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Alternativa didáctica para la modelación de una clase de problemas matemáticos

Resumen: Desde hace varios años se ha declarado explícitamente que una de las prioridades de la enseñanza de la matemática, es la capacitación de los alumnos para resolver problemas de manera independiente, sin embargo, los resultados de controles que se realizan en diversos países sobre este particular, evidencian que aun es insuficiente el tratamiento didáctico, que en esta dirección se realiza en la escuela actualmente para lograr el objetivo propuesto.
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Autor: MsC. Roberto Cristo Varona y Otros Autores

Resumen
Desde hace varios años se ha declarado explícitamente que una de las prioridades de la enseñanza de la matemática, es la capacitación de los alumnos para resolver problemas de manera independiente, sin embargo, los resultados de controles que se realizan en diversos países sobre este particular, evidencian que aun es insuficiente el tratamiento didáctico, que en esta dirección se realiza en la escuela actualmente para lograr el objetivo propuesto.

El trabajo que se presenta a continuación propone una alternativa, que al ser aplicada correctamente a una gran clase de problemas algebraicos, con ciertas características, contribuye a su modelación y como consecuencia, a encontrar la solución de estos problemas de forma segura.

La alternativa didáctica planteada, en manos de padres y maestros, se convierte en un poderoso instrumento que contribuye a elevar la efectividad en la resolución de estos problemas, que con relativa frecuencia se plantean en diferentes niveles de la enseñanza media actual.

En el transcurso de la vida cada ser humano se enfrenta, desde las primeras edades, a una gran cantidad de problemas de cuya solución depende, en mayor o menor medida , el éxito en las diferentes situaciones que se le presentan y en las tareas emprendidas. 
No es un secreto que , en casi todos loa países del mundo la escuela no realiza, de manera óptima, la función de preparar al alumno para que pueda enfrentar y solucionar independientemente los problemas tanto en la propia escuela como fuera de ella. 

¿Qué entendemos por problema matemático?
“Situación en la cual, dadas determinadas condiciones, se plantean determinadas exigencias que no pueden ser cumplidas o realizadas directamente con la aplicación inmediata de procedimientos y conocimientos asimilados, sino que se requiere la combinación y transformación de estos en el curso de la actividad que se denomina solución”
o simplemente,

“Un ejercicio que refleja determinadas situaciones a través de elementos y relaciones, en el lenguaje común, que exige de medios matemáticos para su solución” 

Se caracteriza por:

Los problemas matemáticos se han clasificado en:
Problemas por resolver: cuyo objetivo fundamental consiste en hallar el o los elementos desconocidos, que pueden ser de muy variada índole.

Problemas por demostrar: en los que el objetivo es mostrar, con rigor, la veracidad o falsedad de una proposición.

También pueden clasificarse en:
Problemas cerrados: cuyo resultado se caracteriza por estar determinado.
Problemas abiertos: cuyo resultado puede depender de uno o varios elementos, no precisados en el problema y que el resolutor puede variar sin modificar las condiciones que han sido precisadas en el mismo.

En el presente trabajo haremos referencia a determinados problemas que corresponden a la categoría de problemas cerrados y a la de problemas por resolver, mostrando una alternativa didáctica para su modelación y posterior resolución. Esta alternativa es aplicable a problemas de diversa índole pero con determinadas características comunes y en todos se utilizarán las variables.

En la solución de problemas se pueden identificar cuatro fases fundamentales, a saber: la comprensión del problema, trazar un plan de solución, ejecución del plan y la discusión de la solución una vez encontrada. Si bien todas las fases son esenciales, en la resolución de un problema es fundamental comprenderlo y elaborar el plan para resolverlo, pues la ejecución del plan dependerá en gran medida del dominio de los procedimientos y contenidos a aplicar en el mismo. La discusión de la solución es importante, fundamentalmente, cuando intervienen magnitudes cuyo dominio tiene algunas restricciones
.
El matemático George Polya en su obra Mathematical Discovery expresó que: “...la resolución de problemas matemáticos es una habilidad práctica que se desarrolla como un deporte cualquiera y se aprende mediante la imitación y la práctica “ . También planteó que “...para adquirir habilidades en la solución de problemas matemáticos hay que resolver problemas.”

Aunque no estamos en total desacuerdo con estos planteamientos, pues la realización de una gran cantidad de problemas ayuda al desarrollo de la habilidad referida, consideramos que esta puede acelerarse si se penetra en la esencia de los mismos y se trata de buscar rasgos o características comunes que permitan agruparlos en grandes clases de problemas y que se estudien estrategias de trabajo generales que, al ser aplicadas , puedan contribuir a encontrar la solución o soluciones de los problemas planteados, de forma segura.

Durante mucho tiempo se trabajó para que los alumnos aprendieran a resolver problemas enseñando procedimientos aplicables para resolver cada tipo específico de problemas por separado.

