observado o medido en dos sistemas de referenciainerciales S y S’.
Recordemos que
x’ = (x-Vt)/[1-(V/c)2]1/2
t’= (t-Vx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

Vemos como el tiempo t’ asignado a la ocurrencia de un evento por elobservador O’ depende no solo del tiempo t, sino también de la coordenadaespacial x asignada a dicho suceso por el observador O. así no podemos manteneruna distinción definida entre el espacio y el tiempo como conceptos separados.

En lugar de localizar a un evento con 3 coordenadas espaciales y un tiemposeparado de las mismas, tenemos que pensar en cuatro coordenadas similares en elespacio-tiempo que están mezcladas como vemos en las transformadas de Lorentz.Matemáticamente el tiempo es como una cuarta dimensión espacial.

b1) Simultaneidad
Dos eventos son simultáneos para el observador O si se producen en el mismomomento es decir, t2-t1=0, donde t2 es elmomento de ocurrencia del evento 2 y t1 el de ocurrencia del evento1. Si ambos sucesos ocurren en diferentes lugares del espacio, es decir x2-x1
0,¿cuál será la percepción de simultaneidad de los mismos eventos pero para unobservador O’?

Aplicando Lorentz para el tiempo
Δt’ = (Δt-V.Δx/c
2)/[1-(V/c)2]1/2
Δt = 0
Δt’ = (-V.Δx/c
2)/[1-(V/c)2]1/2

Es decir Δt’ ≠ 0, lo cual significa que lo que es simultaneopara el observador O, no lo es para el O’ dado que no existe simultaneidad enel espacio es decir los eventos no ocurren en el mismo lugar.
Esto tendra consecuencias cuando comparemos intervalos de tiempo y longitudesque se miden en diferentes sistemas de referencia.

b2) La dilatación del tiempo
Imaginemos un reloj de luz, en el cual el paso del tiempo se mide por los ticshechos por un detector cuando un rayo de luz hace un recorrido de ida y vueltadesde una fuente emisora hasta el detector ubicado en el mismo lugar, reflejándosea mitad de camino en un espejo (A una distancia L desde donde esta la fuente yel detector). Imaginemos también que dicho sistema o reloj de luz esta montadoen un tren que se mueve en dirección perpendicular al camino que recorre la luza una velocidad v. Hay un observador en tierra O y uno en el tren O’.
O’ que esta en movimiento con el reloj de luz, dice que t’1 es elmomento en que dispara el rayo, mientras t’2 es el momento en queel detector hace tic marcando la llegada del rayo. así decimos que los eventosson la salida del rayo de luz de la fuente y la llegada del rayo de luz aldetector.
Los mismos eventos para O que esta en tierra, ocurrirán en los instantes t2y t1.así tendremos un Δt’ y un Δt.
ΏEn que lugar del espacio ocurren estos eventos?. Para el caso de O’ enel mismo lugar dado que el rayo para el sale del mismo lugar a donde llega.Mientras que para O la salida y llegada del rayo se producen en lugaresdiferentes dado que el vio moverse al reloj, de allí que la posición deldetector cuando el rayo le llega esta a un distancia del lugar adonde salió elrayo que es Δx= v∆t, dado que el reloj se mueve en el tren avelocidad v respecto de O.

Si reemplazamos estos valores en la transformada de Lorentz que relaciona losintervalos de tiempo tendremos luego de resolver algebraicamente que:
∆t’= ∆t.[1-(v/c)2]1/2. (1)
El factor que multiplica a ∆t esta en el rango [0,1] según sea el valorde v, o sea que el intervalo entre dos eventos será menor para el observador enmovimiento O’ que el que mida el observador en reposo O. A esta prolongacióndel tiempo en un reloj es
lo que se denomina dilatación el tiempo.
A este mismo resultado podemos llegar con un simple razonamiento geométrico sintener que recurrir a la transformada de Lorentz.
Para O’, ∆t’ = 2L/c simplemente es espacio dividido velocidad.
Para O, siguiendo el mismo razonamiento, el rayo de luz ahora recorre unatrayectoria que conforma un triangulo de base v.∆t y altura L. Ladistancia recorrida es dos veces la hipotenusa del triangulo rectángulo que esla mitad del anterior. De la resolución de dicho triangulo concluimos que∆t.[1-(v/c)2]1/2=2L/c. Relacionando con ∆t’llegamos a la ecuación (1) que surgió a partir de la aplicación de lastransformadas de Lorentz.

b3) El test de los muones, la contracción de la longitud.
Dado que O y O’ son equivalentes, podríamos pensar que el reloj pasa maslentamente para el que esta en el tren si se mide respecto del que esta entierra, es decir podríamos decir que en realidad el sistema fijo es el tren yel móvil el de tierra que se mueve a velocidad –v respecto del tren. Asípodríamos concluir que la dilatación del tiempo es solo un efecto que se damatemáticamente pero que en la realidad es una ilusión, dado que nunca sepuede comprobar.

Existe una comprobación que confirma la teoría de Einstein de la dilatacióndel tiempo denominada el test de los muones.
Sobre la atmósfera chocan rayos cósmicos a una distancia de 10 Km. sobre lasuperficie terrestre, de esos choque se producen unas partículas subatómicasdenominadas muones, las cuales son detectadas en la tierra.
De los experimentos realizados en los aceleradores de partículas se sabe que lavida media del muon en reposo es de unos 2,20x10-6 segundos. Moviéndosecomo máximo a la velocidad c de la luz, podría recorrer a lo largo de su vidasolo 0,66 Km. ¿Cómo hace para llegar a la tierra?. Lo que ocurre es que almoverse a la velocidad cercana a la de la luz, su reloj de tiempo transcurre maslentamente cuando se lo mide desde el reloj en tierra; es decir la vida media enreposo se alarga a la velocidad a la cual se mueve según la transformada deLorentz, permitiéndole recorrer una distancia mayor a los 0,66 Km. O sea quedentro de este periodo de su vida puede recorrer una distancia mayor medida segúnel observador en la tierra.

Lo notable es que si nos sentamos en el muon, la vida media transcurre en eltiempo que calculábamos como en reposo, porque nosotros en el muon estamos enreposo respecto a el. En ese periodo vimos que no puede recorrer mas que 0,66Km., entonces ¿cómo logra llegar a la tierra? Visto desde el sistema dereferencia del muon que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz, lasdistancias se acortan y 10 Km. se pueden transformar en 0,66 Km. Es decir seproduce un acortamiento de la variable espacio en la dirección del movimientocuando este se produce a velocidades cercanas a la de la luz.
Distancias en movimiento se acortan, tiempos en movimiento se alargan, esto eslo extraño de la nueva concepción del espacio-tiempo según la teoríaespecial de la relatividad.

El acortamiento de las longitudes no significa que existan dos medidasabsolutas de lo mismo, lo cual seria una paradoja, sino que la medida serádiferente para cada sistema de referencia. Si dos personas permanecen a amboslados de una gran lente cóncava, cada uno ve al otro mas pequeño; decir estono significa que cada uno sea mas pequeño. El hecho de que los cambios delongitud y de tiempo sean considerados aparentes, no quiere decir que exista unaverdadera longitud y un verdadero tiempo que parezcan distintos a distintosobservadores. Longitud y tiempo son conceptos relativos, no tiene sentido hablarde ellos(medirlos) fuera del contexto de la relación entre un objetodeterminado y su observador.

No tiene sentido decir que un conjunto de medidas es el correcto y que elotro es erróneo; cada uno es correcto con respecto al observador que efectúalas mediciones en su marco de referencia. Es decir no son ilusiones ópticas.
Por eso en el experimento del muon, tenemos un sistema de referencia adosado almuon, y otro sistema adosado a la tierra. En el primero, medimos la vida delmuon y la llamamos vida en reposo; mientras que la medida de la longitud querecorre tiene un valor mucho menor que la que podemos medir respecto al sistemade referencia adosado a la tierra.

