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Prueba de Hipótesis

Resumen: Dada la necesidad de bibliografía para la asignatura Informática Medica II se concibió este Material de Apoyo a la Docencia cuyo contenido forma parte del programa analítico de la asignatura. En el mismo se expone el sumario siguiente: Prueba de Hipótesis. Hipótesis nula. e Hipótesis alternativa. Prueba de Hipótesis de una cola y de dos colas. Nivel de significación. Errores de Tipo I (a) y Tipo II (b). Región Crítica de una Prueba de Hipótesis. Prueba de Hipótesis acerca de la media de una Distribución Normal cuando s es conocida y desconocida. Prueba de Hipótesis acerca de una proporción Poblacional. Prueba de Hipótesis sobre Diferencias de Medias y Proporciones Poblacionales.
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Autor: Dra. Nelsa María Sagaró del Campo y Dra. Meydis María Macías Navarro
Resumen

Resumen

Dada la necesidad de bibliografía para la asignatura Informática Medica II se concibió este Material de Apoyo a la Docencia cuyo contenido forma parte del programa analítico de la asignatura. En el mismo se expone el sumario siguiente: Prueba de Hipótesis. Hipótesis nula. e  Hipótesis alternativa. Prueba de Hipótesis de una cola y de dos colas. Nivel de significación. Errores de Tipo I (a) y Tipo II (b). Región Crítica de una Prueba de Hipótesis. Prueba de Hipótesis acerca de la media de una Distribución Normal cuando s es conocida y desconocida. Prueba de Hipótesis acerca de una proporción Poblacional. Prueba de Hipótesis sobre Diferencias de Medias y Proporciones Poblacionales.

Prueba de Hipótesis

En la actividad anterior se abordó uno de los grandes campos de  trabajo de la inferencia estadística, la estimación de parámetros poblacionales, el otro campo de acción de la estadística inferencial es la verificación de hipótesis estadística, también conocida como prueba, dócima o contraste de hipótesis.

Vamos a analizar algunos conceptos básicos comunes todas las pruebas y esenciales para su comprensión, y posteriormente veremos pruebas particulares para problemas concretos.

Definiciones Básicas

-Hipótesis: Supongamos que se conoce por estudios anteriores que la prevalencia del habito de fumar en la población de un área de salud es del 45%  y se realiza una intervención para tratar de reducir este nocivo habito. Después de realizada la misma se estudia una muestra de esa población y constató que la prevalencia de fumadores era del 30%.

¿ Puedo por estos resultados asegurar que la reducción del porcentaje de fumadores se debió al impacto de la intervención?. ¿Será esa diferencia entre esos dos porcentajes producto del azar, de la casualidad, del propio hecho de trabajar con una muestra?. ¿ Son realmente iguales o diferentes esas proporciones?. ¿ Es el por ciento de fumadores menor después que se realizó la intervención?.

Esas interrogantes, esas preguntas las vamos a formular en forma de hipótesis estadística. Una hipótesis no es mas que una afirmación sobre el comportamiento poblacional que se asume para esa variable.

La primera hipótesis que se plantea es la llamada hipótesis nula, y se designa con H , algunos autores la designan con el nombre de hipótesis de no diferencia. En esta hipótesis se expresa la no existencia de diferencia entre los resultados obtenidos en la práctica y los resultados teóricos. Dicho de otra forma, en la hipótesis nula se declara lo opuesto a lo que estamos intentando probar, lo opuesto a lo que el investigador quiere probar. En general esta hipótesis se establece con el propósito de ser rechazada.

H : p = p       ( La prevalencia de fumadores es la misma antes y después de la intervención)

 La hipótesis nula da lugar a una segunda hipótesis, la hipótesis alternativa, que se designa como H y en ella se expresa lo contrario a lo que se planteo en la hipótesis nula, lo que el investigador quiere probar.

En dependencia de cómo se plantee la hipótesis alternativa se derivan de ella tipos de pruebas de hipótesis.

Siguiendo con el ejemplo.

Que simplemente difieren los porcentajes de fumadores, sin precisar el sentido de esa diferencia.

H = p ¹ p

En este caso se dice que la prueba es de  dos colas o contraste bilateral, pues la diferencia puede darse en cualquier sentido, que difieran por exceso o por defecto, p >p ,o, p < p

Darle sentido a la desigualdad o diferencia.

