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La Matemática como Ciencia

Resumen: Se expone el objeto de estudio de la Matemática como ciencia y el comportamiento del mismo en el transcurso del desarrollo de las Matemáticas. Se estudia el surgimiento y desarrollo de las matemáticas, su relación con otras ciencias y se plantea una periodización de la historia de las matemáticas. Palabras claves: matemáticas, historia, ciencia.
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Autor: Jose Manuel Ruiz Socarras

Resumen
Se expone el objeto de estudio de la Matemática como ciencia y el comportamiento del mismo en el transcurso del desarrollo de las Matemáticas. Se estudia el surgimiento y desarrollo de las matemáticas, su relación con otras ciencias y se plantea una periodización de la historia de las matemáticas.
Palabras claves: matemáticas, historia, ciencia.

Abstract.
In this work, the object of study of Mathematics as a science and his behavior in the lapse of its own development, are exposed. The beginning and development of mathematics, besides its relations with other sciences are also studied. Moreover, a chronological division of mathematics history is given.
Key words: mathematics, history, and science.

Indice
1. Introducción
2. Objeto de estudio de la Matemática
3. Desarrollo de las matemáticas
4. Periodos mas importantes en el desarrollo de las matemáticas
5. Relación de la Matemática con otras ciencias
6. Conclusiones
7. Bibliografía

1. Introducción
La ciencia, como una de las formas de la conciencia social y como reflejo de la realidad, es un sistema de conocimientos objetivos, verificados por la práctica y generalizados en conceptos, principios, leyes y categorías. Es también actividad científica y como tal, forma parte de la cultura del hombre.
Su contenido tiene un carácter objetivo, ya que la misma es un reflejo objetivo de la realidad, pero al mismo tiempo, al ser una forma de la conciencia social, es decir, como actividad del sujeto, del hombre, tiene también un carácter subjetivo, pues es el hombre quien hace interpretaciones de esa realidad, de ahí que la Ciencia no es verdad absoluta, sino que se enriquece y se valida con la práctica que la confirma.

2. Objeto de estudio de la Matemática
La ciencia como una de las formas de la conciencia social, es un reflejo de la realidad. Posee por tanto un objeto de estudio, constituido precisamente por aquella parte de la realidad objetiva que pretende estudiar o investigar. Los diferentes objetos de estudio dan lugar a las ciencias particulares.

La Matemática como ciencia posee un objeto de estudio que tiene la característica de no ser un reflejo directo de la realidad objetiva, ya que dicho objeto tiene un carácter abstracto, de ahí que para investigar desde el punto de vista matemático cualquier objeto o fenómeno, es necesario abstraerse de todas sus cualidades particulares, excepto de aquellas que caracterizan directamente la cantidad o la forma, ya que, aceptamos por el objeto de estudio de la matemática, las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.

Se señala que, en el objeto de estudio de la Matemática, pueden entrar cualesquiera formas y relaciones de la realidad, que posean objetivamente un grado tal de independencia respecto al contenido, que pueden ser totalmente abstraídas de él. Además, no sólo se examinan en la Matemática formas y relaciones abstraídas directamente de la realidad, sino también las lógicamente posibles, determinadas sobre la base de las formas y relaciones ya conocidas, o sea las abstracciones de abstracciones.

Las diferentes ramas de la Matemática tienen que ver con las formas particulares de estas relaciones cuantitativas y formas espaciales o se distinguen por la singularidad de sus métodos.

Así pues, se pueden distinguir dos etapas en la historia de la Matemática, caracterizadas por el diferente nivel de utilización de las abstracciones:
1. Se forma la aritmética y la geometría, hay abstracciones a través del concepto de número y de figura geométrica.
2. Con la creación del álgebra y el paso al simbolismo literal, hay abstracciones de las propiedades concretas de los propios objetos matemáticos, es decir, crear abstracciones a partir de abstracciones.

Por tanto en el transcurso del desarrollo de las matemáticas, su objeto de estudio ha ido adquiriendo cada vez más, un carácter más abstracto.

En ocasiones el carácter abstracto de su objeto de estudio, ha llevado y puede llevar a diferentes formas de equívocos, que influyen negativamente en el desarrollo de las matemáticas, por lo tanto, es necesario aprender a evitar semejantes errores.