El cuestionamiento de si estas variaciones en longitud y tiempo son reales oaparentes es difícil de superar. Podríamos ver que pasa con otros fenómenos físicosa los cuales estamos mas acostumbrados. Veamos por ejemplo el efecto Doppler.Todos experimentamos alguna vez el cambio de frecuencia del sonido quepercibimos cuando la fuente que emite el sonido se mueve acercándose o alejándosede nosotros. ¿Qué pasa entonces? ¿La frecuencia del sonido del silbato deltren es real o aparente? Decimos entonces que la frecuencia propia del sonidocuando la fuente que lo emite esta en reposo es invariable, el cambio se producepor el efecto del movimiento entre los sistemas de referencia. Lo mismo ocurreen el caso de la relatividad, las dimensiones propias de longitud y tiempo queson las medidas en el sistema en reposo (que es el sistema adosado al cuerpo encuestión, el muon por ejemplo) no cambian. Los efectos del cambio se producenal medir en el otro sistema y son reales en tato que las mediciones son reales.La contracción de la longitud en el sentido del movimiento no se explica porteorías de la materia, sino que están referidas al proceso de medición.

c) En el significado de masa en reposo
La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que tiene. Existen dos maneras demedir la masa de un cuerpo:

  • Pesándolo. Esto determina la masa gravitatoria.
  • Determinando la magnitud de la fuerza necesaria para acelerarlo hasta un determinado valor. Esto es la masa inercial.

El primer método no es bueno porque depende de la gravedad donde se pesa alcuerpo. Así la medida del peso de un cuerpo es diferente si se lo hace en laluna o en la tierra, a pesar de que la mas es la misma.

El segundo método es mas preciso pero esta sujeto a una variación mas extraña.
Dado que para medir la aceleración, debemos trabajar con movimientos,distancias y tiempos; al ser estos dependientes del sistema de referencia delobservador, entonces la aceleración y por ende la masa inercial tambiéndependerá de dicho sistema de referencia.
Un observador en reposo relativo respecto del objeto al cual le mide la masa (unastronauta en una nave con un elefante), medirá siempre al misma masa delelefante independientemente de a que velocidad se mueva la nave. Esta mas se lallama masa propia del elefante o masa en reposo.

Contrariamente, la masa que mide un observador en tierra, es decir desde otrosistema de referencia que esta en movimiento uniforme relativo a la nave, es lallamada masa relativista la cual varia según sea la velocidad de la nave. Lamasa inercial de un objeto ubicado en un sistema de referencia inercial enmovimiento, medida desde el otro sistema inercial respecto del cual el objeto semueve, será mayor a la masa en reposo o propia del objeto según la formula:
m= m0/[1-(v/c)2]1/2.
En la actualidad se ha comprobado que la formula anterior es correcta, a partirde observaciones de partículas subatómicas que se mueven a velocidadescercanas a c y que se producen en los aceleradores de partículas.

5. El calculo de velocidades relativas

A velocidades v<<c, las transformadas galileanas son validas, por esoes bastante sencillo calcular velocidades relativas, diciendo que las mismas sesuman o restan según sean las direcciones de los movimientos.
En el caso de velocidades cercanas a la de la luz, esta forma de calcularvelocidades relativas no es correcta porque llegaríamos al absurdo de que laluz puede moverse a velocidades superiores a c si saliera de una fuente que semueve a la velocidad v.
Veamos una deducción simple:
Ux=(x2-x1)/(t2-t1) (1)
U’x=(x’2-x’1)/(t’2-t’1)(2)

Reemplazando los valores de las transformadas de Lorentz para ∆x’ y∆t’ en (2) y resolviendo algebraicamente, llegamos a:
u’x=(ux-v)/(1-v.ux/c2)
Cuando v<<c
èu’x=ux-v que era la ecuación de composición develocidades relativas.

6. Las consecuencias extrañas de la teoría de la relatividadespecial

Resumiendo, si tenemos dos naves que tienen un movimiento relativo entre si auna velocidad cercana a la de la luz, los astronautas que viajan en cada una deestas naves descubrirán que:

  • La otra nave se ha encogido en la dirección del movimiento.
  • Los relojes de la otra nave van mas lentos.
  • La masa inercial de la otra nave aumento.
  • Ojo!!! Los astronautas en cada una de sus naves encontraran que nada cambio.

En el extremo cuando la velocidad relativa llega a alcanzar la velocidad c dela luz, los astronautas dirán que:

  • La longitud de la otra nave se ha hecho nula.
  • El tiempo en la otra nave ha dejado de transcurrir.
  • La masa de la otra nave se hace infinita.

Claramente estas consecuencias serian imposibles por lo que la velocidad c dela luz, es considerada como un limite máximo de la naturaleza que ningúncuerpo puede alcanzar.
Debemos tener muy presente lo siguiente para no confundirnos:
Todos los cambios que se producen en el tiempo, la longitud, la masa, debenentenderse como cambios que se observan siempre en el marco de referencia de losdemás. Es decir la dilatación del tiempo por ejemplo de un observador enmovimiento, no es observada (medida) por el propio observador sino por otro queesta fuera de su sistema de referencia y respecto del cual el primero se estamoviendo con movimiento rectilíneo y uniforme.

7. Algunos conceptos para entrar en la Teoría general de la Relatividad

a) El concepto de Espacio-tiempo de Feynman
La teoría de la relatividad muestra que la relación de posiciones y tiemposmedidas en dos sistemas de coordenadas no son lo que hubiéramos esperado sobrela base de nuestra intuición. Por el contrario estas siguen las relacionesdictadas por las transformaciones de Lorentz. Para realizar una analogía conmediciones en dos sistemas de coordenadas y su significado, consideremos lastransformaciones que tienen lugar cuando a un sistema se lo rota un cierto ángulo
qrespecto al centro del sistema. Así las ecuaciones que relacionan lasposiciones entre ambos sistemas, el original y el rotado son:
X’= x cos
q+ y senq
Y’= y cos
q- x senq
Z’=z

Siendo los valores primos las coordenadas en el sistema rotado y los valoresno primos las coordenadas en el sistema original. Los valores primos puedenconsiderarse como un mix ponderado de los valores no primos, siendo los factoresde ponderación que ponderan a los valores no primos, función del ángulo derotación del sistema.

Veamos ahora una analogía físico-geométrica. Cuando miramos a un objeto,existen dos dimensiones del mismo, el ancho y la profundidad. La realidad es queel ancho puede pasara a ser profundidad y viceversa, dependiendo de cómo nosubiquemos respecto al objeto. Es decir, ambas medidas son aparentes dado que segúnestemos ubicados nosotros respecto al objeto, las mismas serán diferentes(imaginemos que miramos al objeto desde diferentes ángulos). Estas medidasaparentes son una combinación o mix de las medidas reales del objeto, su anchoy su profundidad, y se pueden calcular aplicando las formulas anteriores derotación. Si no pudiéramos cambiar de posición respecto al objeto queobservamos, este ejercicio de pensamiento seria irrelevante dado que siempre veríamoslos mismo del objeto, es decir para nosotros el ancho y la profundidad seriandos medidas diferentes, que denominaríamos las verdaderas medidas del objeto.Es debido a que podemos caminar alrededor del objeto, que podremos darnos cuentaque el ancho y la profundidad son de alguna manera dos aspectos diferentes de lamisma cosa. Supongamos que el objeto es un rectángulo, si lo miramos de frenteel ancho es una dimensión, mientras que si nos colocamos de costadoperpendicular a la posición anterior, el ancho es lo que antes era laprofundidad.

Ahora bien ¿podemos pensar a las transformadas de Lorentz de la mismamanera? En estas también los valores primos son un mix de los no primos.Recordemos que los valores primos son los correspondientes al sistema enmovimiento, mientras los no primos son los correspondientes al sistema enreposo.

Lo complicado es que dicho mix, es un mix de espacio y tiempo. En el sistemaen movimiento (el primo) valores de posición que denotan espacio, son unamezcla de valores de posición del sistema en reposo y valores de tiempo en elmismo sistema. Lo que una persona en el sistema en movimiento ve como espacio,la otra persona en el sistema en reposo lo ve en parte como paso del tiempo.Feynman genera la siguiente idea: la "realidad" de un objeto al cualmiramos, es de alguna manera mas amplia (lo que miramos no es la realidadobjetiva e intrínseca del objeto) que el "ancho" y la"profundidad" del objeto porque estos dependen del hecho de cómomiremos al mismo, es decir desde que lugar. Cuando nos movemos a una nuevaposición, nuestro cerebro inmediatamente recalcula el ancho y la profundidad, dándonosuna idea real de lo que es el objeto.