H = p >p      ( Sería el caso del ejemplo)

H = p < p

En este caso se diece que la prueba es de una cola o contraste unilateral.

-Errores

Al tomar la decisión de rechazar o no las hipótesis  podemos equivocarnos en nuestra decisión, podemos cometer un error. La decisión siempre se toma en función de la hipótesis nula, sobre esta hipótesis y se pueden cometer dos tipos de errores:

1er Error. Error de tipo I o α

                        Rechazar la hipótesis nula, siendo cierta

2do Error. Error de tipo II o β

                        Aceptar la hipótesis nula, cuando esta es falsa

Lo anterior se resume en la siguiente tabla:

C ondición  de la hipótesis nula

Acción posible

No rechazar H0

Rechazar H0

Verdadera

Correcto

Probabilidad 1 - a

Error tipo I

Probabilidad a

Falsa

Error tipo II

Probabilidad b

Correcto

Probabilidad 1 - b

-Nivel de significación

Siempre al tomar una decisión estoy expuesto a cometer un error, por eso es muy beneficioso tener una cuantificación de cuán buena o no ha sido mi decisión, medir en términos de probabilidades si mi decisión ha sido o no acertada y tener alguna medida de la confianza de mis decisiones.

El error que se mide con más frecuencia es el de tipo I o α, donde se fija una  probabilidad  pequeña, como es lógico, de cometer este tipo de error, de equivocarme en mi decisión. Por convención se fija una probabilidad de 0.05 o un 5%, o de 0.01 o un 1% yb se acostumbra a denotar esta probabilidad por α, así tendríamos α= 0.05 ,o, α= 0.01

La especificidad de una probabilidad pequeña designada por α de cometer el error de tipo I, es lo que se conoce como nivel de significación de la prueba.

Ahora resulta fácil entender porque la hipótesis nula se expresa en términos de lo que ``esperamos rechazar´´, lo contrario a lo esperado por el investigador, pues el error que fijamos con una probabilidad pequeña de equivocarnos es el de rechazarla siendo cierta, y desde el momento mismo en que la formulamos se hace en función de lo que no se espera que ocurra.

En el ejemplo de la intervención para reducir la prevalencia del habito de fumar, la hipótesis  nula se formuló en términos de igualdad en los proporciones de fumadores, cuando lo que el investigador espera es que sea menor la prevalencia de los que fuman después de la intervención.

El rechazo de la Hipótesis Nula equivale a la aceptación de la Hipótesis Alternativa, si en el ejemplo que nos ocupa rechazamos la igualdad de prevalencia de fumadores, aceptamos la alternativa de que la prevalencia disminuyó después de aplicado el plan de intervención.

El error de tipo II o β también puede ser `` medido´´, pero en la práctica su uso se limita a casos muy especiales. Es por eso que al no tener en valor de probabilidad fijado de cometer este tipo de error- aceptar la hipótesis nula cuando es falsa- trato de no cometer este error al realizar la prueba y por eso al no poder rechazar la hipótesis nula nunca digo que la acepto, si no que no puedo rechazarla. Esta forma de expresar el no rechazo de H es denominada por algunos autores como reservar el juicio y simplemente lo que se trata es de no cometer el error de tipo II al utilizar la palabra acepto. 

-Estadígrafo o estadístico de prueba.

Para realizar una prueba de hipótesis hay que tener en cuenta algunos aspectos de diseño de la investigación como es la naturaleza de las variables, en que escala están medidas, las características de la muestra, y el cumplimiento de algunos supuestos pre establecidos para decidir que tipo de prueba se va a utilizar.

Siempre existe para cualquier tipo de prueba un estadístico o estadígrafo ( expresión  o formula matemática) que se calcula con los datos de la muestra. Este estadígrafa bajo el supuesto de que H sea cierta sigue una determinada distribución teórica de frecuencia, distribución que puede variar según el tipo de prueba, y que en ocasiones le da el nombre a la prueba estadística.

-Regla de decisión.

La distribución teórica de frecuencia o de probabilidad que caracteriza a cada estadígrafo y el nivel de significación que se fije para realizar la prueba, son los elementos esenciales que van a influir en la decisión que se tome en cuento al rechazo o no de la hipótesis nula.