El carácter abstracto de su objeto de estudio hacen de la Matemática una ciencia abstracta, pero esto, todo lo contrario, no la aleja de la realidad. La historia muestra que lo importante y determinante en el desarrollo de cualquier ciencia, lo constituyen las exigencias de la realidad material.

Hay múltiples ejemplos que demuestran, convincentemente que el crecimiento de la abstracción de la Matemática no significa un debilitamiento de sus vínculos con la realidad. Es cierto que estos vínculos se hacen más complejos y mediatos, pero al mismo tiempo con la ayuda de los conceptos y teorías más abstractas, se logra reflejar los aspectos más esenciales y profundos de la realidad misma.

Por ejemplo la Lógica matemática, en los años 30 del siglo XX era considerada aún como una ciencia demasiado abstracta, cuya única finalidad era el análisis de los razonamientos matemáticos. Actualmente la Lógica matemática ha encontrado numerosas aplicaciones técnicas en el análisis y síntesis de las máquinas computadoras y equipos cibernéticos. El proceso de programación se apoya en la utilización de los métodos de la Lógica.

Por lo tanto, en el ejemplo de las más modernas teorías abstractas de la Matemática se confirma brillantemente la idea acerca de que estas teorías, lejos de alejarnos de la realidad, nos acercan a ella, las abstracciones científicas reflejan la naturaleza en forma más profunda, veraz y completa.

3. Desarrollo de las Matemáticas
La Matemática es una de las ciencias más antiguas. En su surgimiento y desarrollo influyeron los problemas de las ciencias naturales exactas ( Astronomía, la Mecánica y la Física ) y aun en la actualidad, la Matemática se continua desarrollando por influencia directa de las exigencias de nuevas ramas de la técnica.

Todo lo anterior demuestra que las matemáticas surgieron de la actividad productiva de los hombres. Por lo tanto la Matemática como ciencia surge como resultado de la aplicación de las teorías matemáticas existentes a problemas prácticos y de la elaboración de nuevos métodos para su resolución.

La cuestión de la aplicabilidad a la práctica de una u otra teoría matemática no siempre obtiene inmediatamente solución satisfactoria. Frecuentemente antes de su solución transcurren años y decenios.

En la posibilidad de utilización de la Matemática en la práctica, influye también el desarrollo de la técnica, tal es el caso de los dispositivos electrónicos de cálculo, que abrieron posibilidades elementales de utilización de métodos matemáticos que antes no eran factibles de utilizar en la práctica, cambiando así la correlación entre los métodos para encontrar su solución exacta y aproximada.

Sin embargo, por grande que sea el papel desempeñado por la técnica de cálculo, permanece invariable su carácter auxiliar. Ninguna, incluso la más perfecta máquina computadora puede adquirir todas las propiedades de la materia pensante, el cerebro humano y sustituirlo esencialmente.

Los intereses matemáticos no se limitan a servir las demandas de otras ciencias, pues como toda ciencia teórica posee su propio objeto de investigación. Cierto es que la Matemática se desarrolla a partir de problemas que le plantean otras ciencias, pero también la teoría matemática que elabora, se generaliza y adquiere un carácter abstracto, que le permite luego ser aplicable a corto o largo plazo, a diferentes problemas de los que le dieron origen. Es decir, que la propia teoría matemática puede adelantarse en su desarrollo y no tener de momento una aplicación directa que, luego puede aparecer. Sucede pues que, una vez que nacen los conceptos y teorías matemáticas, estas tienen su propia vida y se desarrollan según las leyes internas del pensamiento matemático. Existe, por tanto, una independencia relativa del desarrollo de la teoría matemática, que entendemos como la ley fundamental que rige el desarrollo de la Matemática, aunque de manera general, las leyes que rigen su desarrollo, son las generales para todas las formas de la conciencia social, a pesar de la conocida singularidad cualitativa de la matemática como ciencia.

El desarrollo de la Matemática no es un proceso armonioso de desarrollo continuo y gradual, sino el resultado de una encarnizada lucha de lo nuevo contra lo viejo, lucha de tendencias progresistas y reaccionarias, en donde abundan los ejemplos en que media un enorme tiempo para que una nueva teoría reciba el reconocimiento que se merece.