Pero nuestro cerebro no puede recalcular inmediatamente coordenadas deespacio y de tiempo cuando nos movemos a altas velocidades, debido a que notenemos la experiencia efectiva de viajar a velocidades cercanas a la de la luz,adonde podríamos apreciar que el espacio y el tiempo son como "el ancho yla profundidad" dimensiones de la misma naturaleza. A nosotros nos ocurrecomo en el caso de aquella persona que mira a los objetos siempre desde la mismaposición, sin poder caminar alrededor de ellos.

De esta manera intentaremos pensar a los objetos en una nueva clase de mundode espacio-tiempo combinado, de la misma manera que en el espacio dimensionalpodemos observar los objetos desde diferentes posiciones. Así consideraremos alos objetos que ocupan un cierto espacio y duran un cierto tiempo, como ocupandoun cierto "blob" (es la palabra de Feynman) en este nuevo mundo al quedenominamos espacio-tiempo. Un punto en este espacio-tiempo definido por cuatrocoordenadas (x, y, z, t) se denomina evento.

La geometría del espacio-tiempo así definido no es euclidiana. Elespacio-tiempo es un espacio curvo, estando la curvatura dada sobre la dimensióntiempo de dicho espacio.

b) ¿Qué es un espacio curvo?
El tema este me parece interesante porque si bien el titulo suena a algo estrambótico,la realidad es que entenderlo abre la mente, porque da la casualidad quenosotros vivimos en un espacio curvo. Muchos de los conceptos que adquirimos enlas escuelas aprendiendo geometría euclidiana en un plano, no son validos enlos espacios curvos.
La explicación que da Feynman acerca de los espacios curvos surge a partir dela teoría general de la relatividad y de la teoría de la gravedad de Newton.
Newton decía que cualquier cuerpo con masa atrae a otros cuerpos con masa, conuna fuerza que de acuerdo a una formula sencilla era igual al producto de lasmasas dividido por el cuadrado de la distancia que separa a ambos. Si biensencilla, el fundamento físico de esta formula no es para nada claro, ¿por quése produce esa atracción? Es una pregunta sin respuesta.
Einstein tenia una interpretación diferente de la fuerza de gravedad o atracciónentre los cuerpos. Según el, el espacio y el tiempo, que conforman eldenominado espacio-tiempo, sufren una curvatura considerable cerca de grandesmasas. Es así que el intento de las cosas de continuar el movimiento en línearecta en este espacio-tiempo curvado lo que hace que las cosas se muevan como lohacen, es decir atrayéndose entre ellas según la formula de Newton. Esto diceFeynman es una idea compleja para entender, así que comienza su explicaciónocupándose solamente del concepto de espacio curvo sobre todo en la aplicaciónde Einstein. Como en tres dimensiones es un tema complejo, empieza adesarrollarlo en dos dimensiones.

Para esto Feynman se imagina seres vivos que habitan en un mundo de dosdimensiones. Estos insectos obviamente no tienen posibilidad de imaginarse comoes un mundo como el nuestro de tres dimensiones, por lo tanto por analogía quehagamos al pasar de dos a tres dimensiones, podremos comprender, no sin esfuerzocomo transformar nuestras ideas y pasar de nuestras tres dimensiones a cuatrodimensiones (espacio-tiempo). Así Feynman nos habla de un insecto que vive enun plano, otro que habita la superficie de una esfera, donde podrá caminar perosin tener el concepto de mirar para arriba o para abajo o para afuera de laesfera, y un tercero que vive en un plano mas complejo y con ciertas características:la temperatura es diferente en diferentes zonas de dicho plano, tanto el insectocomo las reglas que utiliza para medir están hechas de un material que seexpande cuando aumenta la temperatura. En este plano que denominamos platocaliente, todo se expande con el calor en la misma proporción.

Ponemos ahora a nuestros insectos a estudiar geometría.
Primero aprenden el concepto de línea recta como la distancia mas corta que hayentre dos puntos. El insecto en el plano dibuja una línea recta; el que estasobre la esfera también lo hace aunque nosotros (individuos en tresdimensiones) veremos que es una curva sobre la esfera que une ambos puntos. Parael tercer insecto en el plato caliente, el dibujo también resultara en una líneacurva pero que requiere mas explicación. Digamos primero que el plato esta mascaliente en el centro que en los bordes, y digamos que los puntos que debe unirestán a ambos lados del centro. Dada la definición que la línea recta es lamenor distancia entre dos puntos, el insecto comenzara a trazar esta línea consu regla, pero dado que la misma se expande en las zonas de mayor temperatura,los cm que el mida sobre esta regla serán mas grandes en las zonas calientesque en las frías por lo tanto al querer trazar la línea mas corta, esta tendrá,viéndola desde arriba (algo que nuestro insecto no puede hacer), una curvaturahacia fuera del plato, que son las zonas de mayor temperatura. Vemos así que elmismo concepto adopta diferentes formas para nosotros. Estas formas se producensegún es el punto de vista de los insectos que dibujan las líneas.

Veamos ahora la construcción de figuras geométricas sencillas: un cuadrado,un triangulo y un circulo.
Empezando por el insecto que esta en un plano, el dibujara un cuadrado trazandoa partir de un punto A, una línea de longitud d definida; marcando luego un ángulode 900 con esta, trazara otra línea de longitud d, y así repetiráel procedimiento dos veces mas, comprobando que vuelve al punto de partida A.Esta figura es un cuadrado.
Si luego dibuja una figura que esta dada por la intersección de tres líneasoblicuas obtendrá lo que se denomina triangulo, figura esta que tiene lapropiedad de que sus ángulos internos suman 1800.
Finalmente si desde un punto c, nuestro insecto comienza a dibujar líneas todasde la misma longitud r, comprobara que si une estos puntos obtenidos obtendráuna línea curva que se cierra sobre si misma a la que denominaremos circulo.También haciendo diferentes de estos círculos, podrá comprobar que la relaciónentre la medida de esta curva (perímetro de la circunferencia) y la distanciadesde el punto c (centro) hasta la curva r (radio) es un valor constante,aproximadamente 6,283 (2
p).

Ahora bien cuando el mismo procedimiento es seguido por nuestros otros dosinsectos, el de la esfera y el del plato caliente, nos encontramos con ciertosinconvenientes. El cuadrado no se cierra, es decir no se vuelve al punto departida cuando a partir de un punto trazamos líneas en ángulos rectos de lamisma dimensión. Los ángulos del triangulo no suman 1800 sino mas.Cuando dibujan la circunferencia sobre la superficie de la esfera o sobre elplato caliente, resulta que la relación entre C (perímetro de lacircunferencia) y la constante 2p, da un valor que es menor al radio medido sobre el espacio sea de la esfera odel plato caliente.

Se define entonces un espacio curvo como aquel en el que ocurren este tipo deincongruencias o diferencias con el espacio euclidiano.
Puede haber diferentes tipos de espacios curvos. Un insecto en una pera tendráuna visión diferente a los otros dos que mencionamos, dado que la curvatura dela pera varia según este en la parte superior o la inferior. Un insecto en unasilla de montar también esta en otro tipo de espacio curvo. Según sea lacurvatura de estos espacios se puede dar que las incongruencias con el espacioeuclidiano sean inversas. Así la suma de los ángulos internos de un triangulopodrán ser inferiores 1800, el radio calculado puede ser menor alradio medido. Se dice de estos que son espacios curvos de curvatura negativa.