 Generalmente cuando se produce el rechazo de H y por ende la aceptación de la alternativa se dice que la prueba fue significativa a un 5% o un 1 % en dependencia del nivel de significación con que se halla trabajado la prueba. Este aspecto se explicará con mas detalle, en aras de facilitar su comprensión, cuando desarrollemos algunas pruebas de hipótesis especificas. 

Antes creemos pertinente realizar algunas observaciones sobre el termino estadísticamente significativo, que con frecuencia se confunde con el significado corriente de la palabra significativo, y se hace  sinónimo el resultado de una prueba, al de relevante, importante desde el punto de vista del marco teórico de la ciencia en la cual se está investigando. Por tanto se recomienda usar en la literatura científica la palabra significativo solo en caso de referirse al resultado de una prueba estadística y no al discurso en general.

Otro aspecto que vale la pena aclarar es que el resultado de una prueba de hipótesis no puede analizarse al margen del marco teórico de la ciencia particular en que esta ha sido usada. El resultado de la prueba estadística sólo es una parte de la evidencia que influye en la decisión del investigador. La decisión estadística no debe considerarse como definitiva, si no que es un elemento mas a considerar junto con el análisis de toda la información científica que existe sobre el problema que se investiga.

1  Pruebas de hipótesis a partir de  medias.

Existen dos condiciones básicas en que realizamos PH a partir de medias: para una sola población y para dos poblaciones. Veremos cada caso por separado, a la vez que nos detendremos en las particularidades de cada una. Pero antes, debes conocer que las pruebas de hipótesis se pueden realizar de forma unilateral y bilateral, en dependencia de la forma en que son enunciadas las hipótesis nula y alternativa. Así, una PH bilateral es aquella en que sólo interesa conocer la existencia de diferencias, sin definir el sentido de éstas, como ocurre en el caso unilateral.

La media de una sola población.

Esta situación surge cuando al investigador le interesa probar que la media m de una determinada variable en una población es igual o diferente a un valor determinado m0. Estas pruebas pueden realizarse en tres condiciones diferentes que veremos a continuación:

La población se distribuye normal con varianza conocida.

La población se distribuye normal con varianza desconocida.

La población no se distribuye normal.

Aunque la teoría para las condiciones 1 y 2 se basa en que la población sigue una distribución normal, en la práctica es común aplicar este proceder aún cuando la población sólo está distribuida aproximadamente normal. Esto es satisfactorio siempre que la desviación de la normalidad sea moderada.

1- Población normal con varianza conocida.

Suponemos que X~N (m, s2) donde s2 es conocida y queremos contrastar si es posible que m  (desconocida) sea en realidad cierto valor m0 fijado. Esto es un supuesto teórico que nunca se dará en la realidad pero servirá para introducir la teoría sobre contrastes.

Test de dos colas con varianza conocida :

El test se escribe entonces como:

Ho: m = m0

H1: m  ¹ m0

Estadígrafo de prueba:

                       

Si H0 es cierta, este estadígrafo tiene una  distribución normal estándar. Le llamaremos al valor de Z obtenido en la muestra  Z observado y lo denotaremos como Zo

Fijemos ahora el nivel de significación a, de manera que queden definidas las zonas de aceptación y de rechazo (crítica) respectivamente. Así, tomaremos como  región crítica C, a los valores que son muy extremos y con probabilidad a en total, o sea:

P(Zo ≤ Z a / 2) = a / 2

P(Zo ³ Z 1-a / 2) = a / 2

Recuerda  que  Z a / 2  = - Z 1- a / 2

Lo anterior implica que:

P(-Z 1- a / 2 ≤ Zo ≤ Z 1- a / 2) = 1- a  siendo esta la zona de aceptación.

Entonces la región crítica C consiste en:

C = Zo, tal que |Zo| > Z 1- a / 2

Luego rechazaremos la hipótesis nula si:

|Zo| > Z 1- a / 2

Aceptando en consecuencia la hipótesis alternativa (figura 4.4.1).

Puedes observar en la figura 4.7, que la región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H0 cuando el estadígrafo Zo toma un valor comprendido en la zona sombreada de la gráfica pequeña, N(0, 1), o equivalentemente, cuando el estadígrafo   toma un valor en la zona sombreada de la gráfica grande, N (m0, s2).  