4. Períodos más importantes en la historia de las matemáticas.
Existen muchos intentos de periodización de la historia de las Matemáticas. Planteamos aquí la establecida por Andrey N. Kolmogórov (n. 1903), por encontrarla acertada y la cual establece los siguientes períodos:
4.1. Nacimiento de las matemáticas.
Su comienzo se pierde en la profundidad de la historia de la civilización primitiva y se extiende hasta los siglos VI y V a.n.e. en que las matemáticas se convierten en una ciencia independiente y que tiene un objeto y métodos propios.

4.2. Período de las matemáticas elementales.
Del siglo VI y V a.n.e. hasta el siglo XVI n.e. En este período se obtuvieron logros en el estudio de las magnitudes constantes. Culmina cuando los procesos y los movimientos se hacen objeto principal de los problemas matemáticos y comienza a desarrollarse la Geometría Analítica infinitesimal.

4.3. Período de formación de las matemáticas de magnitudes variables.
Se extiende hasta mediados del siglo XIX. En este período se introducen las magnitudes variables en la Geometría Analítica de René Descartes ( 1596-1650 ) y ocurre la creación del Análisis Matemático, cuya más importante sección la forma el Cálculo Diferencial e Integral en los trabajos de Isaac Newton ( 1642-1727 ) y Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646-1716 ) lo cual constituye una etapa cualitativamente nueva en la historia de la Matemática. La creación del análisis matemático amplió las posibilidades de aplicar la Matemática a otras ciencias.

4.4. Período de las matemáticas contemporáneas.
Se caracteriza por un aumento considerable del objeto de estudio de las Matemáticas, por su enfoque abstracto y extremadamente general, así como del también aumento considerable de las aplicaciones matemáticas.

El descubrimiento más revolucionario dentro de este período fue la creación por Nikolai Ivánovich Lobachevski (1792-1856 ) y por Janos Bolyai (1802-1860 ) de la Geometría Hiperbólica no euclidiana y de la Geometría Elíptica por Bernhard Riemann (1826-1866 ) , momento hasta el cual la Geometría de Euclides ( 315-225 a.n.e. ) creada tres siglos a.n.e. se consideraba la única doctrina matemática posible sobre las propiedades del espacio físico que nos rodea. También fue determinante en este período ( en el último cuarto del siglo XIX ) la Teoría abstracta de los Conjuntos creada por Georg Cantor ( 1845-1918 ).

El carácter más generalizador y abstracto de ésta época se aprecia en la Teoría de Conjuntos, donde cualesquiera objetos matemáticos ( números, funciones, vectores, matrices ) se estudian desde un mismo punto de vista y pueden ser considerados elementos de un determinado conjunto y por consiguiente están sujetos a todas las leyes y correlaciones establecidas por la Teoría de Conjuntos. En el caso de las Geometrías no euclidianas, se aprecia en la amplia utilización del método axiomático, surgido con ellas, en donde las propiedades generales y relaciones entre los objetos de estudio se expresan por medio de axiomas, la creación de la teoría matemática se reduce a la deducción de consecuencias lógicas a partir de los axiomas, es decir, de los teoremas. Los procedimientos y criterios para una correcta deducción lógica se estudian detalladamente en la Lógica Matemática, que se ha desarrollado intensamente en la última mitad del siglo XX.

Las síntesis de las ideas teóricas sobre conjuntos con el método axiomático condujeron a la fundación del concepto estructura matemática abstracta, fundamental para la Matemática de este período.

A partir de 1930, un grupo de conocidos matemáticos franceses que actuaban bajo el seudónimo de Nicolás Bourbaki, emprendieron la tarea de construir toda la Matemática existente sobre la base del concepto de estructura, pues consideraban la Matemática, en su forma axiomática, como la acumulación de estructuras. Ellos entendían por estructura matemática lo siguiente: “El rasgo general de las diferentes estructuras es que son aplicables a un conjunto de elementos cuya naturaleza no está definida. Para determinar la estructura se ofrecen una o varias relaciones en las cuales se encuentran sus elementos, después se postula que la relación o relaciones en cuestión satisfacen determinadas condiciones, las cuales son enumeradas y constituyen los axiomas de la estructura examinada, renunciando a cualesquiera otras suposiciones relativas a los elementos examinados, en particular, a toda hipótesis referente a su naturaleza “.