Un caso particular es aquel del insecto viviendo en la superficie de uncilindro. Diríamos en principio que este también esta en un espacio curvo. Sinembargo si dibujamos el cuadrado, el triángulo y el circulo sobre la superficiedel cilindro, veremos que estas figuras cumplen con los criterios del espacioeuclidiano. Esto es simplemente así porque si desenrollamos el cilindro con lasfiguras en el, veremos entonces que estas son las mismas pero ahora en un plano.De esta manera podemos decir que nuestro insecto no puede detectar que estasobre un espacio curvo, realizando los experimentos de los dibujos, porque ledarán como si fuera un plano. Solo podrá detectar la curvatura comenzando acaminar hacia una dirección y comprobando que regresa al punto de partida. Segúnnuestra definición técnica, el cilindro no es un espacio curvo. De estamanera, introducimos el concepto de curvatura intrínseca, diciendo que esaquella que puede detectarse mediante una medición local, por ejemplo dibujandoel cuadrado y viendo que no llegamos al punto de partida. Decimos entonces queel cilindro no tiene curvatura intrínseca.

Este fue el sentido que le daba Einstein cuando definía a nuestro espaciocomo un espacio curvo. Ya lo vimos en dos dimensiones, debemos extrapolar ahorano sin cierta complicación a tres dimensiones.

Vivimos en un espacio de tres dimensiones y no podríamos imaginar que elmismo puede estar doblado o curvado en alguna dirección, simplemente nos diceFeynman porque nuestra imaginación no es lo suficientemente buena, de la mismamanera que para el insecto que habita la superficie de la esfera, le esimposible darse cuenta de lo que significan las tres dimensiones que nosotrosvemos tan claramente. Aun así podemos definir una curvatura sin salir denuestro mundo tridimensional. Todo lo dicho acerca de el mundo bidimensional denuestros insectos fue un ejercicio para mostrar que podemos obtener una definiciónde curvatura del espacio que no requiere que estemos en condiciones deobservarla desde una posición externa. Podemos determinar si nuestro mundo estaen un espacio curvo de la misma manera que hacen nuestros insectos que viven enla superficie de una esfera o de un plato caliente. Es cierto que no podremosdiferenciar entre ambos, pero si podemos diferenciar ambos de un espacio plano.¿Cómo lo hacemos? De la misma manera que hicimos hasta ahora, dibujamos untriangulo y medimos sus ángulos interiores, o un circulo y medimos la relaciónentre su circunferencia y el radio, o una esfera, o tratamos de dibujar uncuadrado o un cubo. En cada uno de estos casos verificamos si se cumplen lospostulados de la geometría euclidiana, si esto no ocurre, entonces decimos quenuestro espacio es curvo. No obstante en el caso de tres dimensiones la cosa noes tan sencilla como en el caso de dos dimensiones, dado que en los espaciosbidimensionales, en cualquier punto del mismo hay una cierta curvatura, pero entres dimensiones existen varios componentes de la curvatura, por ejemplo sidibujamos un triangulo en un plano podremos obtener una suma de sus ángulosinteriores diferente a la que obtendríamos si lo dibujamos en otro plano, lomismo ocurriría si dibujamos un circulo.

Una manera de superar este obstáculo seria dibujando una esfera. Definimosla esfera como el conjunto de puntos que en un espacio tridimensional sonequidistantes de un punto del mismo espacio al que denominamos centro de laesfera. Podemos medir la superficie de la esfera mediante algún sistemapractico tal como colocar sobre dicha esfera una grilla con pequeños rectángulos,hasta cubrirla totalmente, luego sumar las áreas de los rectángulos y esa serála superficie medida de la esfera, como sabemos que la formula de la superficiede una esfera es:

S = 4pr2, resulta que de esta formula podemos calcular el radio ya que lasuperficie S fue calculada con el método de la grilla.

Es importante una aclaración; la formula del área de una esfera es correctasi la misma (esfera) existe en un espacio euclidiano, justamente que losresultados de la formula no coincidan con las mediciones realizadas, asumiendoque tenemos instrumentos perfectos para medir, denota la característica deespacio no euclidiano y por ende la denominación del mismo como espacio curvo.

Volviendo a nuestra comprobación, podemos medir directamente el radio de laesfera con los instrumentos perfectos. Si el radio medido es mayor al radiocalculado, tendremos un radio en exceso que es la medida de la curvatura mediadel espacio tridimensional en el cual se encuentra nuestra esfera. Al ser unacurvatura media o promedio no se podrá determinar las propiedades geométricasde dicho espacio. En realidad la definición completa de la curvatura de unespacio tridimensional requiere la especificación de seis números de curvaturaen cada punto. Esto así esta dicho por Feynman, pero realmente no es sencilloentender a que se refiere.

Ahora bien, el espacio tridimensional en el que vivimos ¿es curvo? A partirde muchas mediciones geométricas realizadas, nadie detecto que nuestro espaciofuera curvo. Simplemente para distancias no muy grandes no es factible detectarsi nuestro espacio es euclidiano o no. Pero bajo ciertas circunstancias talescomo en lugares donde la fuerza de gravedad es muy intensa o las distancias encuestión son muy largas, tal como ocurre en los espacios interestelares o cercade estrellas que producen fuertes campos gravitatorios, se ha comprobado que eluniverso es un espacio no euclidianos es decir es un espacio curvo.

Fue Einstein quien estudiando el tema de la gravedad, en su teoría generalde la relatividad, quien descubrió la curvatura de nuestro espacio. Laexplicación que da Feynman no es sencilla, pero esta hecha con lenguaje llano ypoca matemática así que aquí la describo.
Einstein dijo que el espacio-tiempo es curvo y que la causa de esa curvatura esla materia. Como la materia es también la causa de la gravedad, entonces lagravedad estará relacionada con la curvatura del espacio.
Veamos algunas aclaraciones que da John Wheeler. ¿Cuál es la causa de lagravedad? ¿Esta acaso en el objeto que cae? ¿o en el medio en el cual seproduce la caída? Si todos los cuerpos caen igual, si como veremos masainercial y gravitacional son equivalentes, entonces la"responsabilidad" de la caída de los cuerpos debemos buscarla en elmedio donde esta se produce. Einstein así dice que la gravedad no es una fuerzafísica externa transmitida a través del medio que nos rodea (acción adistancia) sino que es una manifestación de la curvatura del medio. ¿Cuál esese medio que se curva y causa el fenómeno de la gravedad?.

Wheeler propone la observación del siguiente experimento: lanzar bolas adiferentes velocidades en un cuarto que tiene dos ventanas, una paralela a ladirección del movimiento de las bolas, y otra perpendicular a dicho movimiento.En cada una de ellas se coloca un observador con maquinas de fotos ultra rápidasy se saca una serie de fotografías durante el trayecto de las bolas.

Al revelar las fotos tomadas desde la ventana paralela al movimiento, ycolocando dichas fotos una al lado de la otra, tendremos una imagen del viaje delas bolas en dos dimensiones: la del movimiento y la perpendicular almovimiento, esta es una visión en el espacio. Veremos aquí, que según fue lavelocidad con que las bolas fueron lanzadas, la curvatura de la trayectoria esdiferente, formando una parábola mas pronunciada en el caso de las bolaslentas. Es decir la curvatura del espacio solo no muestra nada.

Si ahora revelamos las fotos tomadas desde la ventana que enfrenta a lasbolas disparadas, es decir desde una posición perpendicular al movimiento, laimagen que obtendremos en las diferentes fotos, será la bola en una posiciónespacial (la altura o posición vertical) y en una posición temporal, dado quecada posición corresponde a un momento (tiempo) diferente. Si alineamos lasdiferentes fotos tomadas por un lado las de la bola rápida y por otro y debajode las anteriores las bolas lentas, comprobaremos que la curvatura de latrayectoria es similar. Ahora bien, lo que hemos construido aquí al alinear asílas fotos es un diagrama de dos dimensiones espacio-tiempo, dado que cada fotocorresponde a una dimensión espacial (la altura) y una dimensión temporal ( elmomento en el que sacamos la foto). Aquí si vemos que la curvatura de latrayectoria es la misma, por eso afirmamos como Einstein lo hizo que laexplicación de la gravedad es la curvatura pero no del espacio sino delespacio-tiempo

c) Hiper-espacio
No es sencillo entender o imaginarnos los conceptos relacionados con la teoríageneral de la relatividad y la cosmología, porque nos hablan de hiperespacios(espacios de mas de tres dimensiones) y espacios no euclidianos. Por esta razónme pareció importante agregar algunas explicaciones que no vienen de Feynmanpero que ayudan a comprender su lectura.
Como primera medida es necesario dar significado al termino "dimensión".Podemos acordar que el lugar donde habitamos es un espacio de tres dimensiones,un plano geométrico o la superficie de una esfera, es un espacio de dosdimensiones, una línea o una circunferencia es un espacio de una dimensión.
En nuestro universo nosotros siempre encontraremos un punto por donde puedantrazarse tres líneas perpendiculares entre ellas, imaginemos la esquina de uncuarto. En un plano solo podemos trazar dos líneas perpendiculares que pasenpor el mismo punto. Por lo tanto por extensión decimos que si en un espaciopodemos trazar por un punto n líneas que son perpendiculares entre si, dichoespacio será n-dimensional. Esta afirmación que deducimos obviamente no puedecaptarse con la imaginación, simplemente porque, como decía Feynman, nosotrosestamos metidos en un espacio tri-dimensional por lo que todo lo que lo supereno es algo que podamos visualizarlo dado que nuestros sentidos no estánpreparados para esto.