 

 


 

Figura 1.Representación gráfica de las zonas de aceptación y rechazo de la Ho

Tests  unilateral (de una cola) con varianza conocida

Consideremos un contraste de hipótesis donde ahora las hipótesis se enuncian:   

            Ho: m = m0      A veces se escribe   Ho: m ≥ m0

H1: m < m0                                       H1: m < m0

El estadígrafo de prueba es el mismo del caso anterior, pues la Ho es igual.

Como región crítica consideraremos aquella formada por los valores extremadamente bajos de Zo, con probabilidad a, es decir:

P(Zo ≤ Za) = a  implica  P(Zo ≥ Za) = 1 - a

Entonces la región de aceptación, o de modo más correcto, de no rechazo de la hipótesis nula es (figura 4.4.2):  Zo ≥ Za; y por consiguiente, se rechaza Ho si:  Zo < Z a

Así pues, se rechaza la hipótesis nula, cuando uno de los estadísticos Z o  toma un valor en la zona sombreada de sus gráficas respectivas.  

 

 


 

Figura 2. Zonas de aceptación y rechazo para test unilateral.

Es evidente que si en el contraste de significación,  hubiésemos tomado como hipótesis alternativa su contraria, es decir:

Ho: m = m0        O también         Ho: m ≤ m0

H1: m > m0                                H1: m > m0

Por simetría con respecto al caso anterior, la región donde no se rechaza la hipótesis nula es (véase la figura 4.9 y contrástese con la 4.4.2): Zo ≤  Z 1 - a, lo que implica que se rechaza Ho si: Zo > Z1 - a

 

 


 

Figura 3. Regiones de aceptación y rechazo para el test unilateral contrario al anterior.

La variable se distribuye normal con varianza desconocida.

 Test de dos colas con varianza desconocida

Sea X~N (m, s2)  donde ni m  ni  s2 son conocidos y queremos realizar el contraste

Ho: m = m0

H1: m ¹ m0

Al no conocer  s2 va a ser necesario estimarlo a partir de su estimador insesgado: la varianza muestral, S2. Por ello la distribución del estimador del contraste será una t de Student, con n-1 grados de libertad.

            Si H0 es cierta implica:

~ t n - 1 gl

Consideramos como región crítica C, a las observaciones de To extremas:

 P(To ≤ t n - 1, a / 2) = a / 2

P(To ≥ t n - 1, 1 - a / 2) = a / 2

Recuerda que la distribución t es simétrica respecto a la media y tiene media 0, por lo que:

t n - 1, a / 2  = -t n - 1,1 - a / 2

Todo lo anterior implica que:

P(t n - 1,  a / 2  ≤ To ≤ t n - 1, 1 - a / 2)  = 1 - a

o sea

C = (To < - t n - 1, a / 2    ó To >  t n - 1, 1 - a / 2  )

De forma similar al caso anterior, para dar una forma homogénea a todos los contrastes de hipótesis es costumbre denominar al valor del estadístico del contraste calculado sobre la muestra como valor observado y a los extremos de la región crítica, como valores teóricos, en este caso Tt. Definiendo entonces:

Tt  = t n – 1 , 1 - a / 2

 

 


 

Figura  4.  Región crítica para el contraste bilateral de una media con varianza desconocida.

Entonces, si:                |To| ≤ Tt  Þ  no rechazamos H0

            |To|  >Tt  Þ  rechazamos  Ho

Tests de una cola con varianza desconocida

Si realizamos el contraste

Ho: m = m0

H1: m < m0

El estadígrafo de prueba es el mismo que en el caso bilateral, pero el valor teórico se modifica al igual que la zona crítica.

Tt = t n - 1,  a

 De forma tal que:                     To ³ Tt   Þ  no rechazamos Ho

            To < Tt  Þ  rechazamos Ho y aceptamos H1

 

 


Figura 5. Región crítica para uno de los contrastes unilaterales de una media con varianza desconocida.

Para el contraste contrario:        Ho: m = m0

H1: m > m0

Definimos To y Tt como anteriormente y el criterio a aplicar es (véase la figura 4.4.6): Tt = t n-1, 1- a

 

 


           

Figura 6. Región crítica para el contraste unilateral de una media contrario al anterior. Varianza desconocida.