Las investigaciones han mostrado que esa multitud de procedimientos específicos pueden ser cambiados por una pequeña cantidad de procedimientos generales:

“La sustitución de los procedimientos específicos, de la actividad cognoscitiva , por generalizadores, eleva sustancialmente el efecto de desarrollo de la enseñanza , coadyuva a la formación del pensamiento teórico”

“El dominio de procedimientos generalizados , orientados a la esencia , característicos para todo un sistema de casos específicos, da a los alumnos la posibilidad de pensar teóricamente, de ver la esencia detrás de sus representaciones específicas, la habilidad de orientarse hacia ella y como consecuencia avanzar, por sí solos, en la esfera del conocimiento”

En la estrategia o alternativa didáctica que vamos a plantear para resolver la clase de problemas estudiada , nos concentramos en el trabajo en la segunda fase, es decir, el trabajo en el problema en la búsqueda de un plan de solución y, aunque entre las fases no se puede establecer un límite exacto, se presupone el tránsito satisfactorio por la primera, pues la no comprensión del problema sería invalidante para poder resolverlo.

Problemas en los que intervienen tres magnitudes a, b y c; ligadas por la relación a =b.c y en los que aparece una condición que modifica la situación original

Una pequeña muestra de los problemas que pueden ser abordados aplicando la alternativa o variante metodológica que proponemos es:

1.- Para hacer reparaciones en un edificio de apartamentos se deben aportar 15 pesos por cada apartamento para cubrir el costo total de las misma; pero hay 5 apartamentos que no pueden realizar aporte alguno por problemas económicos y esto provoca que cada uno de los apartamentos restantes tenga que aportar 3 pesos más. ¿ Cuántos apartamentos tiene el edificio?.

Las tres magnitudes son:
C → Costo total de las reparaciones
A → Aporte monetario que debe hacer cada apartamento a → Cantidad de apartamentos del edificio
C = A . a
La situación original se modifica al existir 5 apartamentos que no pueden realizar su aporte monetario.

2.- Un trabajador sabía que podía conducir de su casa al trabajo a una velocidad de 45 Km. por hora los sábados. Un día de mucho tránsito solo pudo conseguir una velocidad de 30 Km. por hora y demoró ⅓ de hora más en llegar a su trabajo. ¿Qué tiempo demora en hacer el recorrido de su casa al trabajo los sábados? ¿Cuál es la distancia entre la casa y el centro de trabajo?

Las tres magnitudes son:
s → distancia o espacio
v → velocidad
t → tiempo 
s = v . t (Movimiento rectilíneo uniforme)

3.- Para abonar cierta cantidad de hectáreas (ha) se utilizaron 120 kg de abono . Si la norma se disminuye en 2 Kg. por ha , entonces podrían abonarse 5 ha más con la misma cantidad de abono. ¿Cuál es la norma original?

Las tres magnitudes son:
k → cantidad de kg de abono
N → norma para abonar, es decir, cantidad de kg de abono para 1 ha de terreno
h → cantidad de ha abonadas 
k = N . h
La situación original se modifica cuando se disminuye la norma.

4.- Para repartir 250 L de leche se citaron una cierta cantidad de personas. Al no presentarse 20 de los citados, cada uno de los que acudieron a la cita tuvo que repartir 40 L más. ¿ Cuántas personas fueron citadas?¿Cuántos L de leche tuvo que repartir cada uno de los presentados a la cita?

Las tres magnitudes son: 
L → cantidad de litros de leche que se deben repartir
P → litros de leche que debe repartir cada persona
p → cantidad de personas citadas 
L = P . p 
La situación original se modifica cuando 20 personas no acuden a la cita.

5.- Un funcionario que iba a visitar una escuela para débiles visuales llevó 20 caramelos para repartirlos entre los niños que conformaban la matrícula del grupo del segundo nivel, pero el día anterior se había incorporado un nuevo estudiante y entonces cada uno de los niños recibió un caramelo menos de los que él había planificado. ¿Cuál era la matrícula del grupo?

Las tres magnitudes son:
C → cantidad de caramelos
c → cantidad de caramelos para cada niño
n → cantidad de niños
C = c . n
La situación original se modifica al incorporarse un nuevo niño.

6.- Un terreno rectangular tiene 40 m más de largo que de ancho. Si tuviera 20 m menos de largo y 10 m más de ancho su área sería la misma. Calcule las dimensiones originales del terreno.

Las tres magnitudes son:
A → Área del terreno (rectángulo)
l → largo
a → ancho
A = l . a
La situación original se modifica si se cambian las dimensiones iniciales del terreno.

La alternativa que se propone para la modelación del problema y la búsqueda y elaboración de un plan de solución tiene su esencia en la organización de las relaciones dadas en el problema entre las magnitudes en la situación original y la modificada.

El primer paso en esta variante consiste en identificar que el problema en cuestión pertenece a la clase de problemas descrito.

El segundo paso consiste en elaborar un cuadro con el siguiente formato

 

 

 

 

 

 

cuyas columnas inicialamos con las siglas que representen las magnitudes que se abordan en el problema , en cualquier orden. En las filas se ubicaran datos o expresiones algebraicas que resultan al traducir del lenguaje común al algebraico las relaciones que se manifiestan en el problema respecto a las magnitudes que en el mismo se abordan; en una fila los relativos a la situación original y en la otra los relativos a la modificada. Veamos como proceder si se fuera a resolver el problema 6 de los ejemplos dados.