Un ejemplo típico de espacio bidimensional es la superficie de la tierra,donde solo pueden trazarse dos líneas perpendiculares que pasen por el mismopunto.

Así el concepto de dimensión se define en términos de la cantidad de líneasperpendiculares que pueden pasar por un mismo punto. Dos cosas surgen comovalidas de esta definición: la cantidad de dimensiones de un espacio es unnumero entero, y en un mismo espacio todos los puntos cumplen con la condiciónde cantidad de líneas perpendiculares, es decir no puede existir una zona dondepasen tres líneas perpendiculares y otra donde pasen dos, por que estaríamoshablando de espacios diferentes.

Otra forma de definir el concepto de dimensión, es a partir de la cantidadde valores que necesitan darse para conocer la posición de un punto en elespacio de referencia. Así en un espacio bi-dimensional solo necesitamos dosvalores, sean estos las coordenadas cartesianas (x, y) o lo que mas nos suena enla superficie de la tierra la longitud y la latitud, no olvidemos que en este últimocaso el espacio es curvo sobre una tercera dimensión, por lo que no existen laslíneas rectas para dibujar los ejes cartesianos, salvo en regiones pequeñasdel mismo (locales).

Si definimos como superficie de un objeto el límite o la frontera que separalo interior de los exterior del objeto, en un espacio bi-dimensional, esto seráel perímetro del objeto. S el espacio es además euclidiano podemos entoncesdecir que el perímetro de un cuadrado es 4 veces el lado, y el de unacircunferencia es 2pR. Si queremos medir lo mismo en un espacio curvo como la superficie de unaesfera, según habíamos visto en la explicación de Feynman, esto no ocurre, esdecir el espacio continuo bi-dimensional que se forma sobre la superficie de unaesfera (como la tierra) no es euclidiano sino curvo.
Entrando a nuestro espacio dado por todo el universo que podemos observar, desdeEinstein con su teoría general de la relatividad, se considera que el mismopodría ser un espacio de cuatro dimensiones, donde para poder ubicar a cadapunto del mismo, se deberían conocer cuatro valores. Estos cuatro valoresubicarían a cada punto en la superficie de un hiper-esfera, es decir cada unode estos equidistaría (igual distancia) de algún epicentro cósmico. Lasdesviaciones locales de la perfección euclidiana son muy pequeñas como paraser detectadas, pero los cosmólogos dicen que si iniciáramos un viajeinterestelar imaginario, a la larga llegaríamos al punto de partida. Algo asícomo si iniciamos un viaje alrededor de la tierra. Esto lleva a la idea de quenuestro universo no tiene limites pero es finito. Para marearnos mas, este viajenos llevaría por una circunferencia cuyo distancia es probablemente del ordende cientos de miles de millones de años luz. Si viajáramos a la velocidad dela luz, máxima permitida según la teoría especial de la relatividad deEinstein, volveríamos cuando nuestro sol esta consumido y la tierra congelada oevaporada.

¿Cuáles son las características de este universo cuya forma es una esferade cuatro dimensiones? En primer lugar y como ya mencionamos, debemos definirque es una hiper-esfera, y lo hacemos como analogía de una esferatri-dimensional, diciendo que es el conjunto de puntos que están a la mismadistancia de un centro P. En una dimensión una esfera son solo dos puntos, endos dimensiones es un circulo, en tres dimensiones es lo que conocemos comoesfera. Una esfera en una dimensión no tiene superficie o mejor la superficiees de dimensión cero (recordemos como definimos superficie: es el limite entrelo externo e interno del objeto), una esfera en dos dimensiones tiene unasuperficie de una dimensión (una línea), una esfera de tres dimensiones tieneuna superficie de dos dimensiones (una superficie curva. Analogía con latierra). Y en general decimos entonces que una n-esfera tendrá una superficiede n-1 dimensiones. Nuestro Universo si esta definido como una esfera en unespacio cuatri-dimensional, tiene una superficie tri-dimensional que es dondenosotros existimos. Nunca podemos ver nada fuera o dentro de la esfera de 4dimensiones, solo vemos lo que ocurre en la superficie en la que estamos, dadoque la luz viaja en solamente sobre dicha superficie. Para reafirmar esta ideapensemos en el insecto de Feynman que vive en un plano e imaginemos lo encerradoen una circunferencia sobre el mismo, nosotros, seres con capacidad para ver entres dimensiones, sabemos que para salir del encierro solo tendría que saltar,pero esto implica poder ver esta tercera dimensión que es la altura, algoimposible para nuestro ser bi-dimensional, por eso estar encerrado. Asínosotros nos es imposible salir de nuestro espacio tri-dimensional por lasmismas razones. La imaginación ha permitido escribir ciencia ficción donde lasmaquinas del tiempo permitirían salir de este confinamiento.

¿Cuál es el significado del tiempo como una cuarta dimensión de nuestroespacio? En primer lugar es perfectamente posible definir al tiempo como unavariable para ubicar un punto(evento) en el espacio. Sin ir mas lejos, existenen los textos históricos flechas o líneas de tiempo donde se ubican momentosocurridos en el pasado. La magnitud de los intervalos puede ser la que uno elijadado que el tiempo es una variable continua. Adicionalmente existe una correlaciónentre espacio y tiempo que pudiera permitir medir la dimensión del espacio enunidades de tiempo. Esta correlación surge del postulado d Einstein acerca dela constancia de la velocidad de la luz. Así diríamos que una medida de300.000 Km. puede expresarse en unidades de tiempo como 1 seg dado que es ese eltiempo que tarda la luz en recorrer los 300.000 Km. Evidentemente esta medida esmas adaptable a distancias muy grandes como las interestelares. Así decimos quela distancia del sol a la tierra son 8 minutos, el diámetro del sistema solares de 10 horas, el diámetro de la vía Láctea es de 100.000 años y el radiodel universo conocido es de 10.000 millones de años.

Creo que ya lo mencione pero es a mi criterio importante destacar que nuestroespacio tri-dimensional es no euclidiano, es decir es un espacio curvo. Para queesto sea posible es necesaria la existencia de una cuarta dimensión delespacio, de manera tal que nuestro universo tenga algo respecto a que curvarse.Si descubrimos que nuestro espacio es no-euclidiano, entonces concluiremos quedebe existir una dimensión adicional.

Por ultimo algo extraño pero interesante. Si pensamos nuestra ubicación enla superficie de la tierra, vemos que la distancia entre dos puntos es una líneaque se denomina geodesia. Esta línea es un arco de circunferencia que une ambospuntos. Esta es para nosotros la distancia mas corta, aunque si nos movemos atres dimensiones sabemos que hay una distancia mas corta dada por la recta quepasa bajo tierra y une ambos puntos. Si extendiéramos esto al infinito, diríamoslo siguiente:

              1. Así como habitamos en un espacio tridimensional que es la superficie de un espacio cuatri-dimensional, podemos pensar que este espacio cuatri-dimensional es la superficie de un espacio de 5 dimensiones.
              2. Cada uno de estos espacios es como el anterior no-euclidiano. ¿por qué? Simplemente por que hay muchas formas para un espacio de ser curvo y solo una de ser euclidiano.
              3. Tal como ocurre al medir la distancia entre dos puntos en este tipo de espacios curvos, veíamos como cuando se agrega una dimensión, esta distancia es mas corta que la que podíamos medir.
              4. Podríamos entonces concluir que extendiendo el razonamiento al infinito, la distancia entre dos puntos es igual a cero. Es allí donde decimos que toda la creación es un simple punto en un espacio de infinitas dimensiones.