De aquí que:                 Si To ≤ Tt   Þ  no rechazamos Ho

Si To > Tt    Þ  rechazamos Ho y aceptamos H1

Ejemplo

Conocemos que la talla (X) de los individuos de una ciudad, se distribuye  aproximadamente normal. Deseamos contrastar con un nivel de significación de a=0.05 si la talla media es diferente de 174 cm. Para ello nos basamos en el estudio de una muestra de 25 personas. Se  obtuvo los siguientes resultados:

  = 170cm y  s = 10cm

Solución:

El contraste que se plantea es:

Ho: m = 174 cm

H1: m ¹ 174 cm

Como puedes ver, se trata de un test con varianza desconocida, planteado de forma bilateral, entonces el estadígrafo de prueba será:

                                                ~ t 24 gl

La regla de decisión estará dada por el valor teórico del estadígrafo:

                                               Tt = t 24, 1 - a / 2 = t 24, 0.975 = 2.06

Comparemos ahora el valor observado con el teórico:

                                   |To| = 2 < Tt = 2.06 Þ No rechazamos Ho

Por lo tanto, aunque podamos pensar que ciertamente el verdadero valor de m no es 174, no hay una evidencia suficiente para rechazar esta hipótesis al nivel de confianza del 95%. En la figura 4.12 vemos que el valor de To no está en la región crítica (aunque ha quedado muy cerca), por tanto al no ser la evidencia en contra de H0 suficientemente significativa, esta hipótesis no se rechaza. 

 

 


 

            Figura 7. Región de rechazo de la hipótesis nula

Ejemplo 

Consideramos el mismo ejemplo anterior. Visto que no hemos podido rechazar el que la talla media de la población sea igual a 174 cm, deseamos realizar el contraste sobre si la talla media es menor de 174 cm.

Solución:

Ahora el contraste es                Ho: m = 174 cm

                                                         H1: m < 174 cm

De nuevo la técnica a utilizar consiste en suponer que H0 es cierta y ver si el valor que toma el estadígrafo T es aceptable bajo esta hipótesis, con un nivel de confianza del 95%. Se aceptará la hipótesis alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si:

                                               To < t 24, a = -t 24, 1 -  a = t 24,  0.95 = -1.71

Recordamos que el valor de To obtenido fue de:

                                                                                  To = -2 < Tt = -1.71

or ello hemos de rechazar la hipótesis nula y por tanto, aceptar la  alternativa               

Podemos observar en el gráfico, que el valor  To está en la región crítica, por tanto existe una evidencia significativa en contra de H0, y a favor de H1.

Es importante observar este hecho curioso: Mientras que en el ejemplo anterior no existía una evidencia significativa para decir que m ¹174 cm, el ``simple hecho" de plantearnos un contraste que parece       el  mismo pero   en versión unilateral nos conduce a rechazar de modo significativo que  m =174 cm  y aceptamos que m < 174  cm. Esto no es raro que suceda, de hecho se plantea que al usar pruebas unilaterales las diferencias encontradas suelen ser mucho más significativas que si se aplica el test bilateral. Por ello, es aceptable la actitud conservadora de muchos investigadores que sistemáticamente emplean contrastes bilaterales.

Población que no presenta una distribución normal.

Si, como ocurre con frecuencia, la muestra en la cual se basa la prueba de hipótesis acerca de la media de una población proviene de una distribución desconocida o diferente de la normal, si  la muestra es grande, mayor o igual que 30, es posible aplicar el teorema del límite central y usar el mismo estadígrafo Z visto con anterioridad, incluso en el caso en que no conocemos la varianza se puede sustituir ésta por la varianza muestral.

~ N (m0 , )

El resto del contraste se realiza de forma similar a lo visto anteriormente.

Observaciones

Es necesario que aclaremos algunos aspectos antes de continuar, los cuales serán válidos para el resto de la sección.