El concepto de estructura matemática es una abstracción muy elevada, abstracción multiescalonada o abstracción de abstracciones, es el resultado de todo un conjunto de etapas consecutivas de abstracciones y generalizaciones. Por ejemplo, el concepto de espacio que surgió ya en la Matemática Antigua y existió hasta el descubrimiento de la geometría no euclidiana, reflejaba en cierta forma idealizada, ciertas propiedades del espacio tridimensional físico. Mediante los métodos de la Geometría Analítica se puede formar el concepto de espacio de cualquier número finito de dimensiones. Por medio de ulteriores abstracciones, puede arribarse al espacio matemático de dimensiones infinitas de Hilbert.

Lo mismo ocurre con el desarrollo del concepto de función. Al principio se estudiaban las propiedades de funciones concretas como las racionales, las de potencia, las trigonométricas. Luego comenzaron a estudiarse las propiedades generales de cualquier función, haciendo abstracción de la representación concreta de la forma de relación del argumento con la función. Por último introdujeron en la Matemática Moderna los conceptos de funcional y operador, que no son más que una ulterior generalización del primitivo concepto de función.

Evidentemente, el concepto de contemporaneidad en las Matemáticas, constantemente se desplaza y entre el período de la creación de las magnitudes variables y la actualidad ya pueden señalarse varios períodos más.

5. Relación de la Matemática con otras ciencias.
La importancia de la Matemática en el contexto del desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinada por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los objetos estudiados por las diferentes ramas de la Ciencia y la Técnica. El conocimiento profundo y organizado que sobre las características reales del objeto a estudiar, se requiere para poder elaborar un modelo matemático, determinó que durante muchos años solo se usaron modelos matemáticos en la Mecánica, la Óptica, la Astronomía y otras ramas de la Física. Por otra parte otro inconveniente en la aplicación de los modelos matemáticos fue la carencia de eficientes medios de cálculo, con la suficiente precisión y en un tiempo racional

No obstante, como bien se dijo, uno de los aspectos que caracteriza al período contemporáneo de las Matemáticas es el crecimiento de las aplicaciones de los métodos matemáticos en los más diferentes campos de la ciencia y la técnica, proceso que se le ha denominado “matematización del conocimiento científico o de las ciencias“, el cual se produce a partir de la segunda mitad del siglo XX. Según Hing , éste proceso de matematización estuvo influido decisivamente por tres factores: Aparición y desarrollo acelerado de las técnicas de cálculo, Introducción del enfoque sistémico en las ciencias y por ultimo, La aparición de nuevas ramas de la matemática. No obstante en las distintas ciencias, es diferente el nivel de matematización alcanzado.

Diversos son los factores socioeconómicos y socioculturales que han determinado lo anterior, sin embargo sólo nos detendremos en aquellos que están relacionados directamente con el desarrollo de la ciencia y que a continuación relacionamos:
1. Las posibilidades de matematización de una ciencia dependen en grado considerable del nivel de desarrollo de la ciencia en que se va a aplicar la matemática, ya que antes de expresar la dependencia entre las propiedades y magnitudes de los procesos investigados en una forma matemática, hay que expresarlos en forma cualitativa. A medida que se profundiza el grado de conocimiento de los fenómenos, es preciso aplicar conceptos y teorías más abstractas y aplicar entonces la Matemática.

2. La complejidad de los objetos de estudio de las diferentes ciencias, lejos de excluir, presupone la necesidad de aplicar los métodos matemáticos.

3. La matematización de la ciencia propicia su desarrollo. Al respecto se señala que la utilización de la Matemática en una ciencia ayuda a alcanzar la perfección de esta última.

4. Ninguna matematización sería posible si la propia Matemática no estuviera desarrollada y se hubiera pasado de la Matemática clásica a la moderna con un mayor grado de abstracción y generalización, lo cual contribuye en gran medida, a la ampliación del campo de aplicación de la Matemática, o sea que la matematización depende también del grado de madurez de la Matemática.