¿Qué es lo que nos ha llevado a decir que nuestro espacio es no euclidianoo curvo? ¿Qué propiedades hemos observado que nos hace creer en esto? Larespuesta que dio Einstein a estas es la gravedad. La presencia de la materiacausa una distorsión en el espacio-tiempo, y esta es la base para la TeoríaGeneral de la Relatividad.

8. La Teoría General de la Relatividad

Cuando Einstein descubre los principios de la relatividad especial, se conocíandos fuerzas de la naturaleza, la electromagnética y la gravedad, y ambas teníancategorías distintas en dicha teoría. La relatividad especial surge parareconciliar el comportamiento de las ondas electromagnéticas con laspropiedades mecánicas de los cuerpos en movimiento. La teoría de Maxwellestaba de acuerdo con la relatividad especial (velocidad de la luz constante ymaxima), a pesar de que se cambio la interpretación física anulándose elconcepto del éter.. Por el contrario la teoría de la gravitación de Newton,resultaba incorrecta desde la perspectiva de la relatividad. Para Newton, lafuerza de la gravedad consiste en una acción instantánea a distancia, lo cualpara Einstein carece de sentido dado que la simultaneidad de los acontecimientosno es posible cuando estos ocurren en dos lugares diferentes del espacio debidoa que la información no viaja a velocidad infinita sino con un valor máximopero finito igual al valor c = 300.000 km/seg.

Se denomina General por ser una generalización de la teoría especial.Recordemos que la teoría especial amplió el principio de relatividad desde lamecánica a toda la física, siempre que estuviéramos en sistemas de referenciainerciales, es decir en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme. A través dela teoría general, Einstein va mas allá, diciendo que todos los sistemas dereferencia son equivalentes, incluso aquellos que se mueven entre sí conmovimientos acelerados.

¿Qué pasa cuando analizamos sistemas de referencia que se encuentran enmovimiento acelerado? Lo que notamos y experimentamos sensiblemente es laaparición de efectos inerciales.
Si vamos en un auto y este de repente cambia su velocidad, ya sea porque dobla oporque acelera (cambia la velocidad), nosotros en el interior del auto sentimoso que nos movemos para un costado ( el contrario al que dobla) o que nos pegamoscontra el respaldo del asiento. Si frena nos pegamos contra el vidrio deadelante. En todos estos casos estamos experimentando una fuerza que denominamosinercial pero que no sabemos quien la provoca, es decir nada esta accionandocontra nosotros para llevarnos a esa situación, simplemente hubo un cambio enlas condiciones del movimiento.

De acuerdo a lo que ya sabemos respecto al movimiento relativo, podríamosdecir que en todos estos casos, el auto es el sistema de referencia fijo y loque en realidad se mueve hacia el costado o acelerando hacia delante o frenandoes la tierra. Este razonamiento no nos parece lógico sino que el sentido comúnnos hace pensar que es el auto el que se esta moviendo y de allí los efectosinerciales, por eso es que Newton dijo que para el caso del movimientoacelerado, no existe el principio de relatividad sino que estos sistemasrealmente tienen un estado de movimiento absoluto.

Entonces de acuerdo a este estado de la ciencia, cuando aparece Einstein teníamosdos conceptos:

  • El estado de movimiento uniforme es relativo.
  • El estado de movimiento acelerado es absoluto.

Einstein que siempre trataba de simplificar todo, pensaba que esto era raro yque la naturaleza debía ser más simple, es decir tener una sola verdad, quepara el se podía expresar diciendo que cualquiera fuera el estado de movimientode un cuerpo, siempre seria relativo. Esto es lo que durante mas de 10 añosestuvo pensando para concluir en su teoría general de la relatividad.

¿Cuál era la intuición de Einstein para pensar la generalización de lateoría especial a la relatividad general? Einstein decía que tanto las leyesde la mecánica newtoniana, como la teoría especial de la relatividad, sonvalidas si las mismas se miden o se verifican dentro de sistemas especialesllamados galileanos, y no lo son en sistemas no galileanos. Einstein se pregunta¿Qué hace que un tipo de sistemas de coordenadas sean preferibles respecto aotros. Redundantemente, por preferibles entendemos a aquellos donde se cumplenciertas leyes de la naturaleza, las leyes de la mecánica y de la relatividadespecial. Tengamos en cuenta que un sistema de referencia es una abstraccióncreada por el hombre. Esta paradoja o incongruencia Einstein la explica muy biena partir de una comparación o imagen.

Dice así: supongamos que no conociéramos lo que es el fuego, y nosencontramos en una cocina donde hay dos ollas exactamente iguales con agua hastala mitad, de una sale vapor y de la otra no. Nuestra lógica nos llevara abuscar la causa de esta diferencia aparentemente no razonable. Si viéramos quedebajo de una de estas ollas hay una especie de luz azulada (una llama), aunquenunca hubiéramos tenido la experiencia del fuego, inmediatamente lo asociaríamosa la causa de la producción de vapor.

Si esto no ocurriera, estaríamos sorprendidos y perplejos e intentandoencontrar la causa de este comportamiento extraño.

En forma análoga Einstein buscaba que era ese algo en la mecánica clásicao en la relatividad especial, al cual atribuir la diferente conducta de loscuerpos considerada respecto a los sistemas de referencia galileanos y nogalileanos.

Newton vio esta objeción pero la invalido sin una explicación lógica.

Mach la reconoció mas claramente y dijo que debía estudiarse la mecánicasobre una nueva base. Solo se podría mas tarde eliminar este estado dpreferencia arbitrario por medio de una física que este conforme al principiode relatividad general. así las ecuaciones que expresan todas las leyes de lanaturaleza no varían para ningún sistema de referencia, sin importar sucondición de movimiento.

Volvamos nuevamente sobre los sistemas de referencia no inerciales.Imaginemos a un observador en un compartimiento en el espacio intergalácticodonde no se ejerce sobre el ningún tipo de fuerza. Imaginemos ahora que estecompartimiento sufre una aceleración (es decir cambia su velocidad de reposoabsoluto a una velocidad determinada v) siendo la misma constante a la quellamamos ¨a¨. En ese momento el observador suelta una moneda que tiene en sumano y vera que la misma cae hacia el piso del compartimiento con una aceleraciónconstante igual a: -a.

Otro observador realiza el mismo experimento pero en un sistema de referenciainercial en presencia de un campo gravitatorio uniforme g, donde g=-a.

Al dejar caer la moneda este observador vera el mismo efecto que en el casoanterior, es decir a la moneda caer con una aceleración constante =-a.

¿Cómo podrían ambos observadores diferenciar si están en un sistema noinercial o en uno inercial dentro de un campo gravitatorio?. La respuesta es queno pueden, y es desde aquí que Einstein establece el postulado de la teoríageneral de la relatividad, diciendo que ningún experimento llevado a cabolocalmente puede distinguir entre un sistema de referencia acelerado en formaconstante y otro inercial (no-acelerado) pero en presencia de un campogravitatorio.

Este postulado es un enunciado del principio de equivalencia entre la masainercial y la masa gravitatorio. Así como la teoría especial de la relatividadnos lleva a fundir conceptos que se consideraban separados e independientes comoson el espacio y el tiempo, en un nuevo concepto espacio-tiempocuatridimensional; la teoría general requiere otro cambio en la visión dedicho espacio-tiempo, por el cual la causa de la gravedad esta dada por ladeformación provocada en la geometría del espacio-tiempo en presencia degrandes masas. Es decir en lugar de tener un espacio-tiempo plano, este se curvaen la vecindad de una masa. La curvatura se produce en el espaciocuatridimensional, por lo que es imposible que sea visualizada o percibidasensiblemente por seres como nosotros que somos tridimensionales. La teoríageneral de la relatividad trata entonces a la gravitación o gravedad como unacurvatura del espacio-tiempo en cuatro dimensiones. Es decir como un fenómenogeométrico.