Hacemos el cuadro y lo inicialamos, decidimos cuál de las magnitudes se va a representar por la variable seleccionada, generalmente se escoge la magnitud o una de las magnitudes que se piden ( aquí seleccionamos la variable x para la magnitud ancho (a), en la situación original)

                  A                                           l                                a

 

 (1)

                     x

 

 (2)

(3)

Luego, de acuerdo con la lectura e interpretación que vaya realizando del problema, decido cuáles son las dos columnas del cuadro que voy a completar entre las que debe estar aquella en la situé la variable ( en el ejemplo se decidió llenar la segunda y tercera columna ) .En el cuadro (1) se representa la longitud del largo del terreno en la situación original , que es x + 40; en el cuadro (2) se representa el largo del terreno en la situación modificada , es decir, x + 40 – 20, o simplemente x + 20 y en el cuadro (3) se representa el ancho del terreno en la situación modificada; x + 10. Entonces nuestro cuadro general queda de la siguiente forma:

               A                                                l                                         a

(4)

              x + 40

                    x

(5)

              x + 20

                  x + 10

Para continuar, se llena ahora la columna que nos queda, para lo cual solo tenemos en cuenta qué magnitud representa y qué relación guarda con las restantes magnitudes. En nuestro ejemplo es la columna que representa al área y esta es el producto de las otras dos magnitudes, por lo que en el cuadro (4) se representa el producto de los dos cuadros de su fila ; x ( x + 40 ) y en el cuadro (5), de forma análoga; ( x + 20 ) ( x + 10). Ahora el cuadro completo queda:

               A                                                l                                         a

          x ( x + 40 )

              x + 40

                    x

     ( x + 20 ) ( x + 10).

              x + 20

                  x + 10

El tercer paso consiste en volver a analizar el texto del problema y precisar qué relación se plantea entre la magnitud representada en la última columna que se llenó, en la situación original y modificada y sobre esta base escribir la ecuación que concluirá la modelación del problema; en nuestro ejemplo se plantea que las áreas de los terrenos son las mismas, de donde, la ecuación que resulta es:
x ( x + 40 ) = ( x + 20 ) ( x + 10 )

La manera de llenar el cuadro general no es única, otro resolutor puede denotar por x la longitud original del largo del terreno, entonces el ancho original sería x – 40, el largo modificado x – 20 y el ancho modificado x – 30; de esta forma el área original se representa por x ( x – 40 ) y la que resulta al modificar las dimensiones estaría dada por ( x + 20 ) ( x – 30 ). Entonces la ecuación que modela el problema sería 
.
La solución de la ecuación resultante constituye otra fase del problema que no es objetivo de nuestro trabajo. En el ejemplo resultó ser una ecuación lineal, pero en otros pudiera ser cuadrática o fraccionaria y el éxito en su solución depende en gran medida del dominio que tenga el resolutor de los procedimientos para resolver estos tipos de ecuaciones.

Se puede comprobar mediante la realización de otros problemas que la variable se puede asignar a otra magnitud que no sea la que constituye la respuesta del problema, en este caso, al obtener la solución de la ecuación que modeló el problema no se obtiene la solución de este, pero haciendo un análisis en el mismo y sustituyendo el valor ( o valores) encontrados, en la expresión que se encuentre en el cuadro donde se expresa la solución, se determina esta.

Invitamos al lector a que aplique la alternativa o estrategia descrita en el trabajo a los restantes problemas que se ejemplifican y constate la facilidad con que logra modelar el problema y la confiabilidad de los resultados.

La alternativa o variante expuesta en el trabajo ha sido aplicada con éxito en una multitud de problemas que reúnen las condiciones que se exigen, con resultados satisfactorios.

Es posible aplicar el proceder descrito en otros problemas donde intervengan las tres magnitudes que guarden entre si la relación manifestada, aunque no se aprecie en el texto del problema las situaciones original y modificada , pero que se puedan analizar dos partes; por ejemplo:

En un corral hay conejos y faisanes. ¿Cuántos animales de cada tipo existen si se contaron 40 cabezas y 104 patas ?
                                        Cantidad de                   Cantidad de patas 
                                       
animales                     de cada animal                 Total de patas

conejos

               x

            4

                4x        

faisanes

           40 – x

            2

      2(40 – x )

                                                                                                                  4x + 2(40 – x) = 104

También puede aplicarse a problemas que conduzcan a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, aunque en estos casos, generalmente, se requiere hacer el análisis en dos cuadros, obteniendo una ecuación de cada uno.

BIBLIOGRAFÍA
Labarrere Sarduy, Alberto. ¿Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas? La Habana. Editorial Pueblo y Educación. 1988. 52 p
Polya, George. Matematical Discovery
Talizina, Nina F. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares. México. Ángeles Editores, 1992. 105 p.
Colectivo de Autores . Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo I

Autores: 
Carlos Cordovés Sagás. Prof. Auxiliar 
MsC. Roberto Cristo Varona. Prof. Asistente
Dulce Cruz Pavón. Prof. Asistente

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