La etapa actual de matematización de la ciencia se ve obstaculizada en determinados casos por la ausencia de métodos matemáticos adecuados para las ciencias que estudian los procesos que tienen lugar en los organismos vivos y sobre todo los fenómenos sociales. Históricamente los métodos matemáticos existentes en su mayoría surgieron de las demandas que hacen las ciencias que estudian la naturaleza inorgánica, en particular los fenómenos astronómicos, mecánicos y físicos-químicos. Luego, su generalización permitió la aplicación de dichos métodos a los procesos biológicos y parcialmente a los sociales, aunque en estos últimos es donde más difícil ha resultado, por lo que en los últimos decenios del siglo XX se han llevado a cabo investigaciones intensivas para la elaboración de un aparato matemático adecuado tanto para las ciencias biológicas como sociales.

Una de las barreras con que choca la matematización de las ciencias sociales es que el aparato matemático no está apto para abarcar la imprecisión del pensamiento y conductas humanas. Es por ello que hay autores que proponen buscar métodos en los cuales el rigor matemático y la formalización no son absolutamente necesarios. Según dicho enfoque son admisibles las imprecisiones y las verdades parciales.

La aparición de nuevas ramas dentro de la Matemática, tales como : Programación Matemática, Teoría Matemática de Sistemas, Teoría Matemática del Control Optimo, Teoría de los Procesos Estocásticos, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría del Control Estocástico, Teoría del Caos, Fractales, etc, proporcionan las teorías matemáticas para modelar los problemas más complejos.

5. El éxito de la aplicación de los métodos matemáticos está determinado en grado sumo por el desarrollo de la computación. Esta es una de las causas más importantes de la matematización de la ciencia.

Del análisis anterior se deduce que la matematización de la ciencia constituye un proceso doble de crecimiento y desarrollo de las ciencias concretas y de la Matemática misma, un momento necesario del conocimiento científico. Todas las ciencias más tarde o más temprano, en mayor o menor medida, comienzan a usar los métodos matemáticos. La matematización no es un episodio casual en el desarrollo del conocimiento científico. Este proceso en el futuro se hará más amplio y profundo.

6. Conclusiones
El objeto de estudio de la Matemática ha ido ampliándose desde sus inicios y adquiere cada vez mayor grado de abstracción y generalidad, lo cual lejos de alejarla de la realidad, contribuye a aumentar el proceso de aplicación de los métodos matemáticos a otras ciencias.

Este proceso de matematización de la ciencia que caracteriza al siglo XX no es casual, sino que todo lo contrario, es necesario y debe aumentar en el futuro y ha contribuido y seguirá contribuyendo al desarrollo, tanto de las demás ciencias, como de la Matemática en particular, o sea, que la práctica desempeña un papel muy importante en el desarrollo de la Matemática.

7. Bibliografía
(1984): Diccionario Enciclopédico Espasa. Novena Edición. Madrid: Espasa-Calpe, S.A.
(1995): Enciclopedia temática Sopena. Tomo II. España: Editorial Ramón Sopena, S.A.
Hing, R. (1996). Programa para el desarrollo de la matemática aplicada en la Universidad Central de Las Villas. I Taller Iberoamericano de la Enseñanza de las Ciencias Básicas en la Ingeniería. 10 de Julio de 1996.
(1981): La dialéctica y los métodos científicos generales de investigación. La Habana: Editorial de Ciencias Sociales.
Ribnikov, K. (1987): Historia de las matemáticas. Moscú: Editorial Mir.

Autor: 
José Manuel Ruiz Socarras.
Centro de trabajo: Facultad de Informática. Universidad de Camagüey. 
Carretera de Circunvalación Norte Km. 5.5. C.P. 74650. Camagüey. Cuba.
Correo electrónico: jruizsocarras@yahoo.es, jose.ruiz@inf.reduc.edu.cu

Graduado de Licenciado en Matemática, especialidad de Investigación de Operaciones, en la Universidad de La Habana (1981), fecha desde la cual labora en el Departamento de Matemática de la Universidad de Camagüey, Cuba, el que ha dirigido desde 1991 hasta 1999 y a partir del 2006. Master en Enseñanza de la Matemática (2000). Defendió su tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas en enero de 2006.
Año de realización del trabajo: 2006.


[1] Dr. C. Rosina Hing Cortón. Profesora Titular del Departamento de Matemática. Facultad de Matemática, Física y Computación. Universidad Central de Las Villas.

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