Si recordamos cuando hablamos de espacios curvos, veremos que la distanciamas corta entre dos puntos no es una recta sino una curva a la que llamamosgeodesia.

En el espacio-tiempo la trayectoria de la tierra y los planetas alrededor delsol es una curva dado que esta es la distancia mas corta que puede recorrer através de la geodesia del espacio. Esta geodesia surge por la curvatura queproduce en el espacio- tiempo una masa como la del sol. Los efectos de lacurvatura son mas apreciados cerca de grandes masas tales como las estrellas ylos agujeros negros que se convierten en laboratorios importantes para la físicade grandes energías.

    1. Masa Inercial y masa gravitatoria

      Einstein analizaba que, tanto en la segunda ley de Newton F = m.a, como en la ley de gravitación universal F = G.m.M/R2, aparece una masa m.

      Si ambas leyes son independientes entonces debería existir para cada cuerpo una masa inercial y una masa gravitatoria. Ahora bien todos los experimentos realizados para medir a ambas arrojaban los mismos resultados, es decir ambas masas eran iguales para el mismo cuerpo. Este resultado, ya conocido por Newton, hizo pensar a este que era totalmente casual. Por el contrario, Einstein dijo que el concepto de aceleración que surge de la 2a ley de Newton, debía estar relacionado con el concepto de gravedad.

      Si dos objetos tienen diferente peso, por ejemplo una bala que pesa 100 veces mas que una bolita, significa que la gravedad ejerce sobre la bala una fuerza 100 veces mayor que sobre la bolita, sin embargo ignorando la resistencia del aire sabemos y demostramos experimentalmente que si las arrojamos desde una misma altura, ambas caen en el mismo tiempo al piso. Esto a lo mejor no lo pensamos detenidamente, pero es totalmente extraño y contra el sentido común. ¿Por qué ocurre así?, Newton dijo que al mismo tiempo que la gravedad arrastra hacia abajo a los cuerpos, estos se resisten a moverse, ese es el concepto de inercia, es decir resistencia al cambio de movimiento. Si esta detenido: resistencia a moverse, si se mueve y se lo acelera: resistencia a aumentar la velocidad, si se lo quiere detener: resistencia a parar. Es decir la inercia nos da una idea de vagancia física propia de los cuerpos de cualquier tipo.

      Entonces la bala si bien tiene 100 veces mas fuerza de arrastre por la gravedad de la tierra (asumimos que hacemos el experimento en la tierra), también tiene como contrapartida 100 veces más resistencia a moverse.

      Si esto no fuera así, objetos de diferentes pesos caerían en diferentes tiempos desde la misma altura.

      Decíamos que para Newton decir que la masa gravitacional fuera igual a la masa inercial era una casualidad, el no sabia cual era la razón de esta igualdad.

      Einstein por el contrario estableció un postulado, que se conoce como principio de equivalencia, diciendo que la masa inercial y la masa gravitacional son la misma cosa.

      Para ejemplificar esto un poco mas, Einstein pensaba en una persona encerrada en una caja tipo ascensor, en el espacio, y decía que si a esa caja se la ataba a aun cohete que la aceleraba a un valor determinado (el valor de g = 9.80 m/seg2), la persona en su interior no podría distinguir entre esta situación (aceleración arrastrada por un cohete) o pensar que la caja estaba depositada en la superficie de la tierra, y el parado sobre la misma.

      De allí mostró la imposibilidad de diferenciar entre una fuerza gravitacional y una inercial producida por una aceleración. A partir de este razonamiento, podemos considerar que los sistemas de referencia que se encuentran en un estado de movimiento acelerado entre ellos, es indistinto hablar de efectos inerciales como de efectos gravitatorios.

      La teoría general de la relatividad extiende entonces el postulado de la relatividad especial a sistemas de referencia que estén en estado de movimiento acelerado.

      Todas las leyes de la naturaleza son las mismas con respecto a cualquier observador, sea cual fuere su estado de movimiento relativo a otro sistema: reposo, movimiento uniforme o acelerado.

    2. Observador Inercial

      Un observador inercial es un sistema que recolecta información en un sistema de coordenadas espacio-tiempo, en el cual se identifican como coordenadas espaciales a x,y,z y como coordenada temporal a t. Un punto en dicho espacio-tiempo es un evento.

      Para que dicho sistema sea llamado inercial se deben cumplir las siguientes 3 condiciones

              1. La distancia entre dos puntos espaciales P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es independiente del tiempo t.
              2. Los relojes que miden el paso del tiempo en cada punto del espacio-tiempo están sincronizados y funcionan a la misma velocidad, es decir cada tic es simultaneo.
              3. La geometría de dicho espacio para un tiempo t constante es euclidiana.

      Una observación de un observador inercial significa asignar a un evento las coordenadas x, y , z de la localización de su ocurrencia (donde ocurrió) y el tiempo t leído en el reloj que esta ubicado en el lugar del evento, es decir en P = x, y, z.

      Debemos aclarar que NO ES el tiempo que marca el reloj de la muñeca del observador ubicado en el origen O (0,0,0) cuando observa el evento en P (x,y,z).

      Esto es así porque según sabemos, la ocurrencia del evento y la observación del mismo por parte del observador en O, no son eventos simultáneos dado que la luz, que es el mecanismo de transmisión de la información desde P hasta O, tiene una velocidad finita.

    3. Grafico de Minkowski (Diagrama espacio-tiempo)

      Este tipo de diagramas permite un enfoque geométrico de la teoría especial de la relatividad. Graficamos un par de ejes coordenados donde las abscisas sean una dimensión espacial x, y las ordenadas una dimensión temporal pero algo diferente. Ponemos en ella el valor c.t, donde c es una constante conocida (la velocidad de la luz) y t es el tiempo variable. De esta manera lo que representamos en este eje, será la distancia que recorre la luz en el tiempo t. De esta manera tenemos un grafico de las mismas dimensiones (dimensiones de espacio, Ej. Metros). Al ser c una constante, adoptamos para ella un valor que sea más accesible para trabajar, dándole así el valor c=1.

      Una línea en este grafico se la denomina línea del mundo del objeto que estamos observando, y representa por un lado (eje de abscisas), la posición de dicho objeto en el espacio que llamamos para una sola dimensión espacial variable x. Por otro lado, en el eje de las ordenadas, el momento en que dicho objeto ocupo dicha posición x en el espacio. En lugar de decir que ese tiempo es a los N segundos o minutos u horas, diremos que el mismo es la distancia que recorrió la luz a su velocidad constante c en el tiempo t=N.

      La pendiente de una línea del mundo de un objeto nunca puede ser menor que 1, es decir el ángulo mínimo que forma la línea del mundo con el eje de las abscisas será de 450. Esto resulta así por ser c la velocidad máxima a alcanzar por cualquier objeto. Si el objeto se moviera a la velocidad máxima de la luz partiendo desde el origen del sistema, el punto alcanzado será tal que la medida de la ordenada de dicho punto será c.t la distancia recorrida por la luz, cuyo valor es igual a la medida de la x, por que este es el espacio recorrido por un objeto durante un tiempo t a la velocidad c (espacio = velocidad x tiempo). Es decir ambos valores serán iguales, y por un simple razonamiento trigonométrico sobre el triangulo que se dibuja en los ejes, resultara que la tangente del ángulo será igual a 1, por lo que el ángulo será de 450. No puede ser menor dado que esto implicaría que el objeto recorriera una distancia superior a la que puede recorrer la luz, lo cual es imposible según el 20 postulado de la teoría especial de la relatividad.

      Habiendo deducido el porque del ángulo mínimo en las líneas del mundo del grafico de Minkowski, detengámonos un poco mas en el.

      Decíamos que a un punto en el grafico de Minkowski se lo denomina evento. Cualquier evento que ocurre en el mundo físico, ocurre en una determinada ubicación en el espacio y en un determinado instante o momento del tiempo.