Test Bilateral Vs Unilateral: Una prueba se denomina bilateral o de dos colas, cuando la hipótesis alternativa está planteada sin especificar el sentido de la diferencia. Mientras que en el caso unilateral o de una cola se especifica el sentido o la dirección de la diferencia esperada. En el primer caso la zona de rechazo está dividida en dos partes, a ambos extremos de la distribución siendo las probabilidades a cada lado igual a a/2, para que entre sí sumen un total de a. Mientras que en el caso unilateral la zona crítica se encuentra hacia un extremo o el otro de dicha distribución, cuya área es igual a a. La decisión de cuál test emplear depende del objetivo de la investigación.

Valor de p (probabilidad) asociado al estadígrafo: Para llegar a una conclusión sobre el resultado de la prueba podemos utilizar, además del valor directo del estadígrafo de prueba, la llamada p asociada al estadígrafo, que seguro has oído hablar de ella. El valor p para la prueba, es la probabilidad de obtener, cuando Ho es cierta, un valor del estadígrafo mayor o igual (según la dirección de la diferencia)que el observado a partir de la muestra. Suele usarse con mayor frecuencia que el valor del estadígrafo, incluso se exige en la publicación de artículos científicos de algunos editores. Por supuesto que las conclusiones son equivalentes. En este caso se compara el valor de p con el valor de a prefijado y si:

p < a Þ se rechazará Ho

Este valor lo puedes obtener de las tablas de las distribuciones teóricas del estadígrafo, pero los   programas estadísticos de computación suelen darlo con exactitud.

Pruebas de hipótesis por medio de intervalos de confianza: Se pueden realizar pruebas de hipótesis empleando para ello los intervalos de confianza vistos en secciones anteriores, cuyos resultados son equivalentes  al test de hipótesis tradicional. Consisten básicamente, en calcular un IC para el parámetro que se desea contrastar, empleando el mismo nivel de significación que en el test, entonces la regla de decisión será basada en si el Intervalo contiene o no al valor del parámetro hipotetizado, de ser así no se puede rechazar la Ho, en caso de no contenerlo se rechazará la Ho y se aceptará la hipótesis alternativa, siendo la probabilidad de cometer el error tipo I igual a a. Recuerda que el parámetro a contrastar puede ser un valor único o la diferencia entre dos valores. En general, cuando se prueba una hipótesis nula por medio de un intervalo de confianza bilateral, se rechaza Ho en el nivel a de significación, si el parámetro supuesto no está contenido dentro del intervalo de confianza del 100(1-a)%.

Elección del test: Como estudiamos, se pueden probar las mismas hipótesis empleando diferentes estadígrafos: prueba Z y prueba t, la escogencia entre uno de ellos dependerá del cumplimiento de las suposiciones necesarias para cada caso. No lo olvides.

Hemos tratado de ser explícitos y a la vez de no complicar mucho las cosas para facilitarte la comprensión del contenido, aún así te percatarás que no es un tema sencillo. Lo explicado hasta el momento podrás aplicarlo a otras pruebas de hipótesis que veremos a continuación.

Pruebas para las medias de dos poblaciones

La prueba de hipótesis que comprende la diferencia entre las medias de dos poblaciones, se utiliza con mayor frecuencia para determinar si es razonable o no concluir que las dos son distintas entre sí. Al igual que en el caso de una sola población se distinguen diferentes situaciones:

Muestras pareadas

Muestras independientes

Sólo veremos aquí la prueba para muestras independientes

Suposiciones generales: las muestras son aleatorias e independientes, la variable es continua y se distribuye normal, además las observaciones son independientes.          Hipótesis:            Ho: m1= m2           Þ  m1 - m2  = 0

                                 H1: m1 ¹ m2

La hipótesis alternativa puede enunciarse también en forma unilateral:

H1:  m1 > m2      Þ m1 - m2 > 0               ó          H1:  m1 < m2      Þ m1 -  m2 < 0

Si las varianzas poblacionales son conocidas el estadígrafo de prueba es:

                                   se distribuye normal estándar

En el numerador no se incluye md porque bajo Ho md = 0.

En el caso de varianzas desconocidas hay dos posibilidades:

Varianzas desconocidas pero se supone que son iguales

Varianzas desconocidas pero se supone que son diferentes.

El estadígrafo de prueba en cada caso es:

a)       donde 

Este estadígrafo se distribuye t de Student con (n1 + n2 –2) grados de libertad

b)

         Se distribuye t de Student con (nu) grados de libertad, pero si el tamaño de las muestras es grande se distribuye normal estándar; Que suerte! porque la fórmula para calcular los grados de libertad se las trae.