      Antes del advenimiento de la teoría especial de la relatividad, solo se consideraba al espacio tridimensional y al tiempo como algo separado porque este parecía un continuo en si mismo, independiente y absoluto; es decir el tiempo pasa igual para todos. A partir de los desarrollos de Einstein, se supo y comprobó que el tiempo no es absoluto sino que depende del estado de movimiento de los sistemas de referencia donde se lo mida tal como surge de las transformadas de Lorentz. Habíamos deducido que eventos simultáneos para un observador que ocurren en lugares distintos, no se presentan como simultáneos a otro observador que se encuentra en un sistema de referencia en movimiento respecto al primero.

      En un espacio euclidiano de 3 dimensiones, sabemos que la distancia entre dos puntos por ejemplo un punto P (x,y,z) y el origen (0,0,0) se calcula con la ecuación : d2=x2+y2+z2

      Sabemos también que esta distancia no varia cuando se la mida en otro sistema que este en movimiento respecto al primero, es decir d2=x´2+y´2+z´2.

      Vimos que en el espacio cuatri-dimensional de Minkowski hacíamos un reemplazo de la variable tiempo t por una constante multiplicada por t. Esa constante es i.c, donde i es la raíz cuadrada de –1, y c la velocidad de la luz (¿por qué hacemos esto? No se). Es decir este es un numero imaginario puro cuyo modulo es la distancia recorrida por la luz en el tiempo t, que es lo que antes en dos dimensiones habíamos explicado. Este cambio en la forma de medir el tiempo apunta a poder medir la variable tiempo con las mismas dimensiones que la variable espacio. Vimos antes y se explicita formalmente en las transformadas de Lorentz que ambos, tiempo y espacio, son parte de una misma entidad llamada espacio-tiempo. De allí la necesidad de tener las mismas dimensiones.

      Si definimos que el espacio-tiempo localmente, tiene propiedades de espacio euclidiano, entonces la formula de la distancia según vimos en tres dimensiones vale también para cuatro:

      d2= x2+y2+z2+(i.c.t)2, o sea que

      d2= x2+y2+z2 –c2.t2

    4. Construcción de un grafico de Minkowski (ejes no ortogonales)

Habíamos dicho que dado que c es una constante nada impide que le demos a lamisma el valor 1.
En el grafico bidimensional de Minkowski tenemos que la pendiente de una líneadel mundo que esta dada por la formula ∆t/∆x es la inversa de lavelocidad.
Cada observador es un sistema de coordenadas espacio-tiempo. Dado que todos losobservadores miran a los mismos eventos (el mismo espacio-tiempo) es posibledibujar los ejes coordenados de un observador en el diagrama espacio-tiempo delotro. Para esto debemos utilizar los postulados de la teoría especial de larelatividad. Vemos el procedimiento.

La pregunta entonces es ¿Como dibujamos dos sistemas que se mueven unorespecto a otro a la velocidad v, y en donde en ambos se da el 2oprincipio de Einstein, c= constante?

  1. Dibujamos un para de ejes coordenados perpendiculares. Este será para nosotros el sistema en reposo S (x, t)
  2. Si el sistema S’ (x’,t’) que tiene el mismo origen O’=O, se mueve con velocidad v respecto de S; sabemos que el eje t’ formara con el eje t un ángulo α tal que Sen α = Δt/Δx = 1/v
  3. Para dibujar el eje x’ que no es necesariamente perpendicular a t’, sabemos que el mismo es el lugar de eventos para los cuales t’ = 0. También sabemos que c=1 tanto en S como en S’. Veamos el comportamiento de un fotón graficado en el sistema S’ asumiendo que ambos ejes son ortogonales (perpendiculares). Asumamos que un fotón sale de una posición x’ = 0, t’ = -a. Dicho fotón avanzara en el espacio a c=1, por lo tanto en nuestro grafico de dos ejes tendrá coordenadas t’ = 0 cuando x’ = a, ya que se mueve en una recta de 45 0, no olvidemos como construimos el diagrama de Minkowsky. Si en dicha posición x’ = a existe un espejo que refleja al fotón, este seguirá un camino inverso hasta volver a la posición x’ = 0 pero cuando t’ = a. De la misma manera que antes se mueve en una dirección que forma un ángulo de 45 0 con la horizontal.
  4. Ahora llevamos esta metodología de construcción a nuestros grafico original en donde ya tenemos el sistema S (x,t) con ejes ortogonales, y el eje t’ de nuestro sistema S’; faltando solo dibujar el eje x’. Sobre el eje t’ dibujamos el punto –a donde sale el fotón. Dado que en el sistema S este fotón también viaja a c = 1, la dirección que adopta formara un ángulo de 45 0 con la horizontal paralela al eje x, a esta recta la llamamos L1. Sobre esta L1 se debe encontrar un punto del eje x’. Dado que por construcción dijimos que los orígenes de ambos sistemas coinciden, el otro punto será O=O’, de esta manera podemos trazar el eje x’.
  5. ¿Dónde esta dicho punto? Sabemos también de nuestro razonamiento anterior en un S’ con ejes ortogonales, que el fotón retornara al eje t’ en un punto t’ = a, por lo tato allí pasara nuestro fotón luego de haber sido reflejado en un espejo situado sobre el punto del eje x’ que estamos intentando detectar donde esta. ¿Con que dirección llega al punto a? Formando un ángulo de 45 0 con la vertical paralela al eje t. A esta línea la llamamos L2 .
  6. Donde se cruza L2 con L1 tenemos el punto sobre x’ que estaba faltando para ahora si construir este eje, que como vemos x’ y t’ no son ejes ortogonales dado que fueron construidos de manera tal que se mantenga el principio de la constancia de la velocidad de la luz c para ambos sistemas S y S’.

La escala para medir longitudes en el espacio-tiempo S’ es diferente a laexistente para el espacio S. La misma se deduce a partir del teorema de lainvarianza del intervalo.
Así como en un espacio euclidiano de tres dimensiones la separación entre dospuntos se denomina distancia la cual es invariante y se calcula con la formula d2=x2+y2+z2,en el espacio-tiempo se denomina intervalo a lo mismo, salvo que ahora dado quela dimensión tiempo esta dada por i.c.t, su cuadrado será -c2t2,y como adoptamos para c un valor 1, dicho termino será –t2.

El teorema de invarianza del intervalo dice que la el intervalo permanececonstante en los diferentes sistemas de referencia, por lo tanto dados doseventos E y P su intervalo será tal que (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2=0

El intervalo de los mismos eventos en el espacio-tiempo S’ será invariantesiendo entonces que (Δx’)2+(Δy’)2+(Δz’)2-(Δt’)2=0.
A partir de esto definimos como intervalo entre cualquier de dos eventos, loscuales no necesariamente estarán en la misma línea del mundo del mismo haz deluz al valor Δs tal que (Δs)
2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2
Si (Δs)2=0para dos eventos en el sistema K (t,x,y,z), entonces por el teorema de lainvarianza de los intervalos, (Δs’)2=0para los mismos eventos usando sus coordenadas en el sistema K’(t’,x’,y’,z’).

Se demuestra que (Δs)2=(Δs’)2.Es decir el intervalo entre dos eventos es el mismo cuando es calculado por unobservador inercial.

Si (Δs)2>0,significa que (Δx)2+(Δy)2+(Δz)2>(Δt)2en cuyo caso al ser los incrementosespaciales superiores al incremento temporal, se dice que los eventos estánseparados espacialmente. Por el contrario si ocurre lo contrario ( Δs)2<0, los eventos se dice que están separados temporalmente. Si (Δs)2=0 los eventos están sobre los mismos rayos de luz, y su separación esnula

Aquellos eventos que están sobre los mismos rayos de luz tendrán separaciónnula con otro evento determinado llamado A y en un grafico tridimensionalespacio-tiempo (dos dimensiones espaciales y una temporal) se ubicaran sobre undoble cono invertido cuyo vértice es el evento A. A este doble cono se lo llamacono de luz del evento A y muestra las posiciones posibles de eventos ocurridosen el pasado y ene el futuro del evento A.

 

Autor:
Eduardo Yvorra
eduardoy@house.com.ar

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