En cada caso la regla de decisión puedes enunciarla a partir de la tabla 4.4.1, solo tienes que adecuarlo a la distribución específica de cada estadígrafo.

        Pruebas de hipótesis a partir de proporciones.

Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular.

La proporción de una población

Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media.

Ho: p = p0

H1: p ¹ p0

En  caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es:

                         se distribuye normal estándar.

Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral ), lo cual puedes fácilmente hacerlo auxiliándote de la tabla 4.4.1.

En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso.

Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones

La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, para ello suelen enunciarse las hipótesis de forma similar al caso de  las medias:

            Ho: p1 = p2   Þ  p1 -  p2 = 0

H1: p1 ¹ p2

Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente.

El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes:

                        donde

Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para  cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p.

Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar.

La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente.

El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores

H1: p1  ¹  p2

Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral.

Si la Ho es cierta entonces b - c =0 y el estadígrafo de prueba es:

                       

Observaciones:

Las pruebas de hipótesis se realizan sobre los parámetros poblacionales desconocidos, es decir, sólo tiene sentido realizarlas cuando se estudia una muestra de la población objeto y deseamos hacer inferencias hacia el total poblacional. Si estudiaste  al total de los elementos de tú población objeto (definida de acuerdo a los objetivos de tú investigación), no tiene sentido realizar PH ni otro tipo de inferencia.

Antes de realizar una prueba de hipótesis, debes revisar cuidadosamente las características de los datos (naturaleza de las variables), la forma de selección de la muestra y su tamaño, en fin, valorar el cumplimiento de los supuestos necesarios para aplicar la prueba adecuada a cada caso. Fijando  el nivel de significación antes de realizar la prueba y no después de obtener el resultado, al igual que debes valorar seriamente si debes enunciar el problema de forma bilateral o unilateral antes de realizar la prueba. Violar el cumplimiento de los  supuestos implica que la prueba pierda potencia, pudiendo no encontrarse diferencias cuando realmente las hay o lo contrario.

Existen software que realizan estas y otras muchas pruebas de hipótesis, al alcance de cualquier persona, esto trae consigo el uso y “abuso” indiscriminado de las mismas sin un conocimiento sólido del basamento estadístico de cada prueba. Te recomiendo no te sumes a la lista de irresponsables que andan por ahí haciendo de las suyas con los números, si no estás seguro de cual es la prueba adecuada recurre a los servicios de un bioestadístico.

En el caso que contrastas la diferencia entre dos parámetros, sean medias o proporciones, debes tener en cuenta que el signo del estadígrafo te da la dirección de la diferencia. Si el valor del estadígrafo observado es menor que cero (negativo), quiere decir que el parámetro 1 es menor que el 2 (parámetro1 – parámetro2), esto lo tendrás en cuenta al dar las conclusiones.

Por último, ningún test estadístico supera el sentido común y la responsabilidad profesional, por lo tanto las conclusiones deben basarse no sólo en un resultado estadísticamente significativo logrado a toda costa de artificios matemáticos, sino que depende de todo un conjunto de análisis clínico, epidemiológico, económico, entre otros aspectos que deben ser adecuadamente balanceados teniendo en cuenta la razón perjuicio-beneficio.

Bibliografía:

1. Horsford Saing R, Bayarre Vea H. Métodos y técnicas aplicadas a la investigación en Atención Primaria de Salud. La Habana: Ediciones Finlay, 2000.

2. Daniel WW. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. 3ª ed. México D.F.:Limusa; 1997.

3. Spiegel MR. Teoría y problemas de Estadística. La Habana:Pueblo y Educación; 1977.

4. Freund J. Estadística elemental moderna. 2ª ed. La Habana:Edición Revolucionaria; 1988.

5. Coolican H. Métodos de investigación y estadística en psicología. México D.F.:El Manual Moderno; 1997

6. Camel F. Estadísticas médicas y de Salud Pública. La Habana:Pueblo y Educación; 1985.

Autoras:

  • Dra. Nelsa María Sagaró del Campo
  • Dra. Meydis María Macías Navarro

